2024-2025学年广东省深圳市高二上学期期末考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高二上学期期末考试数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．等比数列中，若，且，则公比q=（ ）
A．2B． C．-2D．-
2．若直线与直线间的距离为，则（ ）
A．17B．C．14D．7
3．向量，若，则（ ）
A．B．C．4D．5
4．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．过点引圆的切线，其方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
6．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2B．10C．14D．2或10
7．动直线：与圆：交于点A，B，则弦最短为（ ）
A．B．C．2D．
8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．或D．或
二、多选题（本大题共4小题）
9．若为等差数列，前项和为，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列单调递减D．数列前8项和最大
10．已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线的倾斜角一定大于
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点与点B到平面的距离相等
12．如图所示．已知椭圆方程为，F1、F2为左右焦点，下列命题正确的是（ ）
A．P为椭圆上一点，线段PF1中点为Q，则为定值
B．直线与椭圆交于R ，S两点，A是椭圆上异与R ，S的点，且、均存在，则
C．若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是
D．四边形 为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知双曲线，则它的渐近线方程为 .
14．已知圆的圆心为点，一条直径的端点分别在轴和轴上，则该圆的标准方程为 .
15．设数列满足，且，则数列的通项公式为 .
16．棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点， ，则的最小值为
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知等差数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
18．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，.

(1)设点为棱的中点，证明：平面.
(2)求平面与平面的夹角的大小.
19．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程，并说明是什么曲线：
(2)若直线和曲线相交于两点，求.
20．已知是抛物线的焦点，是拋物线上一点，目.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与拋物线交于两点，若（为坐标原点），则直线否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.
21．记为数列的前项和，且.
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)设数列的前项和，证明.
22．已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值．
答案
1．【正确答案】B
【详解】等比数列中，若,又因为，故
故答案为B.
2．【正确答案】D
【详解】由题意，，解得（舍去）.
故选：D.
3．【正确答案】D
【详解】因为，，
所以，即，解得.
故选：D.
4．【正确答案】A
【详解】
由题意得，平面以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以.设异面直线与所成的角为，则.
故选：A.
5．【正确答案】C
【详解】根据题意，圆，即，
其圆心为，半径；过点引圆的切线，
若切线的斜率不存在，切线的方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设其斜率为，则有，即，
则有，解得，此时切线的方程为，即．
综上：切线的方程为和．
故选：C．
6．【正确答案】D
【详解】因为双曲线，
所以，则，
因为点P到它的一个焦点的距离等于6，
设点P到另一个焦点的距离为，
所以，解得或
故选：D.
7．【正确答案】B
【详解】直线：，
由，得，则直线过定点，
圆：的圆心，半径，
显然点在圆内，当时，弦最短，
此时，
所以弦最短为.
故选：B
8．【正确答案】C
【详解】由抛物线方程知：；
由题意知：直线斜率不为，可设，，，
由得：，，，
，，则，解得：或，
或，即或，解得：或，
直线的斜率或.
故选：C.
9．【正确答案】AC
【详解】设公差为，由，得，解得
所以，故A正确；
因为，所以数列单调递减，故C正确；
，
所以，故B错误；
所以数列前7项和最大，故D错误.
故选：AC.
10．【正确答案】AC
【详解】A：当时，直线的方程为，可化为：，所以该直线的斜率为1，
直线的斜率为，因为，所以这两条直线互相垂直，因此本选项说法正确；
B：由直线与直线平行，可得或，因此本选项说法不正确；
C：直线方程可化为：，设直线的倾斜角为，
所以，所以本选项说法正确；
D：当时，直线的方程为，当时，；当时，，
因为，所以直线在两坐标轴上的截距不相等，因此本选项说法不正确，
故选：AC
11．【正确答案】BCD
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、
、、、，
对于A选项，，，则，
所以直线与直线不垂直，故A错误；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，即，
因为平面，平面，故B正确；
对于C选项，连接、、，
因为、分别为、的中点，则，
且，所以四边形为平行四边形，则，
所以，所以、、、四点共面，
故平面截正方体所得截面为，
且，同理可得，，
所以四边形为等腰梯形，
分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，如下图所示：
因为，，，
所以，故，，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，
，故，
故梯形的面积为，故C正确；
对于D选项，，则点到平面的距离为，
，则点到平面的距离为，
所以点与点到平面的距离相等，故D正确.
故选：BCD.
12．【正确答案】ACD
【详解】A：连接，由椭圆的定义可知，
线段中点为Q，所以，
于是有，所以本选项命题正确；
B：直线与椭圆交于R ，S两点，
因为直线经过原点，而椭圆是关于原点的中心对称图形，
所以R ，S两点关于原点对称，不妨设，，
，
因为A是椭圆上异与R 的点，
所以有，两个式相减，得
，
因此，
所以本选项命题是假命题；
C：椭圆上存在一点M使，
由余弦定理可知：，
即，
即，
而
，当且仅当时取等号，即M为上（下）顶点时取等号，
而，所以，因此本选项命题是真命题；
D：因为矩形和该椭圆的对称轴和对称中心相同，
所以设矩形在第一象限的顶点为，即，
所以矩形的面积为，
因为，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
因此本选项命题是真命题，
故选：ACD
13．【正确答案】
【详解】双曲线，焦点在轴上，，，则，，
所以渐近线方程为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设直径的端点分别为，
因为圆的圆心为点，
所以，解得，
所以圆的半径，
所以该圆的标准方程为.
故答案为.
15．【正确答案】
【详解】∵（），
∴（），易知，，
∴为等比数列，首项为，公比，
∴，∴.
故答案为.
16．【正确答案】/
【详解】如图，取点关于平面的对称点，
设点到平面的距离为,
则，，
以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则点是线段靠近的三等分点，
又正方体棱长为，
则，
则，且，
设平面的法向量为，
则，取，则，
则，
则点到平面的距离
.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设公差为，
由，
得，解得，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设为的中点，连接，

在中，点为棱的中点，，.
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立
如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，
，.
设平面的一个法向量为， 则有
令，则，得.
，，
设平面的一个法向量为， 则有，
令，则，得.
设平面与平面的夹角为，有，
所以平面与平面夹角的大小为.
19．【正确答案】(1)，曲线是双曲线，除去左右顶点
(2)
【详解】（1）设，
则，
化简得，
所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点；
（2）设，
联立，消得，
，
则，
所以.

20．【正确答案】(1)
(2)恒过定点
【详解】（1）由知，
抛物线的准线方程为，而是该抛物线的焦点，
又，因此，解得，
所以抛物线C的方程为；
（2）显然直线不垂直于轴，设直线，，
由，消去并整理得，
，即，
则，，，
由，得，
即，解得，满足，
所以直线过定点，
所以直线恒过定点.
21．【正确答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【详解】（1）由，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）得，
则，
，
两式相减得
，
所以，
因为，所以.
22．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，离心率为，
则，可得，故椭圆的方程为.
（2）解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，
①当轴时，设直线的方程为，
将代入“蒙日圆”的方程得，解得，
则，解得：，
将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则，
所以，；
②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，得，
联立，消去得，
，可得，
设、，则，，
，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
又因为，故的面积的最大值为.