2024-2025学年广东省深圳市高一上学期期末数学检测试题1（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高一上学期期末数学检测试题1（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
2．函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．三个数的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数则方程有四个实根的充要条件为（ ）
A．B．
C．D．
8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）(附：
A．23%B．37%C．48%D．55%
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知，若，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为1
C．的最小值为8D．的最小值为
10．下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
12．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．当时，
C．
D．对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立.
三、填空题（本大题共4小题）
13．若命题，则命题的否定是
14．已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ．
15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
16．设函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有 个零点.
四、解答题（本大题共6小题）
17．化简求值
(1)；
(2).
18．已知集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．已知函数.
(1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
20．进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会,也是一个促进全球贸易和交流的重要平台.某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台,计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3000万元,每生产(百辆),需投入流动成本(万元),且其中.由市场调研知道,每辆车售价25万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式；
(2)年产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润.
(总利润总销售收入-固定成本-流动成本)
21．已知函数.
(1)求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程;
(2)解关于x的不等式;
(3)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域.
22．若函数为定义在上的奇函数.
(1)求实数的值，并证明函数的单调性；
(2)若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
【分析】根据同角三角函数基本关系进行判断即可.
【详解】充分性：若，则，故充分性成立；
必要性：若，则，故必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．【正确答案】A
【分析】结合奇函数的图象性质及特殊函数值判断即可.
【详解】解：由，得函数为奇函数，排除B项，
由，得，则排除C、D两项.
故选：A.
3．【正确答案】B
【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解.
【详解】，
故选:B.
4．【正确答案】D
【分析】利用函数定义域求法解不等式可求得集合，再利用交集运算法则可得结果.
【详解】根据题意可知，即，解得或，
即或；
易知，解得或，即或；
可得或，
因此.
故选：D
5．【正确答案】A
【分析】结合同角三角函数及诱导公式即可求解.
【详解】由，，得，
则，故.
故选：A
6．【正确答案】A
【分析】根据题意，由，即可得到结果.
【详解】由三个数，
可知其大小关系为.
故选：A
7．【正确答案】D
【分析】由题意求分段函数的极值，作出函数简图，进而求解.
【详解】
当时，，当且仅当，即时，等号成立；
当时，，
则的图象如图所示，要使方程有四个实根，需满足.
故选：D.
8．【正确答案】C
【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和5000时C的比值即可求解.
【详解】解：依题意得，当时，，
当时，，
∴，
∴的增长率约为.
故选：C
9．【正确答案】ACD
【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】对于，由，即，
当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确；
对于，因为，
当且仅当时，取到最小值，所以B错误；
对于C，因为，所以，
当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；
对于，当且仅当，且，
即时，取等号，所以正确.
故选：ACD.
10．【正确答案】BCD
【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】A：因为，
所以本选项不正确；
B：因为，
所以本选项正确；
C：因为
所以本选项正确；
D：因为，
所以本选项正确，
故选：BCD
11．【正确答案】ABC
【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D．
【详解】对于选项A:由题意可得，故，
则，，
即，解得，
又，即，故A正确；
对于选项B:即，当时，有，
故的图象关于点对称，故B正确；
对于选项C:令，则，
当时，，
而在单调递增，故C正确；
对于选项D:将函数的图象向由右平移个单位得到，故D错误．
故选：ABC．
12．【正确答案】ACD
【分析】根据可判断选项A；根据的单调性，判断的单调性可判断选项B；根据的奇偶性可判断选项C；由复合函数单调性和奇偶性可判断选项D.
【详解】对于A，由，得，即恒成立，故A正确；
对于B，令，
易知在单调递减，且，
则在单调递减，且，故B错误；
对于C，令，则，
，
为上的奇函数，，
，故C正确；
对于D，由B选项知，在单调递减，且，
在单调递减，且，
为上的奇函数，
在单调递减，且，
又，在上单调递减，
在上单调递减，
对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立，故D正确.
故选：ACD.
13．【正确答案】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可.
【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有，命题p的否定是.
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】根据奇函数满足求解即可.
【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式.
故
15．【正确答案】
【分析】利用一次函数和对数函数及分段函数单调性解决即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以当时，一次函数是增函数，得出，即；
当时，对数函数是增函数，得出；
又因为，解得；
取交集得；
故
16．【正确答案】6
【分析】由函数是定义域为的奇函数，结合的条件可得函数的一个周期为4，根据函数的单调性与零点存在性定理可得零点个数.
【详解】如图，因为函数是定义域为的奇函数，所以，且.
又，即，所以函数的图象关于直线对称，
且，所以，所以4是函数的一个周期，
所以.易知函数在上单调递增，
且，
所以函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上.
由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点.
因为是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，所以，
所以函数的图象关于点中心对称，所以函数在区间上有且仅有2个零点.
因为函数在区间上没有零点，所以函数在区间上没有零点.
结合，得函数在区间上有6个零点.
故6.
17．【正确答案】(1)29
(2)1
【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；
（2）利用对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式
.
18．【正确答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案；
（2）根据已知可推得A，分以及，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】（1）解可得，或，
所以，或.
当时，，
所以或.
（2）由“”是“”的必要不充分条件，
所以，.
又或，.
当，有，即，显然满足；
当时，有，即.
要使A，
则有或，
解得或.
综上所述，或.
19．【正确答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可；
（2）由判别式确定a的范围，分类再解不等式即可.
【详解】（1）由题意，可得，
；
（2）①当时，即时，
原不等式的解集为；
②当时，即或时，
当时，，
原不等式的解集为，
当时，，
原不等式的解集为；
③时，即或时，，
解得或，
原不等式的解集为.
20．【正确答案】(1)
(2)当年产量为25百辆时,企业所获利润最大,最大利润为3250万元
【分析】(1)根据总利润总销售收入-固定成本-流动成本,代入相关数据运算化简即可.
(2)当时,利用一元二次函数知识,在对称轴处取得最值;当时,利用基本不等式知识,通过变形得再求最值即可.然后通过比较得到利润最大值.
【详解】（1）当时,.
当时,.
综上,
（2）当时,，
当时,万元.
当时,,当且仅当时,等号成立.
所以当年产量为25百辆时,企业所获利润最大,最大利润为3250万元.
21．【正确答案】(1)，单调递增区间为；对称轴
(2)
(3)
【分析】（1）应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得，应用整体代入法即可求解单调区间与对称轴；
（2）结合函数图像解不等式；
（3）应用换元法求值域;
【详解】（1）
，
函数的最小正周期.
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
令，解得，
所以的对称轴方程为.
（2）即，
所以，解得.
（3）由题知，
则
，
令，则，
当时，;当时，.
综上可知所求值域为.
22．【正确答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）由求得a的值，运用函数单调性的定义证明即可.
（2）由在上的奇函数可得，由在上单调递增可得，成立，进而可得，成立，令，运用换元法将问题转化为，，进而求在上的最小值即可.
【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数，
所以，解得，
经检验符合题意，
所以，
证明：任取，，且，
则
因为，所以，
所以，， ，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（2）因为，在上的奇函数，
所以，
由（1）知函数在上单调递增，
所以，成立，
即，成立，
设，则，
所以，，
所以，，
设，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以，
所以.