2024-2025学年广西柳州市高一上学期期末考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广西柳州市高一上学期期末考试数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在三角形中，若点满足，则 （ ）
A．B．
C．D．
3．已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．化简：（ ）
A．B．C．D．
5．为了得到函数的图象，只要把的图象上的所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
6．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知函数，则（ ）
A．是上的奇函数B．的最小正周期为
C．有最大值1D．在上为增函数
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，则
11．奇函数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的一个周期为2B．
C．为偶函数D．为奇函数
12．已知函数的所有非负零点从小到大依次记为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为 .
14．函数的值域为 .
15．已知，，则 .
16．已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及对称轴；
(2)求在区间上的最值.
18．已知是定义在上的偶函数，且时，.
(1)求函数在上的解析式，并判断其单调性（无需证明）；
(2)若，求实数的取值范围.
19．（1）已知，求的值；
（2）求的值.
20．如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰,寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种吉祥物的年固定成本为20万元,每生产千件需另投入资金万元,其中与之间的关系为:,且函数的图象过,,三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内生产的此吉祥物能全部销售完.
(1)求a,b,c的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润.
21．m，n为函数的两个零点，且．
(1)若，求不等式的解集；
(2)比较a，b，1的大小关系．
22．已知函数，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的零点；
(3)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
答案
1．【正确答案】D
【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.
【详解】∵，∴，∴，
可知，故A、B、C错误；，故D正确.
故选：D.
2．【正确答案】C
【分析】根据向量的线性运算，结合点的位置，即可求得结果.
【详解】根据题意，作图如下：
由题意得.
故选：C
3．【正确答案】A
【分析】全称命题的否定为存在命题，利用相关定义进行判断即可
【详解】全称命题的否定为存在命题，命题：，，
则为，.
故选：A.
4．【正确答案】C
【分析】结合诱导公式和二倍角公式，逐步化简，即可得到本题答案.
【详解】.
故选：C
5．【正确答案】B
【分析】根据三角函数图象之间的变换，结合题意，即可容易判断.
【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度.
故选：B
6．【正确答案】D
【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.
【详解】函数的定义域为，
，
函数是奇函数，排除AC；
当时，，
此时图像在轴的上方，排除B.
故选：D
7．【正确答案】B
【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】令，，
若在上单调递增，因为是上的增函数，
则需使是上的增函数且，则且，解得.
因为，故是的必要不充分条件，
故选：B.
8．【正确答案】C
【分析】已知条件式变形为，构造函数，利用单调性得，从而，利用二次函数的性质即可求出最小值.
【详解】由得，
令，，
在上单调递增，，，
，，
故当时，取最小值.
故选：C.
9．【正确答案】AB
【分析】根据正弦函数的性质依次判断选项即可.
【详解】A：函数的定义域为R，且，为奇函数，故A正确；
B：函数的最小值正周期为，故B正确；
C：，得的最大值为2，故C错误；
D：函数的单调增区间为，
当时，，即函数在上为增函数，故D错误.
故选：AB.
10．【正确答案】BD
【分析】根据特例判断A，由作差法可判断B，由均值不等式可判断CD.
【详解】对A，成立，但不成立，故A错误；
对B，，
而（a,b不同时为零），所以，即，故B正确；
对C, 由均值不等式可得，故不成立，故C错误；
对D, ，，，即，故D正确.
故选：BD
11．【正确答案】ACD
【分析】由得的对称轴为，结合的奇函数性质对选项逐一辨析即可.
【详解】，的对称轴为，
，∴，A正确；
，故，，
关于时称，故，B错误；
，偶函数，C正确；
，为奇函数，D正确，
故选：ACD.
12．【正确答案】BC
【分析】根据函数零点转化为方程的根的问题，再转化为两函数图象交点问题，故作出函数图象，数形结合判断交点个数，再由正弦型函数的对称性判断CD选项.
【详解】由，
可得，
即与的图象在第一象限交点横坐标即为，
因为，时，，如图，
由图可知，共有9个符合要求的交点，所以，
令，解得，，即，
故由图象可知，，，，
所以，
因为，若，
则需，由图知，，故不成立，
综上可知，BC正确，AD错误.
故选：BC
13．【正确答案】
【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知数据，求解即可.
【详解】因为与的夹角为，
所以在向量上的投影向量为.
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】由函数定义域求出的取值范围，再由的单调性即可得解.
【详解】函数的定义域为R，而，当且仅当x=0时取“=”，又在R上单调递减，
于是有，
所以函数的值域为.
故
15．【正确答案】
【分析】先根据，，求出，再根据凑角法，余弦的差角公式进行求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
故
故答案为.
16．【正确答案】
【分析】令，则可得，结合的图象，即可得答案.
【详解】解：令，
则有，
∴，
如图，当或，，满足题意．
故
17．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据公式直接求解最小正周期，利用整体法结合正弦函数性质，即可求得结果；
（2）利用换元法，结合正弦函数的性质，即可求得结果.
【详解】（1）因为，所以的最小正周期；
令，解得，
所以的对称轴方程为.
（2）令，由，知，
所以要求在区间上的最值，即求在上的最值，
当时，，当时，，
所以.
18．【正确答案】(1)函数在上的解析式为，
函数在上单调递减，在上单调递增；
(2)
【分析】(1)设，则，根据题意得出，然后利用函数为偶函数即可求解；
(2)结合（1）的结论，求出，将不等式等价转化为，解之即可求解.
【详解】（1）设，则，所以，
又因为是定义在上的偶函数，所以，
则函数在上的解析式为，
函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知：，所以不等式可化为，结合函数的单调性可知：，
解得：，所以实数的取值范围为.
19．【正确答案】（1）；（2）1.
【分析】（1）由已知条件求得，再求齐次式的值即可；
（2）利用三角恒等变化，转化目标式，即可求得结果.
【详解】（1），则，
故
.
（2）
.
20．【正确答案】(1);
(2)产量为（千件）时,利润最大为（万元）
【分析】(1)根据将,,三点代入中,即可求出a,b,c的值,根据利润等于收益减总成本,列出关系,将代入即可;
(2)根据(1)中的解析式,分别求出,时的最值,进行比较即可求得最大年利润.
【详解】（1）解:将,,三点代入中有:
,解得,
故,
由题知;
（2）由(1)知,
当时,,
所以当（千件）时,（万元）,
当时,
,
当且仅当,即（千件）时取等,
所以（万元）,
综上: 当（千件）时,（万元）
所以当年产量为24千件时,该厂的年利润最大,最大年利润76万元.
21．【正确答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由韦达定理联立消去得 ，从而求得的值，得到的解集；
（2）解法一：根据零点的分布列出满足的不等式组求解即可；
解法二：根据不等式及韦达定理得，求解即可.
【详解】（1）由换底公式得，
依题意得，两式相乘得
代入，得
由，得，而
故不等式解集为
（2）解法一：因为，故，
化简得，
故或，
即或.
解法二：∵，∴
即，故，即
故或，
即或.
22．【正确答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质求出单调减区间；
（2）求出的解析式，令，求解即可；
（3）原不等式化简为，令，问题转化为在上恒成立，结合一次函数和二次函数的性质，分类讨论可得结果．
【详解】（1）
由，得
所以函数的单调递减区间为．
（2）由（1）知
令，则，解得或
即或
所以的零点为或.
（3）由（2）知
原不等式可化为
令，则
，
所以在上恒成立
令
当时，在恒成立
当时，，解得
当时，函数的对称轴为
（i）若，即时
，解得，故
（ii）若，即时
，解得，故
综上所述，实数的取值范围是.