2024-2025学年广西柳州市高一上学期期末考试数学检测试题1（附解析）

这是一份2024-2025学年广西柳州市高一上学期期末考试数学检测试题1（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．的值为
A．B．C．D．
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．，
D．“”是“”的充分不必要条件
4．下列函数中，最小正周期是且是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位
6．加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（ ）
A．
B．且
C．
D．且
7．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是
A．B．C．D．
8．已知函数在上恰有2个不同零点，则正实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数与函数表示同一个函数
C．若在上单调递增，则的取值范围为
D．函数的零点可能位于区间中
10．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．，，使得
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知一扇形的圆心角为30°，弧长是，则扇形的面积是 .
14．= .
15．已知，则______．
16．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．（1）若不等式的解集为，求不等式的解集.
（2）；
18．已知，
(1)求的值
(2).
19．（1）已知角的终边过点，且，求的值；
（2）已知，，且，求.
20．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和对称轴.
(2)求函数在区间上的最小值和最大值.
21．建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足，关系.
(1)求的表达式；
(2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
22．已知函数的图象关于原点对称，其中.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
【分析】首先将全集用列举法表示出来，然后根据集合的补集、交集运算即可求解.
【详解】由题意，
又，所以，
又，所以.
故选：C.
2．【正确答案】B
【分析】直接由特殊角的三角函数值得解.
【详解】
故选B.
本题主要考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．
3．【正确答案】C
【分析】根据不等式的性质判断真假.
【详解】对A：当时，结论不成立，故A错误；
对B：例如：，，但不成立，故B错误；
对C：，，所以，故C正确；
对D：或，所以“”是“"的必要不充分条件，故D错误.
故选：C
4．【正确答案】C
【分析】根据已知条件结合选项逐项验证，可得答案.
【详解】对于选项A：的最小正周期为，
且，即为偶函数，故A错误；
对于选项B：的最小正周期为，
且，即为偶函数，故B错误；
对于选项C：的最小正周期为，且为奇函数，故C正确；
对于选项D：的最小正周期为，
且不恒成立，即不是奇函数，故D错误.
故选：C.
5．【正确答案】D
【分析】利用三角函数的图象变换关系求解.
【详解】,
所以要得到函数的图象，
只需将的图象向右平移个单位，
故选:D.
6．【正确答案】B
【分析】由题意可得该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数，即可得解.
【详解】由题意可知，该县城区常住人口每年大约以的增长率递增，
则该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数.
故选：B.
7．【正确答案】B
【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为，
所以，选B.
8．【正确答案】A
【分析】根据x的范围，确定，由题意结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案.
【详解】由题意知函数，当时，，
因为在上恰有2个不同零点，
∴，
∴，即正实数的最小值是，
故选：A.
9．【正确答案】AD
【分析】对于A，将点代入得到幂函数解析式，即可判断；对于B，利用相同函数的判断方法进行判断即可；对于C，先求出二次函数的对称轴，列出对应不等式，即可判断；对于D，利用零点存在定理即可判断
【详解】对于A，因为幂函数的图象过点，所以，所以，
所以，则，故A正确；
对于B，因为的定义域为，的定义域为，
故两函数的定义域不同，不是相同函数，故B错误；
对于C，因为的对称轴为，且开口向上，
又在上单调递增，所以，解得，故C错误；
对于D，因为是连续函数，且，
所以根据零点存在定理可得的零点位于区间中，故D正确；
故选：AD
10．【正确答案】ABD
【分析】将平方可得的值，即可判断B；结合角的范围，可求得，继而求出，继而求得，判断C，D；结合正弦函数的单调性可判断A.
【详解】由，
则，
即，故B正确；
又，所以，，故为第二象限角，则，
，则，故D正确，
由，，解得，
则，故C错误；
由，，，得，
又，结合在单调递减，得，A正确.
故选：ABD
11．【正确答案】ABD
【分析】根据函数图象可得函数表达式为，即可代入验证求解ABC，利用整体法即可求解D.
【详解】由图象可得：，最小正周期为，所以，
又，，，又，所以，
所以.
对于A，，所以是的一个对称中心，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，令，解得：，，
令，，所以D正确.
故选：ABD
12．【正确答案】ACD
【分析】根据给定条件探求出函数的奇偶性和在的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.
【详解】由，得：函数是R上的偶函数，
由，，得：在上单调递增，
对于A，，A正确；
对于B，，又函数的图象是连续不断的，
则有，解得，B不正确；
对于C，由及得，，解得或，
由得：，解得，
化为：或，解得或，即，C正确；
对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，
因此，，，取实数，使得，则，，D正确.
故选：ACD
思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|).
13．【正确答案】
【分析】先利用弧度公式计算出半径，再计算出面积即可
【详解】该扇形的圆心角为30°，对应的弧度为，
所以半径为，则对应面积为，
故
14．【正确答案】
【分析】由题意逆用二倍角公式求解三角函数式的值即可.
【详解】由题意可得原式.
本题主要考查二倍角公式的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．【正确答案】
【分析】利用诱导公式结合二倍角公式即可求解.
【详解】由题意可得，
.
故
16．【正确答案】
【分析】根据基本不等式可得，即可根据二次不等式求解.
【详解】由得，所以，所以，
所以，当且仅当，时，等号成立，所以，
所以恒成立，可化为，即，解得.
故答案为；
17．【正确答案】（1）；（2）8
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集可求出，将化为，即可求得答案；
（2）根据指数幂的运算法则以及对数的运算法则，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得：，3是方程的两根，
∴，则，
∴，即，
即，即
∴不等式的解集为：；
（2）.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的关系结合诱导公式求解即可.
（2）利用同角三角函数的关系求解即可.
【详解】（1）因为，
又因为，所以.
（2）
19．【正确答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用三角函数的定义求出，再根据三角函数的定义求出、即可得解；
（2）根据同角三角函数的基本关系求出、，再根据两角差的余弦公式求出，即可得解；
【详解】
解：（1）因为角的终边过点，且，
所以，解得，即，所以，
所以，，
所以；
（2）因为，，所以，
又，，所以，
所以
所以
，
因为
所以
20．【正确答案】(1)最小正周期，对称轴为，
(2)最小值为0，最大值为3
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简的表达式，根据正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，即可求得答案；
（2）根据x的范围，确定，结合正弦函数的单调性，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得，
所以函数的最小正周期，
由，，得的对称轴为，
（2）因为，所以，
由于在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，；
当，即时，，
当，即时，，
故，
故函数在区间上的最小值为0，最大值为3
21．【正确答案】(1)
(2)8小时
【分析】（1）利用五点作图法，结合图象即可得解；
（2）解正弦不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，得，解得，
又，所以，又，所以，
因为过，
则，即，
所以，即，
又，所以，
所以.
（2）根据题设，令，即，
由的性质得，，
解得，，
又因为，
当时，；当时，；
所以或，
所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时.
22．【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值，求出，根据函数的单调性求出m的范围即可；
（2）问题转化为在上有解，即在上递减，根据函数的单调性求出的值域，从而求出k的范围即可．
【详解】（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，
∴，
即，解得或（舍），
，
当时，，
∵当时，恒成立，
∴，即的取值范围为；
（2）由（1）知，即，
即，即在上有解，
在上单调递减，
，
的值域为，
∴.
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．