2024-2025学年河北省保定市高一上学期12月联考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省保定市高一上学期12月联考数学检测试卷（附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则540°化成弧度是（ ）
A．3π2B．3πC．5π2D．13π6
2．（5分）若集合A＝{x|2x＜6}，B＝{x|2x2﹣x＞0}，则A∩B＝（ ）
A．（0，3）B．（12，3）
C．（0，12）D．（﹣∞，0）∪（12，3）
3．（5分）若f（x）为奇函数，当x＞0时，f(x)=lg(12x+112)，则f（﹣9）＝（ ）
A．﹣lg11B．0C．1D．﹣1
4．（5分）“α是小于135°的钝角”是“2α是第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）关于函数图象过定点问题，有以下3个命题：
①函数y＝1+ax（0＜a＜1）的图象经过定点（0，2）；
②函数y＝lga（x﹣1）（a＞1）的图象经过定点（2，0）；
③函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象经过两个定点．
其中，真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据M与小数记录法的数据N满足M＝5+lgN．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.6，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据：1010000≈2.512)（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
7．（5分）若a＝lg832，b＝lg27244，c=149，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
8．（5分）若二次方程x2+（a﹣6）x+2a﹣4＝0在（0，3）上有两个不相等的实根，则a的取值范围是（ ）
A．(10+43，+∞)B．(135，6)
C．(135，10−43)D．(2，10+43)
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列判断错误的是（ ）
A．当x＞0时，xx−2.5=x3
B．“∃x∈N，x∉N”的否定是”∀x∈N，x∉N”
C．函数y=(13)x−3x+3为增函数
D．“2，3，7，9这四个数都是质数”的否定是“2，3，7，9这四个数不都是质数”
（多选）10．（6分）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量v（单位：cm3/s）与管道的半径r（单位：cm）的四次方成正比，当气体在半径为5cm的管道中时，流量为1250cm3/s，则（ ）
A．当气体在半径为3cm的管道中时，流量为152cm3/s
B．当气体在半径为3cm的管道中时，流量为162cm3/s
C．要使得气体流量不小于512cm3/s，管道的半径的最小值为32cm
D．要使得气体流量不小于512cm3/s，管道的半径的最小值为4cm
（多选）11．（6分）已知定义在（﹣10，8）上的函数f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，且f（x+1）在[﹣1，8）上单调递减，则（ ）
A．y＝|f（x）|是偶函数
B．∀x1，x2∈（﹣9，9）且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x2−x1＜0
C．不等式f（x﹣5）+f（3x﹣3）＜0的解集为（2，4）
D．当[x]表示不大于x的最大整数时，不等式f（[x]）≤﹣f（[1.2]）的解集为[﹣1，9）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若函数f（x）＝lg0.3（x﹣9），则不等式f（x）＞lg0.32的解集为 ．
13．（5分）若函数f(x)=(a−2)x，x＜12ax−3，x≥1是R上的减函数，则a的取值范围为 ．
14．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，一次函数f（x）的图象不仅平分正方形ABCD的面积，也平分矩形EFGH的面积，则f（x）＝ ，函数y＝f（f（x））的零点为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）若x＞1，求值：lg3x•lgx9+10lg（x+2）﹣x．
（2）若lga32＜5（a＞0，且a≠1），求a的取值范围．
16．（1）求函数y=x2+400x2+17的最小值；
（2）若x＞0，y＞0，求1−(x2+y2+8xy)的最大值．
17．已知函数f(x+2)=12×2x+21−2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．
18．已知函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+xy+1．
（1）求f（0）的值；
（2）求函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）+ax在区间[﹣2，4]上的最小值；
（3）证明：f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22)．
19．若函数y＝f（x）+g（x）为幂函数，则称f（x）与g（x）互为“和幂函数”；若函数y＝f（x）g（x）为幂函数，则称f（x）与g（x）互为“积幂函数”．
（1）试问函数f（x）=12x+lg2(x2+1+x)与g（x）=12x+lg2(x2+1−x)是否互为“和幂函数”？说明你的理由．
（2）已知函数f（x）＝xm•2﹣x与g（x）＝（m3+m﹣9）2x互为“积幂函数”．
①证明：函数h（x）＝f（x）﹣g（x）存在负零点，且负零点唯一．
②已知函数p（x）＝2lnx﹣xln2在(0，2ln2)上单调递增，在(2ln2，+∞)上单调递减，且p（2ln2）＝t＞0，若函数k（x）＝f（x）﹣a在（0，6]上有两个零点，求a的取值范围（结果用含字母t的区间表示）．
答案与试题解析
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则540°化成弧度是（ ）
A．3π2B．3πC．5π2D．13π6
【分析】利用180°＝πrad即可求解．
解：540°＝540×π180=3πrad．
故选：B．
【点评】本题考查了弧度制的应用，考查了数学运算的核心素养，属于基础题．
2．（5分）若集合A＝{x|2x＜6}，B＝{x|2x2﹣x＞0}，则A∩B＝（ ）
A．（0，3）B．（12，3）
C．（0，12）D．（﹣∞，0）∪（12，3）
【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
解：集合A＝{x|2x＜6}＝{x|x＜3}，B＝{x|2x2﹣x＞0}＝{x|x＞12或x＜0}，
故A∩B＝（﹣∞，0）∪（12，3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3．（5分）若f（x）为奇函数，当x＞0时，f(x)=lg(12x+112)，则f（﹣9）＝（ ）
A．﹣lg11B．0C．1D．﹣1
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（9）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
解：根据题意，当x＞0时，f(x)=lg(12x+112)，则f（9）＝lg（92+112）＝1，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣9）＝﹣f（9）＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
4．（5分）“α是小于135°的钝角”是“2α是第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据α的范围得到2α的范围，从而判断充分性，由2α是第三象限角可得α的范围，即可判断必要性．
解：因为α是小于135°的钝角，所以90°＜α＜135°，
所以180°＜2α＜270°，
所以2α是第三象限角，所以“α是小于135°的钝角”是“2α是第三象限角”的充分条件，
因为2α是第三象限角，所以180°+k•360°＜2α＜270°+k•360°，k∈Z，
所以90°+k•180°＜α＜135°+k•180°，k∈Z，所以不能推出α是小于135°的钝角，
所以“α是小于135°的钝角”不是“2α是第三象限角”的必要条件，
所以“α是小于135°的钝角”是“2α是第三象限角”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查象限角，充分必要条件的判断，属于基础题．
5．（5分）关于函数图象过定点问题，有以下3个命题：
①函数y＝1+ax（0＜a＜1）的图象经过定点（0，2）；
②函数y＝lga（x﹣1）（a＞1）的图象经过定点（2，0）；
③函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象经过两个定点．
其中，真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】结合函数的解析式，利用特殊值分析三个命题的真假，综合可得答案．
解：根据题意，依次分析3个命题：
①函数y＝1+ax（0＜a＜1），当x＝0时，y＝2恒成立，即函数y＝1+ax的图象经过定点（0，2），①正确；
②函数y＝lga（x﹣1），当x＝2时，y＝lga1＝0恒成立，即函数函数y＝lga（x﹣1）的图象经过定点（2，0），②正确；
③函数y＝ax2﹣2ax+1＝ax（x﹣2）+1，当x＝0或2时，y＝1恒成立，即函数y＝ax2﹣2ax+1的图象经过定点（0，1）和（2，1），③正确，
3个命题都正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及函数过定点问题，属于基础题．
6．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据M与小数记录法的数据N满足M＝5+lgN．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.6，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据：1010000≈2.512)（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
【分析】根据五分记录法数据M与小数记录法数据N满足关系M＝5+lgN即可求值．
解：由于M＝5+lgN，且M＝4.6，得lgN＝﹣0.4，
N=10−0.4=1100.4≈12.512≈0.4，
因此，该同学视力的小数记录法数据约为0.4．
故选：A．
【点评】本题考查对数运算的应用，属于基础题．
7．（5分）若a＝lg832，b＝lg27244，c=149，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
【分析】利用对数函数的性质求解．
解：因为a＝lg832=lg2325=53，
b＝lg27244＞lg27243=lg3335=53，
所以b＞a，
又因为c=149＜159=53，
所以b＞a＞c．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．
8．（5分）若二次方程x2+（a﹣6）x+2a﹣4＝0在（0，3）上有两个不相等的实根，则a的取值范围是（ ）
A．(10+43，+∞)B．(135，6)
C．(135，10−43)D．(2，10+43)
【分析】结合二次方程根的分布条件建立关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
解：因为二次方程x2+（a﹣6）x+2a﹣4＝0在（0，3）上有两个不相等的实根，
所以Δ=(a−6)2−4(2a−4)＞00＜−a−62＜32a−4＞09+3(a−6)+2a−4＞0，解得135＜a＜10−43．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次方程根的分布，属于基础题．
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列判断错误的是（ ）
A．当x＞0时，xx−2.5=x3
B．“∃x∈N，x∉N”的否定是”∀x∈N，x∉N”
C．函数y=(13)x−3x+3为增函数
D．“2，3，7，9这四个数都是质数”的否定是“2，3，7，9这四个数不都是质数”
【分析】由幂的运算性质判断出A的真假；由命题的否定，判断出BD的真假；由复合函数的单调性求解C的真假．
解：A中，x＞0时，xx−2.5=x12•x52=x3，所以A正确；
B中，“∃x∈N，x∉N”的否定是”∀x∈N，x∈N”，所以B不正确；
C中，函数y=(13)x−3x+3=3﹣x﹣3x+3，因为y1＝3﹣x和y2＝﹣3x都是减函数，
所以函数y=(13)x−3x+3为减函数，所以C不正确；
D中，“2，3，7，9这四个数都是质数”的否定是“2，3，7，9这四个数不都是质数”，所以D正确．
故选：BC．
【点评】本题考查命题真假的判断，属于基础题．
（多选）10．（6分）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量v（单位：cm3/s）与管道的半径r（单位：cm）的四次方成正比，当气体在半径为5cm的管道中时，流量为1250cm3/s，则（ ）
A．当气体在半径为3cm的管道中时，流量为152cm3/s
B．当气体在半径为3cm的管道中时，流量为162cm3/s
C．要使得气体流量不小于512cm3/s，管道的半径的最小值为32cm
D．要使得气体流量不小于512cm3/s，管道的半径的最小值为4cm
【分析】结合题意可得：v＝2r4，然后逐一判断即可．
解：设v＝kr4，
又1250＝k×54，
则k＝2，
即v＝2r4，
当气体在半径为3cm的管道中时，流量为2×34＝162cm3/s，
即选项A错误，选项B正确；
由2r4≥512，
则r≥4，
即要使得气体流量不小于512cm3/s，管道的半径的最小值为4cm，
即选项C错误，选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，属基础题．
（多选）11．（6分）已知定义在（﹣10，8）上的函数f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，且f（x+1）在[﹣1，8）上单调递减，则（ ）
A．y＝|f（x）|是偶函数
B．∀x1，x2∈（﹣9，9）且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x2−x1＜0
C．不等式f（x﹣5）+f（3x﹣3）＜0的解集为（2，4）
D．当[x]表示不大于x的最大整数时，不等式f（[x]）≤﹣f（[1.2]）的解集为[﹣1，9）
【分析】由题意可得f（x）为奇函数，且在[0，9）上单调递减，
对于A，由题意可得|f（﹣x）|＝|f（x）|，即可判断；
对于B，由函数单调性可得f(x1)−f(x2)x2−x1＞0，即可判断；
对于C，将问题转化为f（x﹣5）＜f（﹣3x+3），列出不等式求解即可；
对于D，由题意可得f（[x]）≤f（﹣1），从而得[x]≥﹣1，求解即可判断．
解：因为f（x+1）的定义域为（﹣10，8），
所以函数y＝f（x）的定义域为（﹣9，9），
又因为f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，
将y＝f（x+1）的图象向右平移1个单位，即得y＝f（x）的图象，
所以f（x）的图象关于点（0，0）对称，
所以则f（x）为奇函数，
对于A，因为|f（﹣x）|＝|﹣f（x）|＝|f（x）|，
所以y＝|f（x）|是偶函数，故A正确；
对于B，因为f（x+1）在[﹣1，8）上单调递减，
所以f（x）在[0，9）上单调递减，
又f（x）为奇函数，
所以f（x）在（﹣9，9）上单调递减，
则∀x1，x2∈（﹣9，9）且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2＜0，
即f(x1)−f(x2)x2−x1＞0，故B错误；
对于C，由f（x﹣5）+f（3x﹣3）＜0，
得f（x﹣5）＜﹣f（3x﹣3）＝f（﹣3x+3），
则x−5＞−3x+3−9＜x−5＜9−9＜3x−3＜9，解得x∈（2，4），故C正确；
对于D，当[x]表示不大于x的最大整数时，
不等式f（[x]）≤﹣f（[1.2]）等价于f（[x]）≤﹣f（1）＝ f（﹣1），
则[x]≥﹣1，所以﹣1≤x＜9，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性及单调性，考查数学抽象、逻辑推理的核心素养，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若函数f（x）＝lg0.3（x﹣9），则不等式f（x）＞lg0.32的解集为 （9，11） ．
【分析】由已知结合对数函数的性质即可求解不等式．
解：因为f（x）＝lg0.3（x﹣9）＞lg0.32，
所以0＜x﹣9＜2，
所以9＜x＜11．
故（9，11）．
【点评】本题主要考查了对数不等式的求解，属于基础题．
13．（5分）若函数f(x)=(a−2)x，x＜12ax−3，x≥1是R上的减函数，则a的取值范围为 （0，1] ．
【分析】由一次函数及反比例型函数的性质，列出不等式组求解即可．
解：因为函数f(x)=(a−2)x，x＜12ax−3，x≥1是R上的减函数，
所以a−2＜02a＞0a−2≥2a−3，解得0＜a≤1．
故（0，1]．
【点评】本题考查了一次函数、反比例型函数的性质，属于基础题．
14．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，一次函数f（x）的图象不仅平分正方形ABCD的面积，也平分矩形EFGH的面积，则f（x）＝ −34x+112 ，函数y＝f（f（x））的零点为 −229 ．
【分析】根据一次函数的图象不仅平分正方形ABCD的面积，也平分矩形EFGH的面积，可知该一次函数的图象过正方形的中心点（2，4）和矩形的中心点 （4，2.5），可设一次函数的解析式为f（x）＝kx+b，k≠0，由待定系数法列出方程组，解出k，b，再写出函数y＝f（f（x））的解析式，令y＝0即可解出零点．
解：设一次函数的解析式为f（x）＝kx+b，k≠0，
根据题意该一次函数的图象过正方形的中心点（2，4）和矩形的中心点（4，2.5），
所以4=2k+b2.5=4k+b，
解得k=−34，b=112，
故一次函数的解析式f(x)=−34x+112，
则y=f(f(x）=−34(−34x+112)+112=916x +118，
令916x+118=0，
解得x=−229，
故函数的零点为−229．
故−34x+112；−229．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，考查了函数的零点问题，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）若x＞1，求值：lg3x•lgx9+10lg（x+2）﹣x．
（2）若lga32＜5（a＞0，且a≠1），求a的取值范围．
【分析】（1）结合对数运算性质即可求解；
（2）结合对数函数的性质即可求解．
解：（1）若x＞1，则lg3x•lgx9+10lg（x+2）﹣x
=lgxlg3⋅2lg3lgx+x+2﹣x
＝4；
（2）若lga32＜5＝lgaa5，
当a＞1时，则a5＞32＝25，即a＞2，
当0＜a＜1时，显然不成立
故a的取值范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质及对数函数性质的应用，属于基础题．
16．（1）求函数y=x2+400x2+17的最小值；
（2）若x＞0，y＞0，求1−(x2+y2+8xy)的最大值．
【分析】（1）由已知结合基本不等式即可求解；
（2）由已知结合基本不等式即可求解．
解：（1）令t＝x2+17，t≥17，
则y=t+400t−17≥2t⋅400t−17=23，当且仅当t＝20，即x=±3时等号成立，
故函数的最小值为23；
（2）因为x＞0，y＞0，所以x2+y2+8xy≥2xy+8xy≥8，当且仅当x=y=2时等号成立，
所以1−(x2+y2+8xy)≤−7，即1−(x2+y2+8xy)的最大值为﹣7．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
17．已知函数f(x+2)=12×2x+21−2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．
【分析】（1）由已知利用换元法即可求解函数解析式；
（2）由已知结合指数函数及二次函数的性质即可求解函数的值域．
解：（1）令x+2＝t，得x＝t﹣2，
则f(t)=12×2t−2+21−2t−2=3×2t+4−2t，
所以f(x)=3×2x+4−2x(x≤2)．
（2）令4−2x=m∈[0，2)，则2x＝4﹣m2，
所以f（x）可化为g（m）＝3（4﹣m2）+m，
即g(m)=−3(m2−13m)+12=−3(m−16)2+14512，m∈[0，2)，
当m=16时，g（m）取得最大值14512，
又g（2）＝2，
所以g（m）的值域为(2，14512]，即f（x）的值域为(2，14512]．
【点评】本题主要考查了换元法求解函数解析式，还考查了函数性质在函数值域求解中的应用，属于中档题．
18．已知函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+xy+1．
（1）求f（0）的值；
（2）求函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）+ax在区间[﹣2，4]上的最小值；
（3）证明：f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22)．
【分析】（1）利用赋值法即可求解f（0）的值；
（2）利用赋值先求出f（x）+f（﹣x），进而可求g（x），然后结合二次函数的性质对a的范围进行分类讨论即可求解；
（3）利用赋值法，结合基本不等式即可证明．
解：（1）函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+xy+1，
令x＝y＝0，可得f（0）＝﹣1；
（2）令y＝﹣x，可得f（x）+f（﹣x）＝x2﹣2，g（x）＝x2+ax﹣2，
a≥4时，g（x）在[﹣2，4]上单调递增，最小值为g（﹣2）＝2﹣2a；
﹣8＜a＜4时，g（x）在x=−a2处取得最小值，最小值为g(−a2)=−a24−2；
a≤﹣8时，g（x）在[﹣2，4]上单调递减，最小值为g（4）＝14+4a．
证明：（3）令x＝x1，y＝x2，可得f（x1）+f（x2）＝f（x1+x2）﹣x1x2﹣1，
令x=y=x1+x22，可得f(x1+x22)=f(x1+x2)−(x1+x2)24−12
=f(x1)+f(x2)+x1x2+1−(x1+x2)24−12=f(x1)+f(x2)+x1x2−(x1+x2)42，
由基本不等式可知，x1x2≤(x1+x2)24，
可得f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22)．
【点评】本题主要考察了赋值法的应用，二次函数单调性在最值求解值的应用，还考查了基本不等式的应用，属于中档题．
19．若函数y＝f（x）+g（x）为幂函数，则称f（x）与g（x）互为“和幂函数”；若函数y＝f（x）g（x）为幂函数，则称f（x）与g（x）互为“积幂函数”．
（1）试问函数f（x）=12x+lg2(x2+1+x)与g（x）=12x+lg2(x2+1−x)是否互为“和幂函数”？说明你的理由．
（2）已知函数f（x）＝xm•2﹣x与g（x）＝（m3+m﹣9）2x互为“积幂函数”．
①证明：函数h（x）＝f（x）﹣g（x）存在负零点，且负零点唯一．
②已知函数p（x）＝2lnx﹣xln2在(0，2ln2)上单调递增，在(2ln2，+∞)上单调递减，且p（2ln2）＝t＞0，若函数k（x）＝f（x）﹣a在（0，6]上有两个零点，求a的取值范围（结果用含字母t的区间表示）．
【分析】（1）计算f（x）+g（x），由“和幂函数”的定义即可判断；
（2）①由“积幂函数”的定义求出m的值，令h（x）＝0可得x2＝4x，构造函数φ（x）＝x2﹣4x（x＜0），由零点存在定理即可证明；②依题意可得f（x）＝ep（x），由复合函数的单调性结合题意即可求解a的取值范围．
解：（1）f（x）与g（x）互为“和幂函数”，理由如下．
因为x2+1＞x2=|x|≥x，x2+1＞x2=|x|≥−x，所以f（x）与g（x）的定义域均为R．
因为f(x)+g(x)=x+lg2[(x2+1+x)(x2+1−x)]=x+lg2(x2+1−x2)=x+lg21=x，
又y＝x（x∈R）为幂函数，所以f（x）与g（x）互为“和幂函数”．
（2）①证明：因为函数f（x）＝xm•2﹣x与g（x）＝（m3+m﹣9）2x互为“积幂函数”，
所以f（x）g（x）＝（m3+m﹣9）xm，则m3+m﹣9＝1，即m3+m＝10．
设F（m）＝m3+m，则F（m）为增函数．因为F（2）＝10，所以m＝2．
所以f（x）＝x2•2﹣x，g（x）＝2x，
令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，即x2•2﹣x＝2x，所以x2＝4x，
设函数φ（x）＝x2﹣4x（x＜0）．因为φ(−1)=34＞0，φ(−12)=−14＜0，
易知φ（x）的图象是连续不断的曲线，所以φ（x）在(−1，−12)上存在零点，即h（x）存在负零点．
因为φ（x）为减函数，所以φ（x）的零点唯一，即h（x）存在负零点，且负零点唯一．
②当x＞0时，f（x）＝x2•2﹣x＞0，lnf（x）＝ln（x2•2﹣x）＝2lnx﹣xln2＝p（x），
则f（x）＝ep（x），
因为y＝ex为增函数，且p（x）＝2lnx﹣xln2在(0，2ln2)上单调递增，在(2ln2，+∞)上单调递减，
所以根据复合函数的单调性可知f（x）在(0，2ln2)上单调递增，在(2ln2，6]上单调递减，
所以f(x)max=f(2ln2)=et，
令k（x）＝0，得f（x）＝a．因为2ln2＞2lne=2，2ln2＜2lne=4，f(1)=12＜f(6)=916，
且k（x）＝f（x）﹣a在（0，6]上有两个零点，所以a的取值范围为[916，et)．
【点评】本题考查函数的新定义、幂函数、函数的零点、指数与对数函数、函数的单调性，考查数学运算、数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
A
D
A
C
C