2024-2025学年河北省保定市高一上学期第三次月考数学检测试卷（12月份）附解析

这是一份2024-2025学年河北省保定市高一上学期第三次月考数学检测试卷（12月份）附解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分.）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|1≤2x≤8}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤2}
2．（5分）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）
3．（5分）已知函数f（x）=x+3，x＜0x2−1，x≥0，若f（m）＝3，则实数m的值为（ ）
A．2B．2或﹣2C．﹣2D．2或0
4．（5分）已知f(x−1)=x−2x，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝x2﹣1B．f（x）＝x2+1（x≥﹣1）
C．f（x）＝x2﹣1（x≥﹣1）D．f（x）＝x2+1
5．（5分）人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为5−12称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，由此我们可得sin738°＝（ ）
A．5−14B．5−28C．5+14D．4−58
6．（5分）已知a＝lg32，b=ln3ln4，c=23．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜a＜c
7．（5分）已知f(x)=(3−a)x+1，x＜1lgax，x≥1的最小值是f（1），那么a的取值范围是（ ）
A．[32，3)B．（0，3）C．（1，3）D．（3，4]
8．（5分）已知函数f(x)=|lgx|，x＞0x+1，x≤0，若函数y＝f（x）﹣a有3个零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，0]D．[0，1）
二、多选题（本大题共3小题，共18分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．tan(−353π)的值是3
B．若角α的终边上一点P的坐标为（﹣3，4），则sinα=45
C．经过4小时时针转了120°
D．若角α与β终边关于y轴对称，则a+β=π2+2kπ，k∈Z
（多选）10．（6分）下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，﹣1）
B．函数y=−x2+4x−3的单调递增区间为（﹣∞，2）
C．函数y=x+x−1的值域为[0，+∞）
D．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]
（多选）11．（6分）已知函数f(x)=lg2(mx2+2x+m−1)，m∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（1+52，+∞）
B．若函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），则实数m＝2
C．若函数f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（0，+∞）
D．若m＝0，则不等式f（x）＜1的解集为{x|x＜32}
三、填空题（本大题共3小题，15分）
12．（5分）已知α∈{−3，−2，−1，−12，12，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α的取值集合是 ．
13．（5分）（1）已知角α（0＜α＜2π）的终边与角−174π重合，则α＝ ．
（2）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合是 ．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（5）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（15分）求值：
（1）已知a12+a−12=2，求a3+a−3+2a+a−1−1的值．
（2）lg20.25+lne+24⋅lg23+lg4+2lg5−4(−2)4．
16．（15分）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为π3.求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积．
（2）已知扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
17．（15分）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f(x)+g(x)=12x．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若存在x使方程2g(x)+a2x−1=0成立，求实数a的取值范围．
18．（15分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f（x）时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤75恒成立；（3）f(x)≤x5恒成立．）
（1）判断函数f(x)=x30+10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
（2）已知函数g(x)=ax−5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
19．（17分）已知函数f（x）＝lg2（2x+1）+ax是偶函数．
（1）求a的值；
（2）设g（x）＝f（x）+x，h（x）＝x2﹣2x+m，若对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g（x1）≥h（x2），求m的取值范围．
答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，共40分.）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|1≤2x≤8}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤2}
【分析】由指数不等式确定B，再由交集运算即可求解．
解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤3}，
∴A∩B＝{x|0≤x＜1}．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的单调性，交集的运算，是基础题．
2．（5分）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）
【分析】判断函数的连续性，利用零点判定定理求解即可．
解：函数f（x）＝2x+3x是连续增函数，
∵f（﹣1）=12−3＜0，f（0）＝1+0＞0；
∴f（﹣1）f（0）＜0．
所以函数的零点在（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．
3．（5分）已知函数f（x）=x+3，x＜0x2−1，x≥0，若f（m）＝3，则实数m的值为（ ）
A．2B．2或﹣2C．﹣2D．2或0
【分析】当m≥0时，由m2﹣1＝3，解得m的值；当m＜0时，由m+3＝3，求得m的值，综合可得结论．
解：当m≥0时，由m2﹣1＝3，解得m＝2，
当m＜0时，由m+3＝3，求得m＝0（舍）．
综上可得，m＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查根据分段函数的解析式求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
4．（5分）已知f(x−1)=x−2x，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝x2﹣1B．f（x）＝x2+1（x≥﹣1）
C．f（x）＝x2﹣1（x≥﹣1）D．f（x）＝x2+1
【分析】利用配凑法求函数解析式，注意函数的定义域即可．
解：由f(x−1)=x−2x=(x−1)2−1，
则f（x）＝x2﹣1（x≥﹣1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了换元法求解函数解析式，属于基础题．
5．（5分）人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为5−12称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，由此我们可得sin738°＝（ ）
A．5−14B．5−28C．5+14D．4−58
【分析】根据黄金分割定义可得cs72°=5−14，再由诱导公式计算可得结果．
解：如图，△ABC为最美三角形，∠BAC＝36°，则∠ABC＝∠BCA＝72°，
易知BCAC=5−12，取BC的中点为D，如下图所示：
则在Rt△ADC中，易知cs∠BCA=cs72°=DCAC=5−14，
所以sin738°=sin(720°+18°)=sin18°=cs72°=5−14．
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割定义，属于基础题．
6．（5分）已知a＝lg32，b=ln3ln4，c=23．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜a＜c
【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可．
解；∵c=23=lg3323=lg339＞lg338=lg32=a，∴c＞a，
又c=23=lg4423=lg4316＜lg4327=lg43=ln3ln4=b，∴c＜b，
∴a＜c＜b．
故选：B．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7．（5分）已知f(x)=(3−a)x+1，x＜1lgax，x≥1的最小值是f（1），那么a的取值范围是（ ）
A．[32，3)B．（0，3）C．（1，3）D．（3，4]
【分析】因为函数f（x）有最小值f（1），所以当x＜1时，函数f（x）单调递减，当x≥1时，函数f（x）单调递增，再结合（3﹣a）+1≥lga1，即可解得结果．
解：已知函数f(x)=(3−a)x+1，x＜1lgax，x≥1的最小值是f（1），
则当x＜1时，一次函数f（x）＝（3﹣a）x+1单调递减，需3﹣a＜0，解得a＞3；
当x≥1时，对数函数f（x）＝lgax单调递增，需a＞1．
又函数的最小值为f（1），得（3﹣a）+1≥lga1，解得a≤4，
取交集可得3＜a≤4，即a的取值范围是（3，4]．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的单调性及其应用，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）已知函数f(x)=|lgx|，x＞0x+1，x≤0，若函数y＝f（x）﹣a有3个零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，0]D．[0，1）
【分析】作出函数y＝f（x）的图象和直线y＝a，由图象可得x1x2＝1，﹣1＜x3≤0，即可得x1x2x3的范围．
解：若函数y＝f（x）﹣a有3个零点x1，x2，x3，
作出函数y＝f（x）的图象和直线y＝a，
由图象可得﹣lgx1＝lgx2，∴lgx1+lgx2＝0，即lg（x1x2）＝0，∴x1x2＝1；
﹣1＜x3≤0，
∴﹣1＜x1x2x3≤0．
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点的范围，考查数形结合的思想方法，以及对数函数的性质的运用，考查运算能力，属于中档题
二、多选题（本大题共3小题，共18分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．tan(−353π)的值是3
B．若角α的终边上一点P的坐标为（﹣3，4），则sinα=45
C．经过4小时时针转了120°
D．若角α与β终边关于y轴对称，则a+β=π2+2kπ，k∈Z
【分析】直接利用三角函数的诱导公式，三角函数的定义，角的定义求出结果．
解：对于A：tan(−35π3)=tan(12π−35π3)=3，故A正确；
对于B：角α的终边上的点P（﹣3，4），故sinα=yr=45，故B正确；
对于C：经过4小时时针转了﹣120°，故C错误；
对于D：角α与β终边关于y轴对称，则α−β=2kπ+π2，（k∈Z）．
故选：AB．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，﹣1）
B．函数y=−x2+4x−3的单调递增区间为（﹣∞，2）
C．函数y=x+x−1的值域为[0，+∞）
D．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]
【分析】利用指数函数的性质判断A的正误；复合函数的单调性判断B的正误；求解值域判断C的正误；求解定义域判断D的正误．
解：因为函数f（x）＝ax恒过（0，1），所以函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，﹣1），所以A选项正确；
函数y=−x2+4x−3的定义域为[1，3]，x＝2时，取得最大值，
由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为（1，2），所以B选项不正确；
函数y=x+x−1的值域为[1，+∞），所以C选项不正确；
函数f（x）的定义域为[0，2]，可得0≤2x≤2，可得x∈[0，1]，所以函数f（2x）的定义域为[0，1]，所以D选项正确．
故选：AD．
【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，函数的定义域的求法，值域的求法等基本知识，是基础题．
（多选）11．（6分）已知函数f(x)=lg2(mx2+2x+m−1)，m∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（1+52，+∞）
B．若函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），则实数m＝2
C．若函数f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（0，+∞）
D．若m＝0，则不等式f（x）＜1的解集为{x|x＜32}
【分析】A．由题意可得mx2+2x+m﹣1＞0恒成立，求解即可；
B．由题意可得mx2+2x+m﹣1≥12，求解即可；
C．由题意可得m＞0−1m≤24m+4+m−1＞0求解即可；
D．由题意可得0＜2x﹣1＜2，求解即可．
解：A．因为f（x）的定义域为R，
所以mx2+2x+m﹣1＞0恒成立⇔m＞0Δ=−4(m2−m−1)＜0，解得：m＞1+52，故正确；
B．因为f（x）的值域为[﹣1，+∞），
所以mx2+2x+m﹣1≥12⇔m＞0m2−m−1m=12，解得m＝2，故正确；
C．因f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，由复合函数的单调性可知：m＞0−1m≤24m+4+m−1＞0，解得m＞0；
当m＝0时，f（x）＝lg2（2x﹣1），满足题意，所以m的取值范围为[0，+∞），故不正确；
D．当m＝0时，f（x）＝lg2（2x﹣1）（x＞12），
由f（x）＜1，可得0＜2x﹣1＜2，解得12＜x＜32，故错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了函数的基本性质，难点在于完整找到每一选项中的等价条件，属于中档题．
三、填空题（本大题共3小题，15分）
12．（5分）已知α∈{−3，−2，−1，−12，12，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α的取值集合是 {﹣2}． ．
【分析】根据幂函数的性质得到α＜0，再结合函数的奇偶性求出答案．
解：因为幂函数f（x）＝xα在（0，+∞）上单调递减，所以α＜0，
当α＝﹣3时，f（x）＝x﹣3，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又f（﹣x）＝﹣x﹣3＝﹣f（x），
故f（x）＝x﹣3为奇函数，舍去；
当α＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又f（﹣x）＝﹣x﹣1＝﹣f（x），
故f（x）＝x﹣1为奇函数，舍去；
当α＝﹣2时，f（x）＝x﹣2，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又f（﹣x）＝（﹣x）﹣2＝x﹣2＝f（x），
故f（x）＝x﹣2为偶函数，满足要求，
当α=−12时，f(x)=x−12，定义域为（0，+∞），故不为偶函数，舍去．
故{﹣2}．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于基础题．
13．（5分）（1）已知角α（0＜α＜2π）的终边与角−174π重合，则α＝ 74π ．
（2）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合是 [2kπ−π6，2kπ+3π4]，k∈Z ．
【分析】（1）利用相差2kπ（k∈Z）角度的角的终边重合即可得出α的值；
（2）根据图象即可得出角θ．
解：（1）由题意，0＜α＜2π，
又−174π=74π−2π×3，
∴α=74π；
（2）由题意及图可知，
2kπ−π6≤x≤2kπ+3π4(k∈Z)，
∴角θ的集合是[2kπ−π6，2kπ+3π4]，k∈Z．
故7π4；[2kπ−π6，2kπ+3π4]，k∈Z．
【点评】本题考查终边相同角的定义及其求法，是基础题．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（5）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集为 （0，5）∪（﹣∞，﹣5） ．
【分析】由题意，根据函数的奇偶性和单调性即可求解不等式．
解：因为函数f（x）是定义域为R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，f（5）＝0，
所以f（x）＜0，即f（|x|）＜f（5），得|x|＜5，解得﹣5＜x＜5；
f（x）＞0，即f（|x|）＞f（5），得|x|＞5，解得x＜﹣5或x＞5；
由xf（x）＜0，得x＞0f(x)＜0或x＜0f(x)＞0，即x＞0−5＜x＜5或x＜0x＜−5或x＞5，
解得0＜x＜5或x＜﹣5．
所以不等式xf（2x﹣1）＜0的解集为（0，5）∪（﹣∞，﹣5）．
故（0，5）∪（﹣∞，﹣5）．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（15分）求值：
（1）已知a12+a−12=2，求a3+a−3+2a+a−1−1的值．
（2）lg20.25+lne+24⋅lg23+lg4+2lg5−4(−2)4．
【分析】（1）根据a12+a−12=2可得a+1a=2，利用(a+1a)3=a3+1a3+3(a+1a)可得a3+1a3的值，进而得到结果．
（2）利用对数的运算性质和指数运算可得结果．
解：（1）∵a12+a−12=a+1a=2，
∴(a+1a)2=a+1a+2=4，
∴a+1a=2，
∴(a+1a)3=(a+1a)(a2+2+1a2)=a3+1a3+3(a+1a)=8，
∴a3+1a3=2，
∴a3+a−3+2a+a−1−1=a3+1a3+2a+1a−1=2+22−1=4．
∴当a12+a−12=2时，a3+a−3+2a+a−1−1的值为4．
（2）lg20.25+lne+24⋅lg23+lg4+2lg5−4(−2)4
=lg214+lne12+2lg234+lg4+lg52−424
=lg22−2+12+34+lg100−2
=−2+12+81+2−2=1592．
【点评】本题考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（15分）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为π3.求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积．
（2）已知扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）先求出半径，再由扇形弧长与面积公式可得；
（2）建立面积函数关系，求二次函数最值即可．
解：（1）因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角α=π3，所以半径r＝2，
所以扇形的面积S=12αr2=12×π3×22=2π3，
所对的弧长l=αr=2π3；
（2）设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l+2r＝40，所以l＝40﹣2r，故0＜r＜20．
所以S=12lr=12×(40−2r)r=−(r−10)2+100，r∈(0，20)，
所以当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，这时α=lr=40−2×1010=2rad．
故当扇形的半径为10cm，圆心角为2rad时，扇形的面积最大，最大值为100cm2．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，考查计算能力，属于基础题．
17．（15分）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f(x)+g(x)=12x．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若存在x使方程2g(x)+a2x−1=0成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由奇偶性构造方程组求解即可；
（2）由题意得到a＝2x﹣（2x）2﹣1，通过换元t＝2x，t∈（0，+∞），构造函数f（t）＝﹣t2+t﹣1，t∈（0，+∞），求其值域即可求解．
解：（1）由于f(x)+g(x)=12x①，那么f(−x)+g(−x)=12−x=2x，
又因为函数g（x）为R上的偶函数，f（x）为R上的奇函数，那么有﹣f（x）+g（x）＝2x②，
根据①+②得到2g(x)=2x+12x，因此g(x)=12(2x+12x)．
（2）由于存在实数x使2g(x)+a2x−1=0成立，
等价于方程a2x=1−2x−12x有解，
所以方程a＝2x﹣（2x）2﹣1有解．令t＝2x，并且t∈（0，+∞），那么f（t）＝﹣t2+t﹣1，t∈（0，+∞），
所以对称轴为t=12时，函数f（t）的最大值为−34，
因此a的取值范围是(−∞，−34]．
【点评】本题考查函数恒成立问题，属于中档题．
18．（15分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f（x）时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤75恒成立；（3）f(x)≤x5恒成立．）
（1）判断函数f(x)=x30+10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
（2）已知函数g(x)=ax−5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
【分析】（1）研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合的基本要求；
（2）先求出g（x）max＝a1600−5≤75，此时a的范围，再求出满足f(x)≤x5恒成立a的范围，即可求出
解：（1）对于函数模型f（x）=x30+10，
当x∈[25，1600]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≤f（1600）=1603+10≤75，显然恒成立，
若函数f（x）=x30+10−x5≤0恒成立，即x≥60
∴f（x）=x30+10不恒成立，
综上所述，函数模型f（x）=x30+10，
满足基本要求①②，但是不满足③，
故函数模型f（x）=x30+10，不符合公司要求；
（2）x∈[25，1600]时，g（x）＝ax−5有意义，
∴g（x）max＝a1600−5≤75，
∴a≤2，
设ax−5≤x5恒成立，
∴a2x≤（5+x5）2恒成立，
即a2≤25x+2+x25，
∵25x+x25≥225x⋅x25=2，当且仅当x＝25时取等号，
∴a≤2
∵a≥1，
∴1≤a≤2，
故a的取值范围为[1，2]
【点评】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言﹣﹣数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．
19．（17分）已知函数f（x）＝lg2（2x+1）+ax是偶函数．
（1）求a的值；
（2）设g（x）＝f（x）+x，h（x）＝x2﹣2x+m，若对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g（x1）≥h（x2），求m的取值范围．
【分析】（1）由偶函数的性质可求解a的值；
（2）由题意可得g（x）在[0，4]上的最小值不小于h（x）在[0，5]上的最小值，分别求出g（x）的最小值和h（x）的最小值即可得解．
解：（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），即lg2(2−x+1)−ax=lg2(2x+1)+ax，
即2ax=lg2(2−x+1)−lg2(2x+1)=lg22−x+12x+1=−x，解得a=−12．
（2）∵对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g（x1）≥h（x2），
∴g（x）在[0，4]上的最小值不小于h（x）在[0，5]上的最小值．
∵g(x)=lg2(2x+1)+12x在[0，4]上单调递增，∴g（x）min＝g（0）＝1，
∵h（x）＝x2﹣2x+m在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）min＝h（1）＝m﹣1，
∴1≥m﹣1，解得m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．
【点评】本题主要考查函数恒成立求参数范围问题，偶函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
C
A
B
D
C