2024-2025学年河北省唐山市高一上学期12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省唐山市高一上学期12月月考数学检测试卷（附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合A＝{0，1，2}，B＝{x|1＜x≤2}，则A∩B＝（ ）
A. {1，2}B. {2}C. {0}D. {0，1，2}
【正确答案】B
解析：解：集合，1，，，
．
故选：．
2. 已知复数在复平面内对应的点是，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
解析：复数在复平面内对应的点为，则，
所以.
故选：B．
3. 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（ ）
A. 150B. 180C. 200D. 250
【正确答案】A
解析：由题意样本容量为.
故选：A.
4. 已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
【正确答案】A
解析：对于A，因为，，所以，
又，，所以，A正确；
对于B，在正方体中，
记平面为，平面为，为，为，
则，，，但与不平行，B错误；
对于C，记平面为，平面为，为，为，
由正方体性质可知，平面，平面，所以，
则，，，但不垂直，C错误；
对于D，记为，为，平面为，
则，，但与不垂直，D错误.
故选：A
5. 已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【正确答案】C
解析：依题意，设单位向量的夹角为，
因为，
所以则，所以，
根据题意，正整数的最大值为，
故选：C.
6. 已知的三个内角A、B、C满足，当的值最大时，的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【正确答案】C
解析：因为，
由正弦定理得，所以，
则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当的值最大时，.
故选：C.
7. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
解析：设是的中点，连接，由于，
所以，所以是二面角平面角，所以，
由得.
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
所以，
由于，所以 两两垂直.
由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为.
设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，
故选：A.
8. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数有两个零点
B. 若函数有四个零点，则
C. 若关于的方程有四个不等实根，则
D. 若关于的方程有8个不等实根，则
【正确答案】D
解析：函数的图象关于直线对称，函数的图象开口向下，关于直线对称，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增，当时，单调递减，
函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，

观察图象知，函数的图象与直线有3个公共点，因此函数有3个零点，A错误；
函数的零点，即方程的根，亦即函数的图象与直线交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，

观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点，
因此函数有四个零点，则，B错误；
关于的方程有四个不等实根，不妨设，
显然有，因此，C错误；
令，由选项B知，当且仅当时，方程有4个不等实根，
要关于的方程有8个不等实根，
则当且仅当方程在上有2个不相等的实数根，令这两个实根为，，
且，，则，
由，得，而当时，的两根相等，不符合题意，
所以的取值范围是，D正确.
故选：D
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若事件，，两两独立，则成立.
B. 若事件，，两两互斥，则成立
C. 若事件，相互独立，则与也相互独立.
D. 若，，则事件，相互独立与，互斥可以同时成立.
【正确答案】BC
解析：对于A选项，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数，事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数，于是有，
可以看出事件，，两两独立，但不互相独立，所以，因此A错误；
对于B，若事件，，两两互斥，则，与互斥，
所以，因此B正确；
对于C，若事件，相互独立，则，
又，，则，因此C正确；
对于D，若，，事件相互独立，
则，若互斥，，则，因此D不正确.
故选：BC.
10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 若A＞B，则
B. 若，则有两解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形
【正确答案】ACD
解析：对于A，所以函数在上单调递减，所以，故A正确；
对于B，由正弦定理可得：，∴，
此时无解，故B错误；
对于C，∵，为三角形的内角，
∴，可知A，B，C均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；
对于D：∵，所以由正弦定理可得，又,
因此，
∴，∴，b＝a或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确．
故选：ACD．
11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A. 若点满足，则动点的轨迹长度为
B. 当点在棱上时，的最小值为
C. 当直线AP与AB所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段PF长度最大值为
【正确答案】ACD
解析：对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形，
动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，故正确；
对于B，以为轴将平面顺时针旋转，如图，
则，故B错误；；
对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示，
当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，
又，
弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；
对于D，取的中点分别为，
连接，如图2所示，
因为平面平面，故平面，
，平面平面，故平面；
又平面，故平面平面；
又，
故平面与平面是同一个平面.
则点的轨迹为线段：
在三角形中，
则，
故三角形是以为直角的直角三角形；
故，故长度的最大值为，故D正确.
故选.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则______
【正确答案】
解析：由题意，
，
故．
13. 已知函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
解析：将的图象向右平移个单位长度后，
所得函数图象对应的解析式为，
则当，
即时，在上至少存在两个最值点，满足题意；
当时，，所以（），
解得（）．当时，解集为，不符合题意；
当时，解得；当时，解得．
综上，实数的取值范围是．
故
14. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________.
【正确答案】
解析：因的面积为10，且，则有，解得，
由图知表示直线上一点到点的向量，
而则表示直线上一点到点 的距离，
由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离，
故易得，此时,同理可得.
如图所示因，由可得：，
由可得：，
由锐角可得是锐角，故是钝角，
于是，
于是.
故答案为.
四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值．
【正确答案】（1）
（2）的最小值为
（1）
由，则，则，
，，故，
，由于，所以，
所以，则.
（2）
==+，
==，
∵，∴，.
∵恒成立，∴，
从而，即.
16. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，.
（1）求角B；
（2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（1）
因为，
所以由正弦定理得，化简可得，
由余弦定理得，
因为B为三角形内角，，所以.
（2）
因为的外接圆周长为，故外接圆直径为，
因为，所以由正弦定理可得，
所以由余弦定理，
可得，
所以，当且仅当时，等号成立.
又因为，所以，
即的周长的取值范围为.
17. 哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.
（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；
（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
【正确答案】（1），；中位数为；（2）.
解析：（1）由频率分布直方图的面积和为1，则
，得，
又由100人中分数段的人数比分数段的人数多6人
则，解得，
中位数中位数为
（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A，
由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，
在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，，共8种
所以抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为.
18. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，点在线段上.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）证明：存在点，使得平面，并求的值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析，
（1）
设，连接，
因为正方形，所以为中点，
又矩形中，为的中点，
所以且，
所以为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）
平面中，过作于，连接，
因为正方形和矩形所在的平面互相垂直，
，平面平面，平面，
所以平面，平面，
所以，又，，平面，
平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以，
是二面角的平面角，
因为，，所以，
所以，
在中，，，
二面角的正切值为；
（3）
连接交于点，因为是正方形，所以，
又正方形和矩形所在的平面互相垂直，
平面平面，平面，
所以平面，平面，
所以，
当时，，平面，所以平面，
此时，，，则，
又，所以，则，则，
所以，又，所以，则，
所以，所以.
19. 对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的.
（1）若，求关于的“差比模”；
（2）若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值.
【正确答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）
（1）
由题意得，
故关于的“差比模”为.
（2）
先证明共轭复数有如下性质：若任意，则.
证明：设，
则，
而，
故.
；
；
故.
综上，共轭复数的性质得证.
记当“差比模”取最大值时的复数为，即.
由已知发现，
由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得
因为，
所以若当时取得，则时取到，
故可知，
由取遍，不恒为常数，则，
故由基本不等式可得，
故不存在，使得关于的“差比模”是协调的.
（3）
且，设，
则，
平方整理可得：
所以，
即，
平方整理得：，
令，设方程，
则，
故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设.
由题意知， ，
则，且，
故方程有两不等的正实数根，
由关于的不等式，
解得， 则，，
由已知关于的“差比模”是协调的，则，
所以，
利用韦达定理，，
则有，
化简可得，
故．