2024-2025学年河南省固始县高二上学期第二次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省固始县高二上学期第二次月考数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．2023年9月第14届中国国际园林博览会在安徽合肥举行．某媒体甲、乙、丙三名记者去河南园、北京园、香港园进行现场报道，若每个地方恰有一名记者，则甲去河南园的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A．B．C．2D．4
5．已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（ ）
A．或B．2或C．2或4D．或4
6．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
B．不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式
C．是直线与直线垂直的充要条件
D．是直线与直线平行的充要条件
10．如图，棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）

A．B．与所成角的余弦值为
C．，，，四点共面D．的面积为
11．已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ）
A．曲线的图象表示两个圆B．的最大值是
C．的取值范围是D．直线与曲线有且仅有2个交点
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线与相互平行，则它们之间的距离为 .
13．点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为 .
14．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的左，右焦点分别是，，是上一点，，，的面积为，则的标准方程为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆，直线．
(1)求m的取值范围；
(2)当圆的面积最大时，求直线被圆截得的弦长．
16．在第19届杭州亚运会上中国乒乓球队勇夺6金．比赛采用“11分制”规则：11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位亚运选手进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.7，乙发球时乙得分的概率为0.5，各球的结果相互独立，在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求且甲获胜；
(2)求．
17．如图，已知，点P在圆上运动，线段PQ的垂直平分线交线段PM于点N，设动点N的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程；
(2)过点0,4且斜率为k的直线l与曲线C交于D，E两点，求面积的最大值（O为原点）．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点．
(1)求证：平面．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
(3)在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由．
19．法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理.
(1)求椭圆的蒙日圆方程；
(2)对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是.
（i）证明：平分切点弦；
（ii）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点S，，证明.
答案
1．【正确答案】A
【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解.
【详解】记河南园、北京园、香港园分别为，
则样本空间(甲1，乙2，丙3)，(甲1，乙3，丙2)，(甲2，乙1，丙3)，
(甲2，乙3，丙1)，(甲3，乙2，丙1)，(甲3，乙1，丙2)}，共6个基本事件，
则甲去河南园的基本事件有2件，
所以甲去河南园的概率为.
故选：A.
2．【正确答案】C
【分析】
根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可．
【详解】
解：由题意知，
．
故选：．
3．【正确答案】D
【详解】根据题意可知，圆外离，，又．
故选：D
4．【正确答案】D
【分析】先将方程化为标准方程，再求出长轴和短轴，再由已知列方程可求出m的值
【详解】由，得，
因为椭圆的焦点在轴上，
所以，
因为长轴长是短轴长的两倍，
所以，即，得，
故选：D
5．【正确答案】C
【详解】由题意得，，
有四种情形：
，，；
，，；
，，；
，，.
故选：C.
6．【正确答案】B
【详解】由，可得，
故曲线轨迹为以为圆心，1为半径的上半圆，
恒过定点，把半圆和直线画出，如下：

当直线过点时，满足两个相异的交点，且此时取得最大值，最大值为，
当直线与相切时，
由到直线距离等于半径可得，，解得，
结合图形可知要想曲线与直线有两个相异的交点，
实数的取值范围是.
故选：B.
7．【正确答案】B
【详解】因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量为,2,，
直线的方向向量为，
设直线与平面所成角为，
则,．
故选：B．
8．【正确答案】A
【详解】将直线整理可得，
易知该直线恒过定点，
若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部；
易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得，
整理可得，即，
解得.
故选：A
9．【正确答案】ACD
【详解】对于A选项，直线的斜率为时，倾斜角的范围是.
当不在这个区间时，不能直接说直线的倾斜角为.
例如时，，但直线倾斜角.所以A选项说法不正确.
对于B选项，不与坐标轴平行或重合的直线，它有两个不同的点.
两点式方程（且）适用于这种直线，
所以其方程一定可以写成两点式，B选项说法正确.
对于C选项，对于直线和，
若两直线垂直，则.
对于直线与直线，
由垂直条件可得，即，解得或.
所以是两直线垂直的充分不必要条件，C选项说法不正确.
对于D选项，若两直线平行，则.
对于直线与直线，
由平行条件可得.
由得，即，解得.
当时，，，，
不满足，所以两直线不平行.
所以不是两直线平行的充要条件，D选项说法不正确.
故选：ACD.
10．【正确答案】ACD
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
对于A，，，
，所以，故A正确；
对于B，，，
所以，
所以与所成角的余弦值为，故B错误；

对于C，取的中点，连接，
由正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，
所以，，同理可知：，，
所以，，四边形是平行四边形，
则，，，四点共面，故C正确；

对于D，，
取的中点为，连接，所以，
故的面积为，故D正确.

故选：ACD.
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，由得，
即，
所以或，
所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆．故A正确.
对于表示到原点距离的平方再加1，如图，根据两圆关于原点对称，故最大值考虑一种情况即可，即为.故B错误.
对于表示点与点连线的斜率.如图，设过点且与圆相切的直线为
，由直线与圆相切得或故C正确.
对于D，由C知，时，则直线为，与圆M相切.
圆心N到直线距离，故直线为，与圆N相切.
直线与曲线有且仅有两个交点.故D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】
【详解】因为直线与相互平行，
所以，解得，
则直线即为.
直线化为，
则它们之间的距离为.
故答案为:.
13．【正确答案】
【详解】设，又点，
则，
所以，，
又点A在圆上，
则，即，
所以线段AB的中点P的轨迹方程为．
故．
14．【正确答案】
【详解】由椭圆的定义可知，又，
所以，，又，
所以，所以，
所以，，
又椭圆的面积为，所以，解得，，，
所以椭圆的标准方程为．
故
15．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将圆的一般方程进行配方，从而由半径大于0得到关于的不等式，解之即可得解；
（2）利用配方法求得圆的面积取得最大值时的值，从而利用弦长公式即可得解.
【详解】（1）因为圆，
可化为，
由，得，
故的取值范围为；
（2）因为，
故当时，半径取得最大值，则圆的面积最大，
此时圆的方程为，
圆心到直线的距离，
则所求弦长为，
故当圆的面积最大时，直线被圆截得的弦长为.
16．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）分析所求概率对应的情况，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式即可得解.
【详解】（1）“且甲获胜”就是平后，两人又打了2个球比赛结束，
则这两个球均是甲得分，因此且甲获胜；
（2）就是平后，两人又打了4个球比赛结束，
4个球的得分情况是：前2个球甲、乙各得1分，后2个球均是甲得分或均是乙得分，
设事件“且甲获胜”，事件“且乙获胜”，
则，
，
.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）
AI
如图，易知圆的圆心为，半径为4，
由题得，，
所以动点N的轨迹是以M、Q为焦点的椭圆，
不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为，其中，
所以的方程为
（2）由题意得直线，由，，
令，
所以，即或．
设，则，
点到直线的距离
所以
，
令，则，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以面积的最大值为．

18．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【详解】（1）证明：连接，交BD于点，连接．
因为是的中点，是的中点，
所以，又平面平面，
所以平面．
（2）如图，以的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，则．
设平面的法向量为，则
令，得，所以可取．
易知平面的一个法向量为．
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
（3）由（2）知，
则，
．
由（2）知平面的一个法向量可为，
根据题意可得：，即，解得，
又当时，，，则BF的长为．
综上所述，棱上存在一点，使直线平面，且BF的长为.
19．【正确答案】(1);
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）考虑边与椭圆长轴和短轴分别平行的矩形知，其对角线之半就是蒙日圆的半径，即，因此椭圆的蒙日圆方程为.
（2）
（i）设点是切点弦的中点，Mx1,y1，.
当，都存在时，,得，
所以，即，.
（或：设所在的直线方程是，联立,消去得，，.所以点的坐标是.于是.）
而，所以，，，，三点共线，
平分切点弦.
当，有一个不存在时，显然成立.
（ii）显然线段是蒙日圆的直径，经过原点，所以，.
于是，，因此，故.