人教版九年级数学中考一轮复习第01讲 实数及其运算（练习）（学生版+解析版）

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目录
\l "bkmark1" 考点一 实数的有关概念 2
\l "bkmark2" 【题型 1 实数的相关概念辨析】 2
\l "bkmark3" 【题型 2 实数与数轴】 2
\l "bkmark4" 【题型 3 用科学记数法表示数】 3
\l "bkmark5" 【题型 4 估算无理数】 3
\l "bkmark6" 【题型 5 实数的大小比较】 4
\l "bkmark7" 【题型 6 平方根、立方根及非负性的性质】 4
\l "bkmark8" 考点二 实数的运算 5
\l "bkmark9" 【题型 8 数的简便运算】 5
\l "bkmark10" 【题型 9 实数的混合运算】 7
\l "bkmark11" 【题型 11 实数计算中的规律问题】 10
\l "bkmark12" 考点三 二次根式 10
\l "bkmark13" 【题型 12 二次根式有意义的条件】 10
\l "bkmark14" 【题型 13 二次根式的值】 11
\l "bkmark15" 【题型 14 二次根式的混合运算】 11
\l "bkmark16" 【题型 15 复合二次根式的化简】 12
\l "bkmark17" 【题型 16 二次根式的实际应用】 14
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考点一 实数的有关概念
【题型 1 实数的相关概念辨析】
1. (2024·甘肃临夏·中考真题) 下列各数中，是无理数的是 ( )
C. 3 27 D. 0.13133
2. (2024·内蒙古包头·中考真题) 若m,n 互为倒数，且满足m + mn = 3，则n 的值为 ( )
A. C. 2 D. 4
3. (2024·江苏·中考真题) 下列实数中，其相反数比本身大的是 ( )
A. - 2023 B. 0 C. D. 2023
4. (2024·江苏连云港·中考真题) 如果公元前 121 年记作 -121 年，那么公元后 2024 年应记作 年.
5. (2024·四川资阳·中考真题) 若 (a-1(2 + |b - 2| = 0，则 ab = .
【题型 2 实数与数轴】
6. (2024·山东青岛·中考真题) 实数a，b，c，d 在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最 小的是 ( )
A. a B. b C. c D. d
7. (2024·四川南充·中考真题) 如图，数轴上表示、2 的点是 ( )
A. 点A B. 点B C. 点 C D. 点D
8. (2024·甘肃兰州·中考真题) 如图，将面积为 7 的正方形 OABC 和面积为 9 的正方形 ODEF 分别绕原 点 O 顺时针旋转，使 OA ，OD 落在数轴上，点 A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则 b - a =
.
9. (2024·广西桂林·中考真题) 如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周 (不滑动)，圆上
2
的一点由原点到达点 O′，点 O′ 所对应的数值是 .
10. (2024·内蒙古赤峰·中考真题) 如图，数轴上点 A，M，B 分别表示数a，a + b，b，那么下列运算结果一 定是正数的是 ( )
A. a + b B. a -b C. ab D. |a| -b
【题型 3 用科学记数法表示数】
11. (2024·山东日照·中考真题)交通运输部 2024 年 4 月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港 2024 年第一季度吞吐量为 15493 万吨，居全国主要港口第 6 位．将数据 154930000 用科学记数法表示 为 ( )
A. 15.493 × 107 B. 1.5493 × 108 C. 0.15493 × 109 D. 15493 × 104
12. (2024·江苏南通·中考真题)2024 年 5 月，财政部下达 1582 亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡 统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582 亿”用科学记数法表示为 ( )
A. 158.2 × 109 B. 15.82 × 1010 C. 1.582 × 1011 D. 1.582 × 1012
13. (2024·江苏南京·中考真题) 纳秒 (ns) 是非常小的时间单位，1ns = 10-9s，北斗全球导航系统的授时精 度优于 20ns，用科学记数法表示 20ns 是 .
14. (2024·江西·中考真题) 长度单位 1 纳米 = 10-9 米，目前发现一种新型病毒直径为 23150 纳米，用科学记 数法表示该病毒直径是 米 (保留两个有效数字)
15. (2024·广西崇左·中考真题) 据统计，参加“崇左市 2015 年初中毕业升学考试”的人数用科学记数法表 示为 1.47 × 104 人，则原来的人数是 人.
【题型 4 估算无理数】
16. (2024·安徽·中考真题) 设n 为正整数，且n < 、65 < n + 1，则n 的值为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
17. (2024·广东·中考真题) 设 6 - 、10 的整数部分为 a，小数部分为 b，则 ( 2a +、10 (b 的值是 ( )
A. 6 B. 2 10 C. 12 D. 9 10
18. (2024·海南·中考真题) 写出一个比、3 大且比、10 小的整数是 .
3
19. (2024·海南·中考真题) 设n 为正整数，若n < 、2 < n + 1，则n 的值为 .
20. (2024·四川泸州·中考真题) 关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x + y > 2、2 ，写出
a 的一个整数值 .
21. (2024·广东深圳·中考真题) 如图所示，四边形 ABCD，DEFG，GHIJ 均为正方形，且 S正方形ABCD = 10， S正方形GHIJ = 1，则正方形DEFG 的边长可以是 ． (写出一个答案即可)
【题型 5 实数的大小比较】
22. (2024·四川自贡·中考真题) 在 0，-2，-、3 ，π 四个数中，最大的数是 ( )
A. - 2 B. 0 C. π D. - 3
23. (2024·浙江杭州·中考真题) 下列各数中，最小的是 ( ).
A. 0 B. 1 C. - 1 D. - 2
24. (2024·湖南永州·中考真题) 请写出一个比、5 大且比 10 小的无理数： .
25. (2024·湖南永州·中考真题) 如图，有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数：6， 7 ， 11 ， -2， 5 ．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数比 3 小的概率是 .
26. (2024·湖北荆州·中考真题) 为了比较、5 + 1 与、10 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中 ∠C = 90 ° , BC = 3，D 在 BC 上且 BD = AC = 1 ．通过计算可得、5 + 1 、10 ． (填“> ”或 “< ”或“= ”)
【题型 6 平方根、立方根及非负性的性质】
27. (2024·四川凉山·中考真题)、81 的平方根是 ( )
A. ± 3 B. 3 C. ± 9 D. 9
4
28. (2024·辽宁大连·中考真题) 下列计算正确的是 ( )
2 =-3 B. 1 = 1 D.
29. (2009·山东潍坊·中考真题) 一个自然数的算术平方根为 a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 ( )
A. a + 1 B. a2 + 1 C. a2 +1 D. a + 1
30. (2024·浙江·中考真题) 已知实数 a，b 满是 3、a-1 + 5|b| = 9,s = 、a-1 + |b|，则w = 18s + 1 的最大
值为 .
31. (2024·四川内江·中考真题) 在 △ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c，且满足 a2 + |c - 10| + b-8 = 12a - 36，则 sinB 的值为 .
考点二 实数的运算
32. (2024·福建·中考真题) 计算 22 + (-1)0 的结果是 ( ).
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
33. (2024·浙江杭州·中考真题) 计算下列各式，值最小的是 ( )
A. 2 × 0 + 1 - 9 B. 2 + 0 × 1 - 9 C. 2 + 0 - 1 × 9 D. 2 + 0 + 1 - 9
34. (2024·湖北黄石·中考真题) 计算：(-2)2 - (2022 - 、3 )0 = .
35. (2024·四川凉山·中考真题) 计算 .
36. (2024·山东威海·中考真题) 按照如图所示的程序计算，若输出 y 的值是 2，则输入 x 的值是 .
【题型 8 数的简便运算】
37. (2024·江苏盐城·中考) 用简便方法计算 107 × 93 时，变形正确的是 ( )
A. 1002 - 7 B. 1002 - 72
C. 1002 + 2 × 100 × 7 + 72 D. 1002 - 2 × 100 × 7 + 72
5
38. (2024·河北承德·中考) 嘉琪同学在计算 时，运算过程正确且比较简便的是
( )
39. (2024·河南周口·一模) 请你参考如下图所示的黑板中老师的讲解，利用运算律简便计算.
(1)999 × (-15( ；
40. (23 - 24·辽宁营口·一模) 计算
计算：-2| + ； -12014 - (-2 + (π - (0 - |-4| +
(2) 找规律：
观察下列一组算式的特征，并探索规律：
= 1 = 1；
= 1 + 2 = 3 ；
= 1 + 2 + 3 + 4 = 10 . 根据以上算式的规律，解答下列问题：
(1)13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 2 = ；
(2) 13 +23 +33 +⋅⋅⋅+(n-1(3 +n3 = ；(用含n 的代数式表示)
(3) 简便计算：113 + 123 + ... +203
6
利用运算律有时能进行简便计算.
例 198 × 12 = (100-2( × 12 = 1200 - 24 = 1176 .
例 2 - 16 × 233 + 17 × 233 = (-16+17( × 233 = 233 .
41. (2024·河北邯郸·一模) 有个补充运算符号的游戏：在“1□2□(-6( □9”中的每个 □ 内，填入 +、-、×、÷ 中的某一个 (可重复使用)，然后计算结果.
(1) 计算：1 + 2 - (-6( - 9 = (直接写出结果)；
(2) 若 1 ÷ 2 × (-6( □9 = 6，请推算 □ 内的符号应是什么？
(3) 请在 □ 内填上 ×、÷ 中的一个，使计算更加简便，然后计算 ( □ (-
【题型 9 实数的混合运算】
42. (2024·甘肃临夏·中考真题) 计算：| -(-1 + 20250 .
43. (2024·湖北·中考真题) 计算：(-1( × 3 + 、9 + 22 - 20240
7
44. (2024·四川广元·中考真题) 计算：( 2024-π(0 + |-2| + tan60° -((-2 .
45. (2024·辽宁沈阳·中考真题) 计算：(π-2023(0 + (-2 - 4sin30° .
46. (2024·四川广安·中考真题) 计算：-12024 + (- (0 - 2cs60° +|
【题型 10 实数的实际应用】
47. (2024·浙江杭州·中考真题) 已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过 5 千克，收费 13 元；超 过 5 千克的部分每千克加收 2 元．圆圆在该快递公司寄一件 8 千克的物品，需要付费 ( )
A. 17 元 B. 19 元 C. 21 元 D. 23 元
8
48. (2024·浙江绍兴·中考真题) 如图，汽车在东西向的公路 l 上行驶，途中A，B，C，D 四个十字路口都有 红绿灯． AB 之间的距离为 800 米，BC 为 1000 米，CD 为 1400 米，且 l 上各路口的红绿灯设置为：同 时亮红灯或同时亮绿灯，每次红 (绿) 灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯 刚亮时，甲汽车从 A 路口以每小时 30 千米的速度沿l 向东行驶，同时乙汽车从 D 路口以相同的速度 沿 l 向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为 ( )
A. 50 秒 B. 45 秒 C. 40 秒 D. 35 秒
49. (2024·浙江宁波·中考真题) 如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰 子摞在一起而成的．每个骰子的六个面的点数分别是 1 到 6. 其中可看见 7 个面，其余 11 个面是看不 见的面上的点数总和是
A. 41 B. 40 C. 39 D. 38
50. (2024·浙江绍兴·中考真题) 实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器 (容器足够高)，底面半 径之比为 1：2：1，，用两个相同的管子在容器的 5cm 高度处连通 (即管子底端离容器底 5cm)，现三个 容器中，只有甲中有水，水位高 1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水 1 分钟，乙的水位上升 cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 0 ． 5cm .
51. (2024·江苏无锡·中考真题) 某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总 额，规定相应的优惠方法：①如果不超过 500 元，则不予优惠；②如果超过 500 元，但不超过 800 元，则 按购物总额给予 8 折优惠；③如果超过 800 元，则其中 800 元给予 8 折优惠，超过 800 元的部分给予 6 折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款 480 元和 520
9
元；若合并付款，则她们总共只需付款 元.
【题型 11 实数计算中的规律问题】
52. (2024·湖北随州·中考真题) 根据图中数字的规律，若第n 个图中的 q = 143，则p 的值为 ( )
A. 100 B. 121 C. 144 D. 169
53. (2024·山东德州·中考真题) 观察下列等式：
⋯⋯
则 S10 的值为 .
54. (2024 ·湖南 ·中考真题 ) 有一组数据：a 1 = ，a 2 = ，a 3 = ，⋯ , an = . 记 Sn = a1 + a2 + a3 +⋯+an，则 S12 = .
55. (2024·四川达州·中考真题) 人们把 ≈ 0.618 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的
“0 .618 法”就应用了黄金比 ．设 a = ，记 S 1 = ，S2 = + , ⋯ , S100 = ，则 S1 + S2 +⋯+S100 = .
56. (2024·湖南怀化·中考真题) 观察等式：2 + 22 = 23 - 2，2 + 22 + 23 = 24 - 2，2 + 22 + 23 + 24 = 25 - 2，⋯ ⋯,已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，⋯⋯ , 2199，若 2100 =m，用含m 的代数式表示这组数 的和是 .
考点三 二次根式
【题型 12 二次根式有意义的条件】
57. (2024·江苏徐州·中考真题) 要使式子、x-2有意义，则 x 的取值范围是 ( )
A. x > 2 B. x ≥ 2 C. x < 2 D. x ≤ 2
58. (2024·四川眉山·中考真题) 函数y = 中自变量 x 的取值范围是 ( )
10
A. - 2 ≤ x < 1 B. x ≥-2 C. x ≠ 1 D. x ≥-2 且x ≠ 1
59. (2024·浙江衢州·中考真题) 若、x-1有意义，则 x 的值可以是 ． (写出一个即可)
60. (2024·四川内江·中考真题) 若 |1001 - a| + = a，则a - 10012 = .
61. (2024·贵州六盘水·中考真题) 无论 x 取任何实数，代数式、x2 -6x +m 都有意义，则 m 的取值范围为
.
62. (2024·湖北荆州·中考真题) 若根式有意义，则双曲线 与抛物线 y = x2 + 2x + 2 -
2k 的交点在第 象限.
【题型 13 二次根式的值】
63. (2024·浙江杭州·二模) 已知二次根式、x +3 ，当 x = 1 时，此二次根式的值为 ( )
A. 2 B. ± 2 C. 4 D. ± 4
64. (2024·河北·中考真题) 与、32 -22 -12 结果相同的是 ( ) .
A. 3 - 2 + 1 B. 3 + 2 - 1 C. 3 + 2 + 1 D. 3 - 2 - 1
65. (2024·湖北武汉·中考真题) 计算 的结果是 .
66. (2024·云南曲靖·中考真题) 若整数 x 满足 |x|≤ 3，则使 7 -x 为整数的 x 的值是 (只需填一 个) .
67. (2024·四川南充·中考真题) 若、8 -x为整数，x 为正整数，则 x 的值是 .
【题型 14 二次根式的混合运算】
68. (2024·辽宁大连·中考真题) 下列计算正确的是 ( )
A. B. 2 3 + 3 3 = 5 6
C. 8 = 4 2 D. 3 ( 2 3 -2( = 6 - 2 3
69. (2024·山西·中考真题) 计算：(
70. (2024·黑龙江哈尔滨·中考真题) 计算 的结果是 .
71. (2024·山东青岛·中考真题) 计算 ( 的结果是 .
72. (2024·山东济宁·中考真题) 已知 a = 2 + ，b = 2 - 求代数式 a2b + ab2 的值.
73. (2024·青海西宁·中考真题) 计算：( 5 + 3) ( 5 - 3) - ( 3 - 1)2 .
74. (2024·山东临沂·中考真题) 计算 | -(2 - (
11
75. (2024·上海·中考真题) 计算：|-1| -
【题型 15 复合二次根式的化简】
76. (2024·安徽芜湖·二模) 把a根号外的因式移入根号内的结果是 ( )
A. -a B. - -a C. a D. - a
77. (2024·浙江杭州·一模) 化简： 5 -2 6 .
78. (2024·重庆九龙坡·一模) 阅读材料：
材料一: 数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层 (或 多层) 根号, 如：
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方 式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用 到.
如：x2 + 2 2 x + 3 = x2 + 2· 2 ·x + ( 2 )2 + 1 = (x + 2 )2 + 1 2 ≥ 0，∴ 2 + 1 ≥ 1，即 x2 + 2x + 3 ≥ 1
∴ x2 + 2 2 x + 3 的最小值为 1 阅读上述材料解决下面问题：
(1) 4 -2 3 = ， 5 +2 6 = ；
(2) 求 x2 + 4、3 x + 11 的最值；
已知 x = x2y2 + xy - 5 的最值.
12
79. (2024·山东淄博·模拟预测) 我们将 ( a + b )、( a - b ) 称为一对“对偶式”，因为
b
) = ( a )2 - ( b )2 = a - b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 ( a + b ) 和 ( a - b )
中 的“ ”去 掉 . 于 是 二 次 根 式 除 法 可 以 这 样 解 ：如 1 = 3 = 3 ，2 +、2 =
2 - 2
3 × 3
√3 3
= 3 + 2 像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把
根号中的分母化去，叫做分母有理化. 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1) 比较大小
已知 x = ，求 x2 +y2 的值；
计算： +⋯⋯+
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80. (2024·北京·模拟预测) 阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 m 和n，使m2 + n2 = a 且 mn = ，则 a + 2 b 可变为m2 + n2 + 2mn，即变成 (m + n)2，从而使得 a +2 b 化简.
例如：∵ 5 + 2 6 = 3 + 2 + 2 6 = ( 3 )2 + ( 2 )2 + 2 6 = ( 3 + 2 )2 、2
请你仿照上例将下列各式化简
【题型 16 二次根式的实际应用】
81. (2024·浙江杭州·一模) 如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为 3 和 12，则图中阴影部 分的面积为 ( )
A. 2 3 B. 3 C. 3 D. 4
82. (2024·湖北宜昌·中考真题) 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三
边求面积的公式，称为海伦 - 秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p =
那么三角形的面积为 如图，在 ΔABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别记 为 a，b，c，若 a = 5，b = 6，c = 7，则 ΔABC 的面积为 ( )
A. 6 6
B. 6 3
C. 18
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83. (2024·湖南怀化·一模) 一个长方体的长减少 2 3 ，宽不变，高增加、3 ，就得到一个与原长方体体积相 同的正方体，求原长方体的表面积.
84. (2024·山东济南·中考真题) 如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点 都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是 2、3 和 2，则图中阴影部分的面积是 .
85. (2024·浙江宁波·一模) 小明用图 1 所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状 (图 2) ．若 A， B，C 三点共线且点D，A，E，F 在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为 .
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