2025高考数学【真题精编】基础精选——平面向量

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一、单选题
1．（2022·全国）已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【解析】解：,csa→,c→=csb,c→,即,解得,
故选：C
2．（2022·全国）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
3．（2022·全国）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【解析】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
4．（2023·北京）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【解析】向量满足，
所以.
故选：B
5．（2023·全国）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【解析】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
6．（2023·全国）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
7．（2023·全国）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【解析】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
8．（2024·全国）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【解析】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
9．（2024·广东江苏）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【解析】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
10．（2023·全国）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【解析】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
11．（2024·全国）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
二、填空题
12．（2021·北京）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
.
故答案为：0；3.
13．（2021·全国）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【解析】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
14．（2022·全国）已知向量．若，则 ．
【答案】/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【解析】由题意知：，解得.
故答案为：.
15．（2021·全国）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【解析】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
16．（2021·全国）已知向量．若，则 ．
【答案】.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【解析】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
17．（2021·全国）若向量满足，则 .
【答案】
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【解析】∵
∴
∴.
故答案为：.
18．（2021·全国）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
19．（2022·全国）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【解析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
20．（2023·全国）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【解析】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.