2025高考数学【真题精编】基础精选——排列组合和二项式定理

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一、单选题
1．（2024·全国）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
4．（2021·全国）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
6．（2007·北京）某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个
A．B．C．D．
7．（2023·全国）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
8．（2022·全国）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
9．（2022·全国）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·全国）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
11．（2020·山东）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A．B．C．D．
12．（2020·山东）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
13．（2024·北京）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·北京）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
15．（2020·山东）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
16．（2007·江苏）若对于任意的实数，有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
17．（2022·全国）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
18．（2022·全国）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
19．（2024·全国）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
20．（2007·江苏）某校开设9门选修课程，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修4门，则一共有 种不同的选修方案.
21．（2024·天津）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
22．（2023·全国）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
23．（2022·天津）在的展开式中，常数项是 .
24．（2022·全国）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
25．（2024·全国）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
26．（2023·天津）在的展开式中，的系数为 ．
27．（2024·天津）在的展开式中，常数项为 ．
28．（2021·北京）在的展开式中，常数项为 .
29．（2022·浙江）已知多项式，则 ， ．
30．（2021·浙江）已知多项式，则 ， .