2025年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷和答案解析

这是一份2025年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷和答案解析，共11页。试卷主要包含了01， 若，，则______等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果．
1. 已知全集，集合，则______
2. 若，用有理数指数幂的形式表示______
3. 对任意，幂函数的图象一定不经过第______象限
4. 已知，则函数的值域为______
5. 命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______
6. 若，对任意且，函数的图像必过定点______
7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，______
8. 用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为______
9. 若，，则______
10. 设，且函数是偶函数，若，则______
11. 雅各布·伯努利（Jakb Bemulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是______
12. 若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为______
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只—个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C 与 D. 与
14. 小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（ ）
A B. C. D.
15. 设、、、为实数，下列命题中成立是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，，那么D. 如果，，那么
16. 已知m、n都是实数，，若函数的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 无数
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求实数m的取值范围．
18. 已知，．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，证明：在区间上是严格增函数．
19. 当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，再然后增速减缓，最终与当地环境达到自然平衡（如图所示）．数学生物学研究表明，种群数量与时间t的关系可以用逻辑斯蒂方程（Lgistic Equatin）：来表示，其中K表示环境容量（特定环境能够稳定承载的最大种群数量），表示种群初始数量，r表示物种内禀增长率（没有环境限制时种群数量的固有增长率）．某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类F．已知池塘对鱼类F的环境容量为1000条，初始投入100条，鱼类F的年内禀增长率为30％．
（1）预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F多少条? （结果保留整数）
（2）如果某一天与它前一年的同一天相比，鱼类F的年增长率小于或等于5％，则称此时鱼类F与当地环境接近自然平衡．问至少需要经过多少年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡?（结果保留整数），其中，，，
20. 在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为．
（1）若，，求；
（2）已点，点在直线上，证明；
（3）已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值．
21. 已知集合，n是正整数，，…，，都是实数．若，则称A为n元“M集”，记作．
（1）判断是否为真命题；
（2）若，x、y均为正实数，求的取值范围；
（3）若，，，且，．记，．证明：当时，对任意实数x恒成立，且．
参考答案：
1、【答案】
2、【答案】
3、【答案】四
4、【答案】
5、【答案】
6、【答案】
7、【答案】
8、【答案】
9、【答案】1
10、【答案】
11、【答案】1
12、【答案】
13、【答案】D
14、【答案】C
15、【答案】A
16、【答案】B
17、【答案】（1）．
（2）．
18、【小问1详解】
是奇函数，理由如下：
的定义域为，关于原点对称，
，
根据函数奇偶性定义知，为奇函数；
【小问2详解】
时，，设，则
因为，所以，，
所以，即，即，
根据函数单调性定义知，在区间上是严格增函数．
19、【小问1详解】
由题意得，
当时，，
预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F条数为333；
【小问2详解】
由题意得，
化简得，
其中，，，
由于单调递减，
当时，，
当时，，
解得，故至少14年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡.
20、【小问1详解】
，，∴由题知.
【小问2详解】
∵点在直线上，∴设.
，.
由绝对值不等式可知：，
当且仅当，即时等号成立.
.
【小问3详解】
∵动点在函数，的图象上，∴设，.
，.
设，.
则的定义域关于原点对称，且，
∴函数，为偶函数，
故只需研究函数在的最大值即可.
当时，，，
由二次函数性质可知：图象开口向上，对称轴为，
故函数在上单调递增，；
当时，，，
由二次函数性质可知：图象开口向下，对称轴为，
故函数在上单调递增，在上单调递减，；
当时，令得，，
由二次函数性质可知：开口向下，对称轴为；
开口向上，对称轴为，故在上单调递增.
①当，即时，在上单调递增，此时，，；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，此时，，.
综上，.
当时，在上单调递减，；
当时，在上单调递增，.
∴函数的最小值为.
21、【小问1详解】
为真命题，理由如下：
，，
所以满足，为真命题；
【小问2详解】
由题意得，故，，
，
因为x、y均为正实数，故，所以，
故当时，取得最大值，
且，所以，
的取值范围为
【小问3详解】
，故，
所以，同理可得，
故
，
又，
所以
，
因为，，，所以，
，
故，
下证，
由于，
即
，
若，因为，，
所以，
所以，
满足，满足要求，
又
因为，，，
若，其中，
此时，，
此时，不合要求，
综上，.