人教A版（2019）高中数学必修二 第六章平面向量及其应用之重难点03—三角形的”四心“问题专题讲义（原卷版+解析版）

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重难点03三角形“四心”问题（精讲）目录 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc187332365" 1 【知识点梳理】  PAGEREF _Toc187332365 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332366" 1.1 四心的概念介绍：  PAGEREF _Toc187332366 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332367" 1.2 三角形四心与推论：  PAGEREF _Toc187332367 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332368" 2 【典型例题】  PAGEREF _Toc187332368 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332369" 2.1 题型一：重心定理  PAGEREF _Toc187332369 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332370" 2.2 题型二：内心定理  PAGEREF _Toc187332370 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc187332371" 2.3 题型三：外心定理  PAGEREF _Toc187332371 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc187332372" 2.4 题型四：垂心定理  PAGEREF _Toc187332372 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc187332373" 3 【同步测试】  PAGEREF _Toc187332373 \h 4【知识点梳理】四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧与总结】（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上. 为的内心.（2）外心：为的外心.（3）垂心：为的垂心.（4）重心：为的重心.【典型例题】题型一：重心定理【例1】（2024·山东滨州·高一山东省北镇中学校考开学考试）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ）A． B． C．2 D．【变式1-1】（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）  A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-2】（2024·全国·高一假期作业）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）A．1 B． C．2 D．题型二：内心定理【例2】（2024·高一课时练习）已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则＝ ．【变式2-1】（2024·全国·高一专题练习）在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为 ．【变式2-2】（2024·全国·高一专题练习）设I为的内心，若，，，则 题型三：外心定理【例3】（2024·陕西商洛·高一校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，则 ；的面积S= ．【变式3-1】（2024·河南开封·高一校考阶段练习）在锐角中，，若点为的外心，且，则实数的值为 【变式3-2】（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心， ，若，则 ．【变式3-3】（2024·四川达州·高一四川省万源中学校考期中）已知的内角所对的边分别为，满足，，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则= ；的面积为 .题型四：垂心定理【例4】（2024·云南昆明·高一校考阶段练习）已知在中，，是的垂心，且满足，则的面积（    ）A． B．8 C． D．4【变式4-1】（2024·四川成都·高一石室中学校考期中）在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则 .【变式4-2】（2024·江苏泰州·高一统考期末）已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .【变式4-3】（2024·全国·高一专题练习）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心）【同步测试】1．（2024·河南焦作·高一校考阶段练习）已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ）A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心2．（2024·全国·高一专题练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心3．（2024·全国·高一专题练习）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·广西玉林·高一博白县中学校考开学考试）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）  A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶35．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ）A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心6．（2024·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ）A．若，则O是的外心B．若，则I是的内心C．若，则P是的垂心D．若，则N是的重心7．（多选题）（2024·河南郑州·高一校联考期中）点为△所在平面内一点，则（   ）A．若，则点为△的重心B．若，则点为△的垂心C．若．则点为△的垂心D．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心8．（多选题）（2024·河南郑州·高一郑州一中校考期中）设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（    ）A．若，则点D是边BC的中点B．若，则直线AD经过的垂心C．若，则点D在边BC的延长线上D．若，且，则是面积的一半9．（多选题）（2024·河北石家庄·高一校考期中）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，， 的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．10．（多选题）（2024·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）点O在所在的平面内，则下列结论正确的是（ ）A．若，则点O为的垂心B．若，则点O为 的外心C．若，则1D．若且，则点O是的内心11．（多选题）（2024·山东枣庄·高一校考阶段练习）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ）A． B．C． D．12．（多选题）（2024·陕西西安·高一校考阶段练习）在中，有如下四个命题正确的有（    ）A．若，，，则有两解B．若，则的形状为等腰三角形C．若，，则面积的最大值为D．若，则点必为的外心13．（2024·全国·高一专题练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 .14．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．  15．（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）16．（2024·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．17．（2024·高一课时练习）在中，若，则点是的 （填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）．18．（2024·湖北黄冈·高一校联考期中）若为的垂心，，则＝ ， ．19．（2024·安徽芜湖·高一芜湖一中校考强基计划）如图，圆的内接四边形的顶点关于的对称点恰为的内心，.则圆的半径为 .20．（2024·江苏南通·高一如皋市第一中学期末）已知点P为的内心，，若，则 ．21．（2024·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期中）已知为所在平面内一点，有下列结论：①若为的内心，则存在实数使；②若，则为的外心；③若，则为的内心；④若，则与的面积比为．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）22．（2024·广西柳州·高一统考期中）设为的内心，，，，则 23．（2024·广西河池·高一校联考阶段练习）在中，已知，，，为的内心，的延长线交AB于点D，则的外接圆的面积为 ， .24．（2024·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的 (填序号）．①内心  ②垂心   ③ 重心   ④外心25．（2024·云南大理·高一统考期末）在中，为其外心，，若，则 ．26．（2024·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期末）已知点P在所在的平面内，则下列各结论正确的有 ．①若P为的垂心，，则②若为边长为2的正三角形，则的最小值为③若为锐角三角形且外心为P，且，则④若，则动点P的轨迹经过的外心27．（2024·山东青岛·高一统考期末）记的三个内角的对边分别为，，，且，，若是的外心，则 ．28．（2024·湖北武汉·高一校联考阶段练习）设的外心为，且满足，，则的面积为 .29．（2024·全国·高一课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．  (1)试用，表示．(2)试用，，表示．