2023~2024学年北京市九年级上学期期末模拟卷数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年北京市九年级上学期期末模拟卷数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，三象限D. 第二，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴设x=3k，y=2k，则，
故选：A．
2. 如图，在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，∴，
∴，
，故C正确．
故选：C．
3. 将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得的抛物线解析式为（ ）
A. y＝（x﹣4）2+6B. y＝（x﹣4）2﹣2
C. y＝（x+2）2﹣2D. y＝（x+2）2+6
【答案】D
【解析】将抛物线y=（x-1）2+2向左平移3个单位，
再向上平移4个单位，
所得的抛物线解析式为y=（x-1+3）2+2+4，
即y=（x+2）2+6．
故选：D．
4. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论中，正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当时，
【答案】A
【解析】∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故选项A正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-=1，b=-2a，
∴2a+b=0，故选项B错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴＞0，∴，故选项C错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，且开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增加而增加，函数值不一定大于0，故选项D错误；
故选：A．
5. 已知反比例函数的图象经过点，则反比例函数图象位于（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限
C. 第二、三象限D. 第二、四象限
【答案】D
【解析】由题意得，，∴函数的图象位于第二，四象限．故选：D．
6. 如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据菱形的对角相等得．
，
．
根据折叠得．
，
，
．
．
故选：A．
7. 正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数B. 一次函数
C. 二次函数D. 反比例函数
【答案】C
【解析】∵正方形的周长为x，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积；
故选：C．
8. 将关于的二次函数的图象沿轴翻折，以下说法正确的是（ ）
A. 开口方向不变B. 图象与轴的交点不变
C. 函数值的取值范围不变D. 对称轴不变
【答案】D
【解析】将二次函数的图象沿轴翻折，根据对称性可知，
开口方向改变；图象与轴的交点改变；函数值的取值范围改变；对称轴不变；
故选：D．
二、填空题
9. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，，且△ABC的周长为20cm，那么△ADE的周长等于___cm．
【答案】12
【解析】∵，，
∴，
∴与的周长比为，
∵△ABC的周长为20cm，
∴△ADE的周长为12cm．
故答案为：12．
10. 一个扇形的半径长为5，且圆心角为，则此扇形的弧长为___．
【答案】
【解析】∵扇形的半径长为5，圆心角为，
∴扇形的弧长为.
11. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，若的面积是2，则k的值是______．

【答案】
【解析】根据题意可知：，
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有_______对．
【答案】3
【解析】图中三角形有：，，，
∵，
∴
共有3个组合分别为：∴，，
故答案为：3．
13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则AB＝_____．
【答案】4
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB＝4，
∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝4.
14. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中一题大意为：如图，有一根直立的竹竿AB，量出它在太阳下的影长尺，同时立一根长尺的小标杆，它的影长尺，则竹竿的长为______尺．

【答案】45
【解析】设竹竿的长度为x尺，
根据题意得：,即，解得．
故答案为45．
15. 如图，某地下车库的入口处有斜坡，其坡比为，则的长为 ____米．

【答案】
【解析】由图可知：，
∵斜坡，其坡比为，
∴，
∴，
∴在中，．
16. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、E、D分别在、弧上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是_______．
【答案】
【解析】正方形的边长为1，
，
，
，，，
长方形的面积.
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：（1）；
解方程：（2）．
解：（1）
.
（2），
去分母：，
移项合并：，
化系数为1：，
经检验是方程的根.
18. 如图，在矩形中对角线、相交于点F，延长到点E，使得四边形是一个平行四边形，平行四边形的对角线分别交、于点G、点H．
（1）证明：；
（2）若，，则线段的长度．
（1）证明：∵是矩形，且，
∴．
∴．
又∵是平行四边形，且
∴，
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，，相交点，
∴，，
∴在直角三角形中，，
∴，，
又∵，
∴．
∴
∴．
19. 定义新运算“◎”，其规则为，若抛物线的解析式为．
（1）求该抛物线的顶点坐标．
（2）直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．
解：（1）∵，
∴
，
∴顶点坐标为；
（2）∵抛物线的顶点为，∴该点关于x轴对称点的坐标为，
即新抛物线的顶点为，
∴该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD平分∠ACB．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）记直线l与AB，CD的交点分别是点E，F，连接EC．求证：EF＝EC．
（1）解：如图所示，l即为所求；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴ACAB，∠A＝60°．
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE＝EBAB，∠AEF＝90°，
∴AE＝AC，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠AEC＝∠ACE＝60°，
∴∠FEC＝∠AEF+∠AEC＝150°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ECA﹣∠FCA＝15°，
∴∠EFC＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝15°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC．
21. 如图，，是的中点，延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若平分，求证：．
（1）证明：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
又由（1）得，
∴．
22. 如图，直线和抛物线都经过点A（2，0）和点B（k，）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）利用图像回答:当y1＜y2时，x的取值范围是 ．
解：（1）∵直线和抛物线都经过点A（2，0）和点B（k，），
∴将B（k，）代入直线得：
∴
∴B点坐标为（，），
∴将A，B的坐标代入抛物线得：，
解得： ，
故抛物线解析式为：；
（2）由函数图像可知：当x＜0或x＞2 时，y1＜y2．
23. 如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接，，

∵为的直径，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过O作于H，
∴，
∵，
∴，
∴
．
24. 如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．

（1）画出图中的直角坐标系；
（2）写出图中食堂、图书馆的位置；
（3）已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置；
（4）如果一个单位长度表示30米，请求出宿舍楼到教学楼的实际距离．
解：（1）直角坐标系如图所示；

（2）由图可知，食堂、图书馆；
（3）如图所示；

（4）由图可知宿舍楼到教学楼的实际距离为．
25. 如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，，与坐标轴交于A、B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）观察图象，当时，直接写出不等式的解集；
（3）连接，求三角形的面积．
解：（1）把代入得：，
∴反比例函数的解析式为．
把代入得：，解得，
∴．
把分别代入得：，解之得：，
∴一次函数的解析式为；
（2），
由图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数下方，
故当时，不等式的解集或；
（3）由一次函数与坐标轴交于A、B两点，
令，解得，
令，解得，
．
26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）求该抛物线与y轴的交点坐标．
（2）若时，求t的值．
（3）若时，求t的取值范围．
解：（1）将x=0代入函数解析式得：，
故该抛物线与y轴的交点坐标为．
（2）因为，
所以A，B两点关于抛物线的对称轴对称，
则：对称抽，
解得，
故t的值为2．
（3）将A，B两点坐标代入二次函数解析式得，
，
，
∵
∴
解得：．
故t的取值范围为：．
27. 如图1，在中，，D、E在边上，连接．
（1）若，则=_____°；
（2）如图2，，F为上一点，连接，且，M为中点，连接，证明：．
（3）如图3，，F为的中点，连接，点M在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值．
（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，延长至H，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，分别取，的中点G，H，连接、、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点F是的中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵是等边三角形，∴，
∴，∴，
∵，
∴，，∴，
∵周长＝＝ ，
∴当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，
∴周长的最小值为．
28. “数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．
（1）如图1，正方形中，，且，求证：；
（2）如图2，正方形中，，延长交的延长线于点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）如图3在（2）的条件下，作，垂足为点，交于点，连结，求证：．
解：（1）把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，
∴
∴
∴M、D、C三点共线
∵
∴
∴
∴
∵AB∥CD
∴
∴
∴
（2）结论依然成立，
把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，
∴
∴
∴M、D、C三点共线
∵
∴，
∴，∴，
∵AB∥CD，∴，
∴，∴.
（3）连接EN
由（2）得，
∵，
∴GQ垂直平分AE，
∴EN=AN，
∵，
∴，
∴A、D、E、N四点在以AE为直径的同一个圆上，
∴．