陕西省咸阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份陕西省咸阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共16页。
1.本试题满分150分，时间120分钟；
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上；
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效；
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的并运算直接求解即可.
【详解】根据题意可得.
故选：D.
2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求抽象函数的定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可.
【详解】因为对于，括号中的取值范围即的取值范围，即，
所以对于，有，得，
故的定义域为.
故选：C.
3. 函数的图象经过怎样的平移变换得到函数的图像（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】化简，即得解.
【详解】由题得，
所以函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像.
故选：B
4. “ x2 - 2x>0 ”是“ x>2 ”的________条件（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件求得为或，根据集合之间的关系即可判断出结果.
【详解】由，得到或，由或推不出，但由一定能推出或，
故“ x2 - 2x>0 ”是“ x>2 ”的必要不充分条件，
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们可以根据充要条件的定义来判断：方法一：若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件进行判定．方法二：分别求出满足条件p，q的元素的集合P，Q，再判断P，Q的包含关系，最后根据谁小谁充分，谁大谁必要的原则，确定答案．
5. 已知，为实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及作差比较和特殊值法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，例如，此时满足且，此时，所以A不正确；
对于B中，当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以B不正确；
对于C中，由且，可得，所以，所以C正确；
对于D中，由，因为，可得，但的符号不确定，所以D不正确.
故选：C.
6. 已知扇形的周长为7，面积为3，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，设出扇形的半径和弧长，然后根据扇形周长和面积列出方程组，解出半径和弧长，然后直接计算圆心角的弧度数即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，由题意得，解得或，
故扇形的圆心角的弧度数或 ．
故选：B.
7. 围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑､白､空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，()，下列最接近的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，取对数得，得到，分析选项，即可求解
【详解】根据题意，对于，
可得，
可得，
分析选项，可得C中与其最接近.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中掌握对数的运算性质是解答的关键，着重考查计算与求解能力.
8. 已知函数与的图象上不存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为方程在上无解，参变分离得在上无解，从而求函数在上的值域，即可得实数的取值范围.
【详解】函数与的图象上不存在关于轴对称的点，
直线关于轴对称的直线方程为，
则方程在上无解，即在上无解，
又函数在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，时，，所以的值域为
故实数的取值范围是.
故选：D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中的函数在区间上的单调性，可得出正确选项.
【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数，正确；
对于B选项，当时，，该函数在区间上为减函数，错误.
对于C选项，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，正确；
对于D选项，函数在区间上为减函数，错误；
故选：AC.
10. （多选）在同一直角坐标系中，函数（a＞0且a≠1）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
对a进行讨论，结合指数函数，对数函数的性质即可判断；
【详解】由函数，
当a＞1时，可得是递减函数，图象恒过（0，1）点，
函数，是递增函数，图象恒过，
当1＞a＞0时，可得是递增函数，图象恒过（0，1）点，
函数，是递减函数，图象恒过；
∴满足要求的图象为：A，C
故选：AC
点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数图象与性质.
11. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的有（ ）

A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. D. 函数在上有2个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】由函数的图象，得到，得到，可判定A正确，B不正确；再由三角函数的性质，可判定C正确；由当时，得到，得到，可判定D正确.
【详解】由函数的图象，可得，解得，所以，
又由，可得，
所以，解得，
因为，所以，即，所以A正确，B不正确；
又由，所以C正确；
当时，可得，
当时，即时，可得；
当时，即时，可得，所以函数在上有2个零点，所以D正确.
故选：ACD.
12. 已知定义在R上的函数，满足是奇函数，且是偶函数．则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由是奇函数，可得，由，可得两方程联立求出的解析式，然后逐个分析判断.
【详解】因为是奇函数，
所以，
，
所以，
因为是偶函数，
所以，
所以，
所以，
对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，，当为偶数时，，当为奇数时，，所以C错误，
对于D，因为，，
所以，所以D正确，
故选：BD
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知角的终边经过点，则______
【答案】##-0.2
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数定义进行计算求解.
【详解】已知角的终边经过点，根据任意角的三角函数定义有：
，，
所以.
故答案为：.
14. 已知幂函数满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可.
【详解】因为函数为幂函数，
则，解得或，
又因为，所以，
故答案为：.
15. 函数图象的一个对称中心为______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先把整理化简为，再令，，可得对称中心为，.
【详解】，
令，，
得，，
故对称中心，，
故答案为：（答案不唯一）
16. 定义：表示不超过的最大整数，，.已知函数，，则函数的值域为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先分析函数在值域，然后由取整函数定义求解即可.
【详解】因为，
当时，函数为减函数，所以，
所以；
当时，函数为减函数，所以，
所以；
综上所述：的值域为.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合为全体实数集，或，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出与，从而求出交集；
（2）先确定，再根据集合之间的包含关系得到不等式组，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，而，
所以.
【小问2详解】
因，显然，，
则有或，
即或，
所以实数的取值范围为．
18. 已知，，，.
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，根据三角函数的基本关系式，即可求解；
（2）根据三角函数的基本关系式，求得，再由，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，，所以，
又因为，所以.
【小问2详解】
解：因为，，可得，
又因为，
所以
.
19. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）求证：当时，恒有.
【答案】（1）的最小正周期为，单调增区间为 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式将函数化简，代入周期的计算公式即可求出周期，根据正弦函数的单调性即可求解函数的单调增区间；
（2）根据自变量求出，然后利用正弦函数的图像即可求证.
【小问1详解】
函数
，
∴函数的最小正周期，
令，得，
∴函数的单调增区间为.
【小问2详解】
当时，
∴
即当时，恒成立，得证.
20. 已知正实数x、y满足.
（1）是否存在正实数x、y使得？若存在，求出x、y的值；若不存在，请说明理由.
（2）求的最小值.
【答案】（1）不存在，理由见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）结合可求的范围，进而判断不正确；
（2）结合“1”的妙用和拼凑法即可求解.
【小问1详解】
不存在，因为，故，又因为，故，
解得，故不存在x，y，使得；
【小问2详解】
，
当且仅当时取到等号，此时，
所以的最小值为.
21. 已知函数（且）在上的最大值为3.
（1）求的值；
（2）假设函数的定义域是，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知，利用对数函数的性质分类讨论，再进行计算求解
（2）根据已知，利用对数函数性质以及一元二次函数、一元二次方程进行求解.
【小问1详解】
当时，函数（且）在上单调递减，
∴，解得；
当时，函数（且）在上单调递增，
∴，解得，
综上所述，或
【小问2详解】
∵的定义域是，
∴恒成立，
则方程的判别式，
即，解得
又或，因此，
∴不等式，即，
即，解得
因此不等式的解集为.
22. 某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x（单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好.当时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均为常数.当时，，其中m为常数.研究过程中部分数据如下表：
（1）指出模型①②③中最能反映y和x（）关系的一个，并说明理由；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳.
【答案】（1）模型①；
（2）；
（3）当克时产品的性能达到最佳．
【解析】
【分析】（1）根据题中数据结合条件即得；
（2）结合待定系数法，代入数据运算即得；
（3）按，分类，结合指数函数、二次函数的性质分别求最值，进而即得.
【小问1详解】
模型①最能反映y和x（）的关系，
由题可知时，，显然模型③不合题意，
若为模型②，则，不合题意，
故模型①最能反映y和x（）的关系；
【小问2详解】
当时，，
由可得，
由得，
由得，
解得，
所以；
当时，y＝，
由，可得，
解得，即有y＝.
综上，可得 ；
【小问3详解】
当时，，
即有时，性能指标值取得最大值12；
当时， 单调递减，
所以当x＝7时，性能指标值取得最大值3；
综上可得，当x＝4克时产品的性能达到最佳．
x（单位：克）
0
2
6
10
……
y
8
8
……