专题16 解答压轴题型：函数综合题-备战2025 深圳数学三年中考一年模拟

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1. （2024·广东深圳·统考中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．
（1）（Ⅰ）列表：
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为________；
②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
（3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，若轴且，求a的值．
【答案】（1）图见解析，；
（2）方案一：①；②；方案二：①；②；
（3）a的值为或．
【解析】
【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可；
（3）先求得，，顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可．
【小问1详解】
解：描点，连线，函数图象如图所示，
观察图象知，函数为二次函数，
设抛物线的解析式为，
由题意得，
解得，
∴y与x的关系式为；
【小问2详解】
解：方案一：①∵，，
∴，
此时点的坐标为；
故答案：；
②由题意得，
解得，
故答案为：；
方案二：①∵C点坐标为，，，
∴，
此时点B的坐标为；
故答案：；
②由题意得，
解得，
故答案为：；
【小问3详解】
解：根据题意和的对称轴为，
则，，的顶点坐标为，
∴顶点距线段的距离为，
∴的顶点距线段的距离为，
∴的顶点坐标为或，
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
综上，a的值为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
2. （2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵四边形，四边形均正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
3. （2022·广东深圳·统考中考真题）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为
（1）如图①，为一条拉线，在上，求长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．
（3）如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，可得出为的中位线，可得出D为中点，即可得出的长度；
（2）过N点作，交于点D，可得出为等腰直角三角形，根据,可得出，设，则，根据，即可求得，再根据勾股定理即可得出答案；
（3）依题意得出点N路径长为： ，推导得出，即可计算给出，即可得出答案．
【小问1详解】
∵
∴为的中位线
∴D为的中点
∵
∴
【小问2详解】
过N点作，交于点D，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴在中，；
【小问3详解】
如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合． 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为： ．
∵．
∴．
∴．
∴，
∴，
∴N点的运动路径长为： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．
4. （2024·广东深圳·盐田区一模）【项目式学习】
项目主题：车轮的形状
项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理．
【合作探究】
（1）探究组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______；
（2）探究组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______；
（3）探究组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
【拓展延伸】
如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．
（4）探究组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．
【答案】；；；
【解析】
【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键．
（1）利用正方形的性质解答即可；
（2）画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案；
（3）分别求出三部分一定的距离，然后相加即可；
（4）由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论．
【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切，
车轮轴心到地面的距离始终等于圆的直径，
圆形车轮半径为，
故车轮最高点到地面的距离始终为，
故答案为：；
（2）如图所示，为正方形车轮的轴心移动的部分轨迹，
点为车轮轴心的最高点，点为车轮轴心的最低点，
由题意得车轮轴心距离地面的最低高度为
车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为，
故答案为：；
（3）点的运动轨迹为圆，以点为圆心，为半径，
运动距离为．
故答案为：；
（4）由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，
故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是”，
故答案为：．
5. （2024·广东深圳·福田区三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，，，可得，
所以， （依据）…
任务：
（1）请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
（2）填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
（3）如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【答案】（1）见解析 （2）等比性质；
（3）① ②
【解析】
【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键．
（1）利用盲区的定义作图即可；
（2）根据待定系数法求出反比例函数解析式；
（3）①先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可；
②由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可．
【小问1详解】
如图所示:
【小问2详解】
材料三中的依据是指等比性质；
设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得：
，
∴；
【小问3详解】
①解：如图，刚好进入感应区时， 此时
此时，
因 , ,
可得，所在直线解析式为：
令, 得, 即 .
当经过点,的正上方时, 视差，此时，
即，抛物线与轴交点的坐标为，
当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小，
即，抛物线顶点的纵坐标为.
设抛物线解析式为
将等代入得,
，
解得， ，
因为,,对称轴在轴右侧,
所以, .
故，
此时，
所以，抛物线解析式为，
②由, 可得直线的解析式为，
得，
解得，(舍)
此时， ．
【初步探究】
6. （2024·广东深圳·33校联考二模）【项目式学习】
项目主题：设计落地窗的遮阳篷
项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬
的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．
方案1：直角形遮阳篷
如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点 C 在的延长线上
（1）若，，则支撑杆 m．
（2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中 的长度．
方案2：抛物线形遮阳篷
（3）如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴．
①求该二次函数的表达式．
②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点到的距离)
【答案】（1）
（2）,
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求即可；
（2）由题意得到
由题意得：，，，，，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，得到方程，则有则的长度可求．
（ 3）①由题意，为等腰直角三角形，从而有，设二次函数为：，代入，求出函数关系式即可；
②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=，设，则点 ，代入求出x即可．
【小问1详解】
在中，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
由题意得：，，，

∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴设
在中，，
∴，
∴，
解得．
∴，．
【小问3详解】
①由F为抛物线顶点，可知，
∵，
∴为等腰直角三角形
由二次函数对称性可知，
设二次函数为：，代入得
，解得，
∴y关于x的关系式为：，
②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，
过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=，
设，则点 ，
代入得，
化简得,
解得，，(答案不合理，舍去）
∴D′E=，
∴遮阳蓬点D上升的高度最小值为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数关系式，勾股定理，解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7. （2024·广东深圳·33校联考一模）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．

（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）；
（3）不能．
【解析】
【分析】（1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解；
（3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可；
【小问1详解】
解：由题意可得：，
且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为：
将代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水最大射程为；
【小问2详解】
由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
【小问3详解】
∵，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求解析式，与轴交点等问题，解题的关键是理解题意，正确求得解析式．
8. （2024·广东深圳·南山区一模）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）当时，抛物线与直线只有一个交点，求的取值范围；
（4）把二次函数的图象左右平移得到抛物线：，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围．
【答案】（1）一次函数的表达式为，图象见解析
（2）或
（3）或
（4）或
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式，最后描点连线即可；
（2）根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的的取值范围求解即可；
（3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可；
（4）分①当过点时，②当过点时，③当与直线只有一个交点时，三种情况求解的值，然后结合图象确定取值范围即可．
【小问1详解】
解：将，，代入得，
，解得，
，，
一次函数的图象过点和点，
，
解得 ，
一次函数的表达式为，
描点作图如下：
【小问2详解】
解：由（1）中的图象可知，不等式的解集为：或；
【小问3详解】
解：把代入得 ，
，，
由图象可知，当时，直线与直线只有一个交点，则的取值范围是或；
【小问4详解】
解：由题意知，分三种情况求解：
①当过点时，即，
解得或，
当时，抛物线与原二次函数重合，与线段有两个交点，，故舍去，
；
②当过点时，即，
解得舍去；
③当与直线只有一个交点时，
令，
整理得：，
则，
解得：，
综上，或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数图象的平移，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合．
9. （2024·广东深圳·罗湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知、，将绕的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线经过点A，点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）判断点B是否在抛物线上；
（3）若点P是线段上的点，且，求点P的坐标；
（4）若点P是x轴上的点，以P、A、D为平行四边形的三个顶点作平行四边形，使该平行四边形的另一个顶点在y轴上，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）点B在抛物线上 （3）
（4）或或
【解析】
【分析】（1）将代入即可得到答案；
（2）先证明四边形是平行四边形，由平移的性质可得：B的坐标为，再检验即可；
（3）作轴于E，轴于F，如图，利用顶点式，得到，则可求出，，，再求出的长和，，则可判断，然后利用相似比求出，从而可得到P点坐标；
（4）设P点坐标为，另一个顶点为Q，坐标为，分三种情况讨论，根据平行四边形对角线互相平分，则两条对角线的中点相同，利用中点坐标公式建立方程求出a即可得到P点坐标．
【小问1详解】
解：将代入，得
．解得．
∴抛物线的表达式为．
【小问2详解】
∵将绕的中点旋转180°，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴由平移的性质可得：B的坐标为，
把代入，得．
∴B在抛物线上．
【小问3详解】
作轴于E，轴于F，如图1，

∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴=，即=，
∴，
∴，
∴P点坐标为；
【小问4详解】
设P点坐标为，另一个顶点为Q，坐标为，分三种情况讨论：
①如图，当、为对角线时，

∵，，
由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得，
，解得，
∴P点坐标为，
②如图，当、为对角线时，

同理可得，解得
∴P点坐标为
③如图，当、为对角线时，

同理可得，解得
∴P点坐标为
综上可得P点坐标为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，旋转与平移的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，坐标系中构成平行四边形的问题，熟练掌握平行四边形的性质，分类讨论，利用中点坐标公式建立方程是解题的关键．
10. （2024·广东深圳·宝安区三模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析
【解析】
【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；
任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；
任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解．
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11. （2024·广东深圳·福田区二模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）OB最小值为；（3）能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的知识，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
由任务1设抛物线解析式为：，代入，即可求抛物线解析式；由任务2设抛物线解析式为：，代入即可求抛物线解析式，从而求的值；在任务3中，设，则，代入对应的抛物线解析式即可．
【详解】任务
点坐标为，点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的最高点为3，顶点坐标为
设抛物线的函数表达式为过点，
解得：，
∴抛物线函数表达式为．
任务
当喷水管最高可伸长到时，
设此时的抛物线的函数表达式为，
当时，，解得：，
由，得，解得：或（舍），
．
任务
由题意得：当点落在上，
当点落在上时，最大．
延长交抛物线与点，
，，
，关于直线对称，点的横坐标为0.5，
当时，，
∴则能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米．
12. （2024·广东深圳·光明区二模）【项目式学习】
项目主题：学科融合－用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①______，②____；
任务二：凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心的距离是时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出与的关系式：
任务三：
（1）根据任务二的关系式得出下表：
其中______；
（2）请在坐标系中画出它的图像：
（3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论：
____________________________________________________．
【答案】任务一：①；，任务二：，任务三：（1）3，（2）见解析，（3）当时，随着的增大而减小．
【解析】
【分析】任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解，任务二：由，整理得到，代入，即可求解，任务三：（1）将代入，即可求解，（2）根据描点法，即可求解，（3）根据反比例函数的增减性，即可求解，
本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质，解题的关键是：读懂题意，列出关系式．
【详解】解：任务一：①根据题意得：矩形，
∴，
根据题意得：与平行，
则，
∴，即：，
设，则，，
由题意得，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∵，
∴，
任务二：∵，即：，解得：，
∴，
任务三：（1）当时，，
∴，
（2）作图如下：
（3）当时，随着的增大而减小，
故答案为：任务一：①；，任务二：，任务三：（1）3，（2）见解析，（3）当时，随着的增大而减小．
13. （2024·广东深圳·33校三模）数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率—以小华同学为例活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）．
（1）模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为，根据解析式，请你判断该数学小组是以点 （填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点．
（2）问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由．
（3）模型应用：如下图所示为抛物线的一部分函数图象，抛物线外一点，试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P．
【答案】（1）B （2）不能罚进，理由见解析
（3）个单位
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键．
（1）由抛物线解析式中常数项为0可得抛物线经过坐标原点，假设以点B为坐标原点，计算出点D和点F的坐标，判断点D和点F是否在抛物线上即可，若不在，再假设点D或F为坐标原点；
（2）先表示出篮球框所在位置的坐标，再判断该坐标是否在抛物线上即可；
（3）原抛物线向上平移m个单位后的解析式为，将代入求出m的值即可．
【小问1详解】
解：抛物线解析式为，
抛物线经过坐标原点，
B、D、F可能为坐标原点，
，
当以点B为坐标原点时，点D的坐标为，即，
点F的坐标为，即，
当时，，
当时，，
点D和点F在抛物线上，
该数学小组是以点B为坐标原点，
故答案为：B．
【小问2详解】
解：不能罚进，理由如下：
在（1）的情况下，篮球框所在位置的坐标为，即，
当时，，
点不在抛物线上，
小华的这次罚球不能罚进．
【小问3详解】
解：设原抛物线向上平移m个单位，能使平移后的抛物线经过点P．
则平移后的抛物线解析式为，
将代入，得：，
解得，
即原抛物线向上平移个单位，能使平移后的抛物线经过点P．
14. （2024·广东深圳·龙华区二模）【项目式学习】
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；
任务二 推理分析
（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式；
任务三 设计方案
（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，简单几何体的三视图，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．
（1）根据题意可得第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线关系式的顶点式，代入计算即可；
（2）根据抛物线的形状不变，即a的值不变，顶点坐标变为，抛物线与x轴的交点坐标变为，代入即可得出h与d的还是关系式；
（3）根据勾股定理求出的长，进而得出d的值，再代入h与d的函数关系式进行计算即可．
【详解】（1）解：
由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，
设抛物线关系式为，将代入得，
，
解得，
∴第一象限中抛物线的关系式为；
（2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h米，
其抛物线的关系式为，过点，
∴，
即，
（3）如图，延长交于点Q，则米，米，米，连接，
在中，米，米，
∴（米），
即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，，
将代入得，
（米），
故答案为：．
15. （2024·广东深圳·罗湖区二模）综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系．
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______．
【答案】（1）y关于x的关系式为
（2）动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米
（3）①运动员甲不能成功完成此动作；②
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质．
（1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函数表达式；
（2）把代入（1）中所得的二次函数解析式，即可求出结果；
（3）①把二次函数解析式整理为顶点式，得到k与a的关系式，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果；
②求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围．
【小问1详解】
解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系，
设二次函数的关系为，代入，，，
得，
解得，
y关于x的关系式为；
【小问2详解】
解：把代入，
得，
解得，（不合题意，舍去），
运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米；
【小问3详解】
解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：
由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为，
整理得，
得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即，
把代入，
得，
解得，（不合题意，舍去），
，
运动员甲不能成功完成此动作；
②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为，
得顶点为，
得，
得，
把代入，
得，
由运动员甲在达到最高点后需要时间才能完成极具难度的270C动作，得，
则，即，
解得．
故答案为：．
16. （2024·广东深圳·罗湖区三模）【项目式学习】
项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
任务一：确定滑道的形状
（1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．

任务二：确定运动员达到最高点的位置
（2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P
③落点Q在底面下方竖直距离．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务三：确定拍摄俯角
（3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为；
③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示．
若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？

【答案】（1）作图见解析，；（2）6；（3）至少15度
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用，
（1）以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可；
（2）以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，把代入得，，进而求解即可；
（3）与（2）所建平面直角坐标系一样，首先求出点，，设与k的函数解析式为，待定系数法求出，射线的解析式可化为，把，代入求解即可．
【详解】解：（1）如图，以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，

则点A的坐标为，
设滑道所在抛物线的函数表达式为，把代入得
，解得，
滑道所在抛物线的函数表达式为；
（2）如图，以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系

运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
即
运动员到达最高处时与点A水平距离6；
（3）与（2）所建平面直角坐标系一样，

点Q在底面下方竖直距离，
把代入得，
，
解得，
点，
，，
，
，
设与k的函数解析式为，
把代入得，，
解得，
，
，
射线的解析式可化为，
把，代入得，
，
解得，
俯角至少15度．
17. （2024·广东深圳·南山区三模）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
【建立模型】
任务1：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：
【解析】
【分析】本题为二次函数综合题，主要考查的是二次函数的实际应用，正确理解题意和题设中术语的意义是解题的关键．
任务1：设抛物线表达式为：，由待定系数法即可求解；
任务2：由得：，代入即可求解；
任务3：设发射台弹射口高度为c，则此时抛物线的表达式为：，当和，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：任务1：设函数表达式为：，
将原点代入上式，
解得：，
则．
任务2：由，得，
将代入，得．
令，
解得（舍去）或，
即水火箭飞行的水平距离为；
任务3：设发射台弹射口高度为c，
则此时的函数表达式为：，
当时，，
解得，
当时，
，
解得，即，
故发射台PQ高度范围为．
18. （2024·广东深圳·南山区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
（3）连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点的坐标为，的面积最大．
（3）存，或
【解析】
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设，求出直线的解析式为，设，得到，根据二次函数的性质解答即可；
（3）设点，交于点E，若四边形是菱形，连接，则，，得到方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
【小问2详解】
设，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∴
当时，的面积最大，
，
此时，点的坐标为，的面积最大值为．
【小问3详解】
存在．如图，设点，交于点E，
若四边形是菱形，连接，则，，
∴，
解得，
∴或
19. （2024·广东深圳·九下期中）根据背景素材，探索解决问题．
【答案】任务1：
任务2：的长为6米
任务3：①这个喷头最多可洒水平方米；②米
【解析】
【分析】任务1：根据抛物线经过三点，设，利用待定系数法求解即可；
任务2：求出点F的坐标，进而可得点E的坐标，即可得到答案；
任务3：①根据扇形面积公式计算即可；②根据等腰三角形和三角形内角和定理可得，进而根据所对直角边等于斜边的一半和勾股定理求得，即可得到答案．
【详解】任务1：解：由题意得抛物线过点，，，
设抛物线的解析式为，
，
解得，
水柱所在抛物线的函数解析式为；
任务2：解：水柱所在抛物线的函数解析式为，
当时，，解得或6，
点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，
，
在上，．
，
，
的长为6米；
任务3：解：①由题意得米，
这个喷头最多可洒水的面积为：（平方米），
答：这个喷头最多可洒水平方米；
②过点O作于H，
由题意得米，，
，，
，
米，米，
米．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，理解题意，熟练运用知识点是解题的关键．
20. （2024·广东深圳·红岭中学模拟）已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值．
【答案】（1）抛物线的顶点坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）将抛物线写成顶点式，根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，即可求解；
（2）根据题意得出平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为，将代入，即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴抛物线的顶点坐标为.
【小问2详解】
平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为，
∵新抛物线经过原点，
∴，
解得或（舍去），
∴.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
①
②
③
④
⑤
⑥
x
0
2
3
4
5
6
y
0
1
2.25
4
6.25
9
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
如何设计喷泉安全通道？
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
素材1
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2
图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．
图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度．
素材3
安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．
问题解决
任务1
确定喷泉形状．
在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐
标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2
确定喷泉跨度的最小值．
若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值．
任务3
设计通道位置及儿童的身高上限．
现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道
上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人
的最大身高为多少？（精确到）
物体到凸透镜距离
像到凸透镜距离
像的大小
像的正倒
大于2倍焦距
大于1倍焦距小于2倍焦距
缩小
倒立
2倍焦距
2倍焦距
等大
倒立
大于1倍焦距小于2倍焦距
大于2倍焦距
放大
倒立
小于焦距
与物同侧
放大
正立
物距
8
10
12
14
16
像高
12
6
4
2.4
水平距离x（m）
0
1
1.5
竖直高度y（m）
10
10
6.25
飞行时间
0
2
4
6
8
…
飞行高度
0
10
16
18
16
…
生活中的数学﹣﹣﹣﹣自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材
数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．

甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立半径为的扇形平面图（图3）．
问题解决
任务1
获取数据
丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点．
解决问题
求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2
获取数据
丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在上，．
解决问题
求的长．
任务3
推理计算
丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过，求：
①这个喷头最多可洒水多少平方米？
②在①条件下，此时的长．