专题05 图形的初步知识（14个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

这是一份专题05 图形的初步知识（14个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024），文件包含专题05图形的初步知识14个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测原卷版docx、专题05图形的初步知识14个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共98页， 欢迎下载使用。

【题型1 常见几何体】
【题型2 由展开图计算几何体的表面积、体积】
【题型3 直线、射线、线段】
【题型4 线段的和差】
【题型5 线段中点的计算】
【题型6 线段的动点问题】
【题型7 角的相关概念】
【题型8 角的计算】
【题型9 三角板中角度计算】
【题型10 几何图形中角度计算】
【题型11 角平分线的计算】
【题型12 余角和补角的计算】
【题型13 相交线】
【题型14 对顶角】
【题型15 点到直线的距离】
知识点1：认识平面图形和立体图形、图形分类
⑴几何图形：几何图形是数学研究的主要对象之一。几物体的形状、大小和位置关系是何研究的内容。像长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、梯形……它们都是几何图形。
⑵立体图形：有些几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）各个部分都不在同一平面内，它们是立体图形。
⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
知识点2：立体图形的展开图
立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。
如正方体的展开图有如下几种情况：
中间四个面，上下各一面:
中间三个面，一二隔河见:
中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线:
知识点3：点、线、面、体。
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
点动成线，线动成面，面动成体。
知识点4：直线、射线与线段的概念
注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。
知识点5 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
知识点6： 基本概念
1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
知识点7：双中点模型
C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
知识点8 角的概念
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
图2
图1
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
知识点9 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
知识点10 钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
知识点11 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
知识点12 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
知识点13角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
知识点14 余角和补角
（1）余角：
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A
（2）补角：
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A
（3）补角的性质：
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
（4）余角的性质：
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
注意：
①钝角没有余角；
②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；
③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。
题型归纳
【题型1 常见几何体】
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下面这些图形中，表示立体图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了认识立体图形，有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形，属于基础题，注意对这一概念的熟练掌握及运用．
【详解】解：根据立体图形的概念可知：只有A是立体图形．
故选：A．
2．（24-25六年级上·山东青岛·阶段练习）下列是棱柱的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】本题考查几何图形的知识，解题的关键是掌握棱柱的定义：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体，进行解答，即可．
【详解】解：∵棱柱的定义：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体
∴上述图形中属于棱柱的几何体为：，，，，共个．
故选：C．
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱是 棱柱．
【答案】八
【分析】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确判断的前提．
根据顶点个数可知该棱柱的名称．
【详解】解：一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱是八棱柱．
故答案为：八．
4．（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）如图，下列几何体，是柱体的有 （填序号）．

【答案】
【分析】根据柱体的定义逐项分析判定即可得出答案．
【详解】解：是四棱柱或长方体，所以属于柱体；
是圆柱，所以属于柱体；
是圆锥体，所以不属于柱体；
是三棱锥，所以不属于柱体；
是球体，所以不属于柱体；
是三棱柱，所以属于柱体，
∴属于柱体的有共个，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了认识立体图形，认识基本几何体是解题的关键．
5．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，观察下列几何体并回答问题：

(1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点．
(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式．
【答案】(1)，，，，，；
(2)
【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键．
（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为．
【详解】（1）解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有个面，条棱，个顶点，棱锥有个面，条棱，个顶点；
故答案为：，，，，，；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：

根据上表总结出这个关系为．
【题型2 由展开图计算几何体的表面积、体积】
6．（23-24七年级下·西藏·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据长方体体积的计算方法可知，长方体的体积底面积高，据此解答．本题主要考查长方体体积的计算方法及应用．
【详解】解：如果底面边长为，高为，底面积为，体积为，且长方体的体积=底面积×高
∴能完整表述这个方法的选项是．
故选：B
7．（2023九年级下·浙江·专题练习）一个无盖的三棱柱笔筒（底部为直角三角形）的尺寸如图所示（单位：厘米），若要制作这个笔筒至少要用（ ）平方厘米的铁皮．
A．1440B．1536C．1632D．1648
【答案】B
【分析】计算三棱柱的无盖表面积即可．
【详解】解：由题意知，笔筒的表面积为：（平方厘米）．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了几何体的表面积．解题的关键在于正确的运算．
8．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面面积之和为 ，所有棱长和为 ．
【答案】
【分析】本题考查棱柱侧面积计算，熟练掌握几何体表面积计算是解题关键．五棱柱有个面为侧面，然后按照棱柱的侧面积公式计算即可．
【详解】解：∵该棱柱是直五棱柱，
∴这个棱柱的所有侧面面积之和为：，
所有棱长和为
故答案为：，．
9．（2023·浙江杭州·一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 ．
【答案】224
【分析】设展开图的长方形的长为a，宽为b，根据图示中的相关数据列出方程，求出a，b，再根据长方体的体积求解即可；
【详解】解：设展开图的长方形的长为a，宽为b，
则，
解得，
∴长方体的体积为：．
故答案为：224．
【点睛】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键．
10．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
(1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是________．（填“图1”或“图2”）
(2)已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积．
(3)已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为和，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小．
【答案】(1)图2
(2)72（立方厘米）
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了认识立体图形的展开图，列代数式，整式的加减运算等知识，理解题意是解题关键．
（1）根据长方形展开图的特征，判断即可．
（2）根据长方形的体积公式求解即可．
（3）根据展开图的特点先表示，，再利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2；
（2）图1中裁去的小正方形边长为，
做成的纸盒的体积；
（3），理由如下：
，
，
，
∴．
【题型3 直线、射线、线段】
11．（23-24七年级上·河北保定·期末）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，理解直线、射线、线段的定义和性质是解答关键．
根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断．
【详解】解：（1）两点确定一条直线，故此项错误；
（2）射线是不可度量的，故此项错误；
（3）线段和线段是同一条线段，故此项正确；
（4）射线和射线是不同一条射线，故此项错误；
（5）直线和直线是同一条直线，故此项正确；
∴错误的有3个．
故选：C．
12．（2024七年级上·浙江·专题练习）在线段AB上选取种点，第1种是将AB线段10等分的点；第2种是将AB线段等分的点；第3种是将AB线段等分的点，这些点连同AB线段的端点可组成线段的条数是（ ）
A．350B．595C．666D．406
【答案】D
【分析】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是找出所有的端点个数．
先找出重复的点，再求出所有的点的个数，即可求出线段的条数．
【详解】解：的最小公倍数为，重复的点的个数，
除端点外的点的个数为：，
∴连同线段AB的端点共个端点，
∴29个点可组成的线段的条数是，
故选：D．
13．（2024七年级上·山东·专题练习）观察图形，下列说法正确的有 个．
直线和直线AB是同一条直线；
线段BD和线段DB是两条不同的线段；
射线和射线AD是同一条射线．
【答案】
【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义进行判断．
【详解】解：直线是向两个方向无限延伸的，直线和直线AB是同一条直线，故正确；
线段有两个端点，不延伸，线段BD和线段DB是同一条线段，故不正确；
射线有一个端点，向一个方向无限延伸，射线和射线AD的端点相同，延伸的方向相同，是同一条射线，故正确；
说法正确的有个．
故答案为：．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点．
【答案】
【分析】此题考查了图形规律，直线与直线交点问题，根据图形找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键．
【详解】解：条直线相交，最多有个交点，
条直线相交，最多有个交点，即，
条直线相交，最多有个交点，即，
条直线相交，最多有个交点，即，
，
条直线相交，最多有（个）交点，
故答案为：．
15．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，平面上有射线和点B，C，请用尺规按下列要求作图：
(1)连接，并在射线上截取；
(2)连接，并延长到E，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，以点为圆心，为半径画弧与射线交于一点，即点D，即可作答；
（2）连接，并延长，以点为圆心，为半径画弧与射线交于一点F，再以点F为圆心，为半径画弧与射线交于一点E，即可作答．
本题考查了线段的画法；熟练掌握尺规作图是解题的关键．
【详解】（1）解：连接，并在射线上截取，如图1所示：
（2）解：连接，并延长到E，使，如图2所示．
【题型4 线段的和差】
16．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）、、三点在同一条直线上，、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，那么、两点之间的距离为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查线段的和与差，分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别利用线段的和与差求解即可．
【详解】①若点在点左侧，如图，
两点之间的距离为，两点之间的距离为，
；
②若点在点右侧，如图，
两点之间的距离为，两点之间的距离为，
；
∴，之间的距离为或，
故选：C．
17．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（ ）．
A．12B．24C．12或24D．24或36
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段的和差，根据题意可知对折点可能是点A，也可能是点B，再根据不同情况确定最长的线段即可求出原线段的长．
【详解】当点A是对折点时，则剪断后最长的线段应是，
∴，
所以绳子的原长为；
当点B是对折点时，则剪断后最长的线段应是，
∴，
所以绳子的原长为．
所以这条绳子的原长为12cm或24cm．
故选：C．
18．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如图，线段，延长线段到，使，再反向延长到，使，是的中点，是的中点．则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段的和与差，理解题意，弄清题中各条线段之间的和差关系是解题的关键．
依据已知条件及题中各条线段之间的和差关系即可得出答案．
【详解】解：是的中点，是的中点，
，
，
，
故答案为：．
19．（23-24七年级上·天津南开·期末）线段上有，两点，，，，那么 ．
【答案】2或22
【分析】本题主要考查了线段的和与差，正确理清线段之间的关系是解题的关键．
根据题意分点Q在线段上和点Q在线段上两种情况讨论，然后分别根据线段的和差就即可．
【详解】解：本题有两种情形：
（1）当点Q在线段上时，如图，
∵，，，
∴
∴；
（2）当点Q在线段上时，如图，
∵，，，
∴．
综上所述，或22．
故答案为：2或22．
20．（2024七年级上·全国·专题练习）尺规作图：已知线段（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)作线段，使；
(2)作线段，使．
【答案】(1)图见详解
(2)图见详解
【分析】本题考查了画线段的和差，熟练掌握线段的尺规作图是解题关键．
（1）先画一条射线，再以点A为圆心，在射线上顺次截取，即可得；
（2）先画一条直线m，在直线m上截取,在线段上，顺次截取即可得．
【详解】（1）解：画一条射线，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点E，在射线上顺次截取，线段，即为所求作的；
（2）解：画一条直线m，在直线m上任取一点C,截取,在线段上，顺次截取，线段即为所求作的．
【题型5 线段中点的计算】
21．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图，已知线段，延长至点，使．为线段 的中点，若，则的值为（ ）

A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】本题考查了两点之间的距离，线段中点以及线段的和差的计算．根据求出，进而求出的长，根据D为线段的中点求出的长，再根据即可求出a的值．
【详解】解：，，
，
为线段的中点，
，
解得：，
故选：C．
22．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，为线段上一点，为线段的中点，，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．10
【答案】C
【分析】本题考查了线段之间的和差关系，线段中点的定义，解题的关键是掌握线段中点的定义．先求出，根据中点的定义得出，最后根据，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
故选：C．
23．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知在直线上有两点C，D（点A在点B的左侧），若，，且D是中点，则的长等于 ．
【答案】4或8
【分析】此题考查了线段中点的相关计算，分两种情况画出图形，利用线段的中点和线段的和差分别进行求解即可．
【详解】解：如图1，当点C在点B的左边，
∵，，
∴，
∵D是中点，
∴；
如图1，当点C在点B的右边，
∵，，
∴，
∵D是中点，
∴；
综上可知，的长等于4或8．
故答案为：4或8．
24．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，已知，延长至点，使，为线段中点，则长为 ．
【答案】//
【分析】本题主要考查了线段中点及线段的有关计算，由，，得，从而求得，进而根据中点定义求得，从而即可得解。
【详解】解：，，
，
，
为线段的中点，
，
，
故答案为：．
25．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点．
(1)求的长度；
(2)求的长度．
【答案】(1)9
(2)6
【分析】（1）已知，，可得的长度，又因点N是的中点，即，可得的长度；
（2）因为点M是的中点，即，可得的长度，又因，可得的长度．
本题考查了线段的和差，线段的中点，熟练掌握线段中点，线段的和差意义是解题的关键．
【详解】（1）
解：∵，，
∴，
∵点N是的中点，
∴．
（2）解：∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴．
【题型6 线段的动点问题】
26．（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次．
【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，
∵图中共有线段、、、、CB、，
∴发出警报的点P最多有6个．
故选：D．
27．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（ ）
A．随之变化B．不改变，且为
C．不改变，且为D．不改变，且为
【答案】D
【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解．
【详解】∵为中点，为中点，
∴DC= AC，CE= BC
∴DE=DC+CE
=AC+BC
=AB
=m
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键．
28．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个．
【答案】5
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可．
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，
∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA，
∵BC和AD中点是同一个，
∴发出警报的点P最多有5个．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．
29．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm．
【答案】或
【分析】根据题意可求出，．设，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据，即得出关于x的等式，解出x即可．
【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
∴，．
设，
分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，
由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
②当点C在OB之间时，如图，
由图可知，，．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，
由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
综上可知OC的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
30．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为．
(1)当时，，请求出的长；
(2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
(3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键．
（1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解；
（2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解；
（3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可．
【详解】（1）解：当时，，，
则，
∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
则；
（2）解：设运动时间为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
则；
（3）解：当点在线段上时，
∵，
∴,
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴；
当点在的延长线上时，
．
综上所述，或．
【题型7 角的相关概念】
31．（23-24七年级下·全国·课堂例题）图中角的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】根据角的定义可进行求解．
【详解】解：图中属于角的有：；共6个；
故选D．
【点睛】本题主要考查角的定义，熟练掌握角的定义是解题的关键．
32．（2022七年级上·浙江·专题练习）如图所示，图中小于平角的角共有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】根据角的定义，理清图示意思即可求解．
【详解】解：先数出以为一边的角，再数出以、、为一边的角，把他们加起来．
也可根据公式：来计算，其中，指从点发出的射线的条数．
∵图中共有四条射线，
∴图中小于平角的角共有个．
故选：．
【点睛】此题通过数角的个数，考查了同学们总结规律的能力或公式应用的能力，掌握角的概念是解题的关键．
33．（23-24七年级上·吉林松原·期末）在的内部引一条射线，图中共有3个角；若引两条射线，图中共有6个角；若引n条射线，图中共有 个角．
【答案】
【分析】本题主要考查图形变化类的规律题，每两条射线组成一个角，一条射线与其他射线都能组成一个角，当引出n条射线时，此时共有条射线，其中每一条射线与剩余条射线都组成一个角，可组成个角，条射线可组成的角个角，但每个角都算了两次，则引出n条射线能组成个角．
【详解】解：在的内部引一条射线，图中共有个角；
若引两条射线，图中共有个角；
…
若引n条射线，图中共有个角；
故答案是：．
34．（2022七年级上·浙江·专题练习）如图，图中角的顶点是 ，边是 ．用三种不同的表示方法表示这个角为 ．
【答案】 O点 和 ，，
【分析】根据角的概念，观察图形，顶点处只有一个角，故可用多种方法表示该角．
【详解】解：图中角的顶点是点，边是和．用三种不同的表示方法表示这个角为，，．
故答案为：点，和，，，．
【点睛】此题考查了角的表示方法，解题的关键是掌握一般有以下几种：①一个大写字母，②一个希腊字母，③一个阿拉伯数字，④三个大写字母．要注意，当顶点处有多个角时，不能用一个大写字母表示，以免混淆．
35．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
【答案】（1）3，6，10，15；（2）
【分析】本题考查了图形类规律探究，列代数式，根据图形发现规律是解题的关键．
（1）对内射线的条数为1，2，3，4时，角的总个数分别统计出填表即可；
（2）根据表格数据变化规律，写出内射线的条数是n时，角的总个数即可．
【详解】解：（1）内射线的条数为1条时，角的总个数为：（个），
内射线的条数为2条时，角的总个数为：（个），
内射线的条数为3条时，角的总个数为：（个），
内射线的条数为4条时，角的总个数为：（个），
故答案为：3，6，10，15；
（2）由（1）中几个数据规律可知：若内射线的条数是n，角的总个数为：（个），
答：若内射线的条数是n，用含n的式子表示角的总个数为个．
【题型8 角的计算】
36．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了度分秒的换算，具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．（1）1度分，即，1分秒，即，依此计算加法；
（2）1度分，即，1分秒，即，依此计算减法；
（3）1度分，即，1分秒，即，依此计算乘法；
（4）1度分，即，1分秒，即，依此计算除法．
【详解】（1）解：；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
37．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)（结果用度、分、秒表示）．
(2)（结果用度表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角度的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答；
（2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
38．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角度的运算，按照实数的运算顺序“先算乘除，后算加减”进行运算，注意是解题的关键．
（1）根据角的四则运算法则求解即可；
（2）根据角的四则运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
39．（23-24六年级上·全国·单元测试）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题主要考查了角的四则运算：
（1）根据角度的加法运算法则进行计算即可；
（2）根据角度的减法运算法则进行计算即可；
（3）根据角度的乘法运算法则进行计算即可；
（4）根据角度的除法运算法则进行计算即可；
（5）根据角度的加法运算法则进行计算即可；
（6）根据角度的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
40．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角的四则运算：
（1）根据角的四则运算法则求解即可；
（2）根据角的四则运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【题型9 三角板中角度计算】
41．（23-24七年级上·浙江温州·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点，已知．
(1)求的度数．
(2)现将三角尺固定不动，把三角尺绕点顺时针旋转度，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角度之间的和差计算，解题的关键是根据图形得出角度之间的数量关系．
（1）先求出，再根据即可解答；
（2）根据，，得出，结合，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
42．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺的三个角是．三角尺的三个角是．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角板中角度的计算．正确的识图，找准角度之间的和差关系，是解题的关键．
（1）根据计算即可；
（2）根据，，
，计算即可；
【详解】（1）解：
（2）解：，，
即，
，
43．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起．
(1)若，则的度数为 ；
(2)若，求的度数；
(3)猜想与之间存在什么数量关系？并说明理由：
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了角的和与差，能够根据图形正确表示两个角的和与差是解题关键．
（1）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
（2）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
（3）根据以及，进行计算即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：猜想：，
理由如下：
∵，
又∵，
∴，
即．
44．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
(1)比较大小： ____；（填“＞”“＝”或“＜”）
(2)若，求的度数；
(3)猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)＝
(2)140°
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据两个等角都减去同一个角，剩余的角相等解答；
（2）根据余角的概念求出，计算即可；
（3）根据解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：，
理由如下：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是角的计算、角的大小比较，正确进行角的计算是解题的关键．
45．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图，将两块直角三角板与的直角顶点重合在一起，其中直角边在内部．
(1)如图，若，求和的度数．
(2)若．
①∠AOD和∠BOC有什么关系？请说明理由；
②当时，求的度数．
【答案】(1)，
(2)①，理由见解析；②的度数为
【分析】本题考查了几何图中角度的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解此题的关键．
（1）由计算即可得出答案；
（2）①由，利用角的和差关系即可得出，，即可得出答案；②由①可知：，结合，得出，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴；；
（2）解：①，
理由如下：
∵，，
∴，，
∴；
②由①可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【题型10 几何图形中角度计算】
46．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，E是直线上一点，，分别是，的平分线．
(1)如果，求的度数．
(2)试问与有什么数量关系？请说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查角平分线的定义以及角度计算问题．
（1）由角平分线的定义可得，，计算出，即可求解；
（2）由角平分线的定义可得，，结合平角定义可得，代入整理即可求解．
【详解】（1）解：∵，分别是，的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵∵，分别是，的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴．
47．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，，从点O出发在内部引射线．
(1)当，射线平分时，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，确定各角度之间的和差关系是解题关键.
（１）由题意得，设，根据即可建立方程求解；
（２）由题意可推出，根据即可求解；
【详解】（1）解：∵射线平分，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∴，
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴.
48．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，在内部引两条射线，，满足．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了结合图形中角度的计算；
（1）根据题意，得出，进而根据，即可求解；
（2）根据已知条件得出，进而得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：，
．
，
．
（2），
．
，
，
．
又，
49．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，是直线上的一点，是直角，平分钝角．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
（1）利用角平分线的定义及角的和差计算即可；
（2）利用角平分线的定义及角的和差计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是直角，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）∵平分，平分，
∴，
∴，
∵是直角，
∴．
50．（23-24七年级上·浙江·期末）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边与直线重合，．
(1)求图1中的度数；
(2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．
①当时，求旋转角α的值；
②在转动过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，此时的值为或
【分析】本题考查了几何图形中的角度的计算、一元一次方程的几何应用，运用数形结合和分类讨论思想求解是关键．
（1）根据平角的定义，即可求解；
（2）①根据已知条件和角度的运算即可得到结论；②分当在的左侧时，当在的右侧时两种情况，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
即旋转角度的值是．
②存在，理由如下：
∵，
∴，
当在的左侧时，，
∵，
∴，
∴；
当在的右侧时， ，
∵，
∴，
∴，
∴存在，此时的值为或．
【题型11 角平分线的计算】
51．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：
（1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案；
（2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
52．（2024七年级上·江西·专题练习）已知：如图，，，平分．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质和平面图形角度的计算，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
根据题意可得，根据平分，可得，进而求解；
【详解】解：， (已知)，
．
平分(已知），
(角平分线定义）．
．
53．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线AB和CD交于点O，，平分，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角的和差关系，角平分线有关的计算问题，运用数形结合思想解题是解题的关键．
（1）根据直接求解即可．
（2）利用求出，再运用平分得到，最后利用计算即可．
【详解】（1）解：因为，，，
所以；
（2）因为，，
所以，
因为平分，
所以，
所以．
54．（17-18七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，平分，平分．
(1)若，求的度数．
(2)若，，用含x、y的代数式表示的度数为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理清角度之间的和差关系，是解题的关键．
（1）先求出的度数，根据角平分线的性质，求出的度数，再用计算即可；
（2）同法（1）进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
故答案为．
55．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）如图，已知是直角，在的外部，且平分，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)45°
(2)
【分析】本题考查与角平分线有关的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．
（1）先利用求出的度数，角平分线求出的度数，再利用，计算即可；
（2）先利用，求出的度数，角平分线求出的度数，再利用，计算即可．
【详解】（1）因为是直角，，
所以，
因为 平分
所以，
因为平分,
所以，
所以．
（2）因为，是直角，
所以，
因为平分，
所以，
所以．
【题型12 余角和补角的计算】
56．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，为直线上一点，平分，平分，请写出图中所有互余的角和所有互补的角．

【答案】互余的角有：与，与，与，与；互补的角有：与，与，与，与，与．
【分析】此题主要考查了余角和补角以及角平分线的性质．直接利用角平分线的性质结合平角的定义得出，进而得出答案．
【详解】解：为直线上一点，平分，平分，
，，
，
；
∴互余的角有：与，与，与，与；
互补的角有：与，与，与，与，与．
57．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知平分，平分．
(1)若与互为余角，且，求的度数；
(2)若，其他条件不变，求的度数；
(3)若，其他条件不变，求的度数
(4)从（1）（2）（3）中你能看出什么规律？
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)见解析
【分析】此题主要考查了余角和补角，角平分线的定义．
（1）根据所提供的条件和角平分线的定义和两角互余的性质，求出角的度数；
（2）根据所提供的条件和角平分线的定义，求出角的度数；
（3）同（2）利用计算进而得出答案；
（4）根据（1）（2）（3）中看出规律即可．
【详解】（1）解：．
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，分别平分，，
所以；
（2）解：当，
因为，分别平分，，
所以
；
（3）解：当，
因为，分别平分，，
所以
；
（4）解：从（1）（2）（3）中能看出：的度数为度数的一半，与的大小无关．
58．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）将直角和直角如图1放置．
(1)与相等的角是______，依据是______；
(2)如图2，射线是的三等分线（靠近边．若，求的度数．
【答案】(1)；同角的余角相等
(2)
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角三等分线的定义，同角的余角相等等等：
（1）根据同角的余角相等可证明；
（2）根据（1）的结论得到，再求出，进一步根据三等分线的定义得到，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵和都是直角，
∴，，
∴（同角的余角相等），
故答案为：；同角的余角相等；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵射线是的三等分线（靠近边，
∴，
∴
59．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）已知一个锐角的补角比这个角的余角的3倍大，求这个角的度数．
【答案】
【分析】本题考查余角与补角，一元一次方程的应用，根据补角和余角的大小关系列方程，解方程即可．
【详解】解：设这个锐角等于．
根据题意，得．
解得．
答：这个锐角的度数是．
60．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图所示，已知，的余角比小．
(1)求的度数；
(2)过点O作射线，使得，请你求出的度数．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，余角的定义：
（1）根据余角的定义得到，再由求出，则；
（2）先求出，再分当射线在内部时，当射线在外部时，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵的余角比小，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
当射线在内部时，则；
当射线在外部时，则；
综上所述，的度数为或．
【题型13 相交线】
61．（23-24七年级下·广东揭阳·期中）如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由；
【答案】，证明见解析
【分析】本题主要考查了角度的计算，垂直的定义等知识，根据可得，问题随之得解．
【详解】位置关系：．
理由如下：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
62．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）（1）如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图．
①画直线，射线；
②延长到D，使得，连接．
（2）用适当的数学语言表述下面的图形：
①___________________________________________________________________；
②___________________________________________________________________
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析
【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，直线与直线的位置关系，点与直线的位置关系：
（1）①根据直线和射线的画法画图即可；②根据线段的画法画图即可；
（2）①根据点A与直线l的位置关系进行描述即可；②根据直线与直线的位置关系，点与直线的位置关系进行描述即可．
【详解】解：（1）①如图所示，直线，射线即为所求；
②如图所示，即为所求；
（2）①点在直线上
②直线和直线相交于点，点在直线上，点既不在直线上，也不在直线上．
63．（23-24六年级下·全国·单元测试）同一平面内条直线把平面分成两个部分（或区域）；条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知条直线最多可将平面分成几个部分？
【答案】条直线最多可将平面分成个部分；条直线最多可将平面分成个部分；条直线最多可将平面分成个部分；分别画出图见解析．由此可知条直线最多可将平面分成个部分
【分析】根据题意，画图分类讨论，由此即可求解．
【详解】解：条直线最多可将平面分成个部分，如图：
；条直线最多可将平面分成个部分，如图：
；条直线最多可将平面分成个部分，如图：
，
∴条直线最多分成可将平面分成个部分．
【点睛】本题主要考查平面内直线的位置关系的规律，掌握画图分类讨论，直线的位置关系的规律是解题的关键．
64．（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为．
例如：当时，或（如图所示）．
(1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明；
(2)当时，的最大值为多少？请画图说明；
(3)的最大值为__________（用含的式子表示）
(4)当时，的最大值为多少？请画图说明．
【答案】(1)0,1,2,3；
(2)6
(3)
(4)7
【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键．
（1）画出3条直线交点的所有情况即可解答；
（2）画出4条直线交点的所有情况即可解答；
（3）根据、3、4归纳出规律即可解答；
（4）根据题意画出图形即可解答．
【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3．
（2）解：如图：当时，m的最大值为6．

（3）解：由题意可知：
当时，m的最大值为，
当时，m的最大值为，
当时，m的最大值为，
……
当时，m的最大值为，则m的最大值为．
故答案为：．
（4）解：如图：当时，的最大值为7．

65．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数）
(1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个；
(2)【再探】当时，交点个数最多有________个；
(3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点；
(4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？
【答案】(1)2；3或5
(2)9
(3)
(4)65；130对
【分析】（1）按要求画出图形，数一数即可；
（2）按要求画出图形，数一数即可；
（3）由（1）（2）的图及结果，按照不重不漏的原则，分别找出取、、、等最多交点数与之间的关系，即可求解；
（4）代入（3）的代数式求解即可，根据对顶角的定义，可知每两条直线相交的一个交点处有两对对顶角，从而可求．
【详解】（1）解：当时，如图：
故答案：．
当时，如图
故答案：3或5．
（2）解：当时，如图
故答案：．
（3）解：由（1）（2）得：
当时，交点个数最多：；
当时，交点个数最多：；
当时，交点个数最多：；
．．．．．．
条直线时，交点个数最多：

故答案：．
（4）解：当时，，
．
答：有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生65个交点，此时共有130对对顶角．
【点睛】本题考查了以直线交点数为背景的探究规律问题，准确找出规律是解题的关键．
【题型14 对顶角】
66．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角以及垂线，理解角平分线的定义，邻补角、对顶角以及垂直的定义是正确解答的关键．
（1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可．
【详解】（1）解：平分，，
，
，
，
；
（2）解：由于，可设，，
平分，
，
，
，
，
，
即的度数为．
67．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线相交于点平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，以及邻补角的定义．
（1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解；
（2）设，则，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小，进而可求出的大小．
【详解】（1）解：平分，
，
；
（2）解：∵，
设，则，
∴根据题意得，
解得：，
，则，
．
68．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线，相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)．
【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先由角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可得解；
（2）设，，根据题意列出方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
；
（2）解：∵，
∴设，，
根据题意得，
解得，
∴，
∴，
．
69．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和相交于O点，，平分，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)的度数为
【分析】本题考查对顶角，角平分线，掌握对顶角相等，角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据对顶角相等可得答案；
（2）根据角平分线以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【详解】（1）解：∵与是对顶角，，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∴的度数为．
70．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点O，，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）由对顶角相等得，然后利用角平分线的定义即可求解；
（2）由邻补角的定义得，由角平分线的定义得，，进而可求出的度数．
【详解】（1）解：因为，，
所以．
因为平分，
所以．
（2）解：因为，
所以．
因为平分，平分，
所以，，
所以．
【题型15 点到直线的距离】
71．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图：
(1)过点C画的垂线，垂足为E；
(2)线段的长度是点C到直线_______的距离；
(3)连接，在线段中，线段_______最短．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性．
（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点；
（2）根据点到直线的距离概念回答；
（3）根据垂线段最短直接回答即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：线段的长度是点C到直线的距离，
故答案为：；
（3）解：连接，在线段中，线段最短，
理由：垂线段最短．
故答案为：．
72．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点是的边上的一点．
(1)过点画的垂线，交于点；
(2)过点画的垂线段，垂足为；
(3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点，掌握垂线和垂线段的区别与联系成为解题的关键．
（1）如图取格点D,连接交于点，直线即为所求；
（2）直接根据方格作图即可；
（2）根据点到直线距离解答即可．
【详解】（1）解：如图：直线即为所求；
（2）解：如图：线段即为所求．
（3）解：点到直线的距离为，线段的长度是点到直线的距离．
故答案为：，．
73．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，点P是的边上的一个格点，用无刻度的直尺作图：
(1)过点P作，垂足为Q；
(2)过点P作，交于点C；
(3)线段________的长度是点P到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了垂线的定义和网格作图，准确作图是解题的关键．
（1）根据网格特点作出线即可；
（2）根据网格特点作出线即可；
（3）根据点到直线的距离的定义进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）如图即为所求，
（3）线段的长度是点P到的距离．
故答案为：
74．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），

(1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）．
①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足；
(2)线段______的长就是点到直线的距离；
(3)比较大小：______（填“”“”或“”）
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了基本作图，利用网格结构作垂线，平行线，点到直线的距离的定义，都是基础知识，需熟练掌握．
（1）①根据网格结构特点，过点C作长3宽1的长方形的对角线即可；②根据点到直线的距离的定义解答；
（2）根据点到直线的距离的定义即可得；
（3）根据垂线段最短即可得出答案．
【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求；
②如图所示，直线即为所求；

（2）解：线段的长度是点到直线的距离，
故答案为：；
（3）解：，
故答案为：．
75．（23-24七年级下·河南许昌·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．

(1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F；
(2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
【答案】(1)图见解析
(2)，，，垂线段最短
【分析】（1）如图，找点，连接，与交点即为，过点作竖直的线，与交点即为；
（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：由题意作图如下，是的垂线，是的垂线．

（2）解：线段的长度是点P到的距离，线段的长度是点E到直线OB的距离，
由垂线段最短可知，，
故答案为：，，，垂线段最短．
【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
过关检测
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知与互为补角，并且的倍比大30°，则分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义可得，然后根据的倍比大30°列得方程并解得的度数，再将其代入中计算即可，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
【详解】解：∵与互为补角，
∴，
∵的倍比大30°，
∴，
解得，
∴，
故选：．
2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，延长线段AB至点C，使．若D恰好为线段的中点，且，则线段BD的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义等知识点，根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可，熟练掌握线段中点的定义是解决此题的关键．
【详解】解：∵点D是线段中点，，
，
，，
，
，
故选：．
3．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．无法计算
【答案】C
【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解．
【详解】解：∵，是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
而，
∴，
如图，当在下方时，
此时，；
如图，当在上方时，
此时，；
即：或，
故选：C．
4．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（ ）
A．或B．或C．或D．
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可．
【详解】解：如图1，当位于内部时，
∵，是的平分线，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴，
∴；
如图2，当位于外部时，
∵，是的平分线，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴，
∴；
综上可知或．
故选：A．
5．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，有以下t的值：①；②；③；④．其中正确的序号是（ ）

A．③B．④C．①②④D．①②③
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角的运算，解题的关键是能够根据运动时间，进行分类讨论．分三种情况讨论使得是的2倍时，分别画出图形，求出t的值即可．
【详解】解：第一种情况：当从向旋转，在左边时，如图，

则度，度，
∴，
解得：；
第二种情况：当从向旋转，在右边时，如图，

则度，度，
∴，
解得：；
第三种情况：当运动到，又返回时，如图，

则度，度
∴，
解得：，
此时正好与重合，停止运动；
综上所述：或或44，
故选：C．
6．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个角的补角等于这个角的余角的4倍，这个角是 ．
【答案】60°/60度
【分析】本题考查了余角和补角的知识，注意掌握互余的两角之和为90度，互补的两角之和为．设这个角为x，则这个角的补角，余角，根据题意可得出方程，解出即可．
【详解】解：设这个角为x，则这个角的补角，余角，
由题意得，，
解得：．
故答案为：．
7．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，将一个三角板的60°角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角的和差运算及度分秒的换算，关键是求出的度数．
根据题意求出的度数，再根据，即可求出的度数．
【详解】解：，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ．

【答案】 /50度 或
【分析】本题考查了量角器中的角度计算，互余等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为，即可求出的度数，从而得出的余角的度数，再根据射线所指示的度数为，即可求解．
【详解】解：根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为，
∴，
则的余角的度数为，
根据图2可得，射线所指示的度数为，
∴射线所指示的度数为，射线所指示的度数为，
故答案为：或．
9．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，为同一平面内不共线的三点，点分线段，的和为相等的两部分，若，，则线段长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了线段的和差计算，根据题意进行分两种情况，当时，点在上，当时，点在上，逐一解答即可，解题的关键是熟练掌握线段和差的计算及分类讨论思想．
【详解】当时，点在上，如图，
∵点分，的和为相等的两部分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当时，点在上，如图，
∵点分，的和为相等的两部分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：或．
10．（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．

（1）如图1，若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．
①则 ；
②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
【答案】 /19度 /40度 或
【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
（1）根据三分线的定义计算即可；
（2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可．
【详解】解：（1）解：∵，
∴,
故答案为：；
（2）①∵，是的两条三分线，，
∴，
故答案为：；
②∵，，是的两条三分线，
∴，
由旋转得：，
分两种情况：
当是的三分线，且时，可得，
∴，
∴，即；
当是的三分线，且时，可得，
∴，即；
故答案为：或．
11．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可．
（1）根据，进行计算，即可；
（2）根据，，进行计算，即可；
（3）根据，，进行计算，即可；
（4）根据，，进行计算，即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
12．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，C为线段延长线上一点，D为线段上一点，．

(1)若，求的长；
(2)若，E为的中点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段的中点问题：
（1）根据，可求得，据此即可求得答案；
（2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得．
【详解】（1）解： ，
．
，
．
，
．
（2）解：，
．
，
．
是的中点，
．
．
13．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
【答案】（1）3，6，10，15；（2）
【分析】本题考查了图形类规律探究，列代数式，根据图形发现规律是解题的关键．
（1）对内射线的条数为1，2，3，4时，角的总个数分别统计出填表即可；
（2）根据表格数据变化规律，写出内射线的条数是n时，角的总个数即可．
【详解】解：（1）内射线的条数为1条时，角的总个数为：（个），
内射线的条数为2条时，角的总个数为：（个），
内射线的条数为3条时，角的总个数为：（个），
内射线的条数为4条时，角的总个数为：（个），
故答案为：3，6，10，15；
（2）由（1）中几个数据规律可知：若内射线的条数是n，角的总个数为：（个），
答：若内射线的条数是n，用含n的式子表示角的总个数为个．
14．（2024七年级上·浙江·专题练习）知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， h后两车相距？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，与成直角．
（1）时，时针与分针所成的角度 ；
（2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；
（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？
【答案】问题一：5或25
问题二：（1）；（2），；（3）或分钟
【分析】本题考主要考查了一元一次方程的应用，钟面角问题：
问题一：分两种情况解答：①乙车在前甲车在后，②甲车在前乙车在后；列出方程求解即可；
问题二：（1）根据钟面的特点，平均分成12份，可得每份，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
（2）钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，分针每分钟转过的角是分，即；时钟的时针每小时转过的角是一份，即，即可得结果；
（3）分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可．
【详解】解：问题一：设x小时后两车相距，
若相遇前，则，
解得，
若相遇后，则，
解得．
故两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5小时或25小时后两车相距；
故答案为：5或25；
问题二：
（1）．
故时，时针与分针所成的角度；
故答案为：；
（2）分针每分钟转过的角度为，时针每分钟转过的角度为；
故答案为：，；
（3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角．
①当分针在时针上方时，
由题意得：，
解得：；
②当分针在时针下方时，
由题意得：
解得：．
答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成 角．
15．（2024七年级上·浙江·专题练习）综合探究
如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，．

(1)如图1，______；
(2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由；
(3)如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部，
当时，则______；
当时，则______；
设，，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)135
(2)是的平分线；理由见解析
(3)125；25；；理由见解析
【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算，角平分线的定义，三角板中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握各个角度之间的关系．
（1）根据三角板中各个角度的大小，结合图形进行解答即可；
（2）先根据角平分线定义求出，得出，求出，即可证明结论；
（3）根据已知角度，结合图形，分别求出、即可；根据，，得出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：135；
（2）解：是的平分线；理由如下：
落在的平分线上，
，
，
；
，
即是的平分线．
（3）解：当时，，
∴；
故答案为：125；
当时，，
∴；
故答案为：；
；理由如下：
，
又，
．
题型聚焦：核心考点+中考题型，有的放矢
重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
提升专练：真题感知+精选专练，全面突破
内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数