第01讲 直线的相交（3大知识点+10大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

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知识点01：对顶角
对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。
对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。
知识点02：垂直
1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言．
a
b
Oa
图1
2．垂直定义的应用：
（1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则
AB⊥CD．这个推理过程可表示为：
∵ ∠BOC＝90°，
∴ AB⊥CD． （垂直的判定）．
（2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则
∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°，
这个推理过程可表示为：
∵ AB⊥CD
∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）．
C
B
Oa
图2
A
D
知识点03 邻补角
‌邻补角‌是指两个角有一条公共边，并且它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。具体来说，邻补角具有以下特征：
‌公共边和公共顶点‌：邻补角有一个公共的顶点和一条公共边‌12。
‌反向延长线‌：两个角的另一条边互为反向延长线‌12。
‌角度和为180度‌：邻补角的度数之和为180度，即它们是互补的‌12。
‌成对出现‌：邻补角是成对出现的，一个角是另一个角的邻补角‌2。
‌平角‌：互为邻补角的两个角相拼成一个平角，即180度‌2。
定义和性质
邻补角的定义是：两个角有一条公共边和共同的顶点，且它们的另一条边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角。例如，在一条直线上，相邻的两个直角（90度）就是邻补角‌12。
实际应用
邻补角在几何学中有重要的应用。例如，在解决一些几何问题时，可以利用邻补角的性质来简化计算。此外，邻补角在平面几何中也有广泛的应用，特别是在直角三角形中，一个锐角的邻补角必然是钝角‌
考点一：相交线
例1．在下列各图中能相交的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择即可；
本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是解题的关键．
【详解】解：B中这条直线与这条射线能相交；
A、C、D中的直线，线段，射线不能相交．
故选：B．
【变式1-1】平面上画三条直线，交点的个数最多有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】A
【分析】根据相交线的性质可得答案．
【详解】平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点．
故选：A．
【点睛】本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前题，也是解题的关键．
【变式1-2】平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角数为c，则的值是 ．
【答案】1
【分析】根据n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍，由此可得出a，b，c的值，再代入计算即可．
【详解】∵n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍，
∴a＝10，b=1，c=20
∴．
故答案为：1．
【点睛】考查了直线的交点问题，解题关键是掌握n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍．
【变式1-3】同一平面内两条直线若相交，则公共点的个数为 个．
【答案】
【分析】根据相交线的性质，即可得出交点个数．
【详解】解：两直线不同的位置关系，可得不同的交点个数，
同一平面内，两直线相交，有且只有1个交点，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了相交线的交点个数，若同一平面内，两直线相交，有且只有1个交点；若两直线重合，有无数个交点．
【变式1-4】过一点画2条直线，如果只考虑小于的角，那么可以形成多少个角？
【答案】4个
【分析】根据直线相交的特点解答．
【详解】解：两条直线相交可以形成4个角．
【点睛】此题考查直线相交所形成的角，正确理解题意，有空间想象能力是解题的关键．
考点二：垂线的定义理解
例2.同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直，一定注意是在同一平面内．
【详解】在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直．
故选：B
【变式2-1】如图，直线，相交于点，射线平分．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．根据角平分线的定义，得出，再根据题意，得出，然后再根据角的关系，计算即可得出的度数．
【详解】解：射线平分，
，
，
，
．
故选：C．
【变式2-2】如图，，于点，于点，则等于 °.
【答案】42
【分析】此题主要考查了角的计算和垂线的定义的知识，解题关键点是熟练掌握有公共部分的两个直角的计算；利用垂直的概念和互余的性质计算．
【详解】解：，
，
，
，
又，
，
；
故答案为：42．
【变式2-3】如图，点O在直线上，当与满足 时，．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂直的定义理解，补角的定义，根据当时，则，然后利用补角的定义求出，即可得出答案．
【详解】解：当时，则，
∵，
∴，
即当时，．
故答案为：．
【变式2-4】如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查几何图形中的角度计算，垂直的定义：
（1）根据可得，等量代换可得，再根据平角的定义即可求解；
（2）根据角的和差关系可得，根据垂直的定义可得，进而可得，则．
【详解】（1）解： ，
．
，
，
．
（2）解：，
．
，
，
，
．
考点三：画垂线
例3.过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断每个选项．
【详解】解：A．图上为过A点画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意；
B．图上为过点B画线段所在直线的垂线段，故该选项符合题意；
C．图上为过上一点D画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意；
D．图上为过点B画线段的垂线段，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-1】下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查画垂线，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．
【详解】解：用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，
∴D选项的画法正确，
故选：D．
【变式3-2】若A，C是直线l上两点，B，D是直线l外两点，则过点A能画 条直线与l垂直；过点B能画 条直线与l垂直；过C，D两点（填“能画”“不能画”或“不一定能画”） 一条直线与已知直线垂直.
【答案】 1 1 不一定能画
【分析】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直这里的“过一点”无论是指过直线上一点还是直线外一点；两点确定条直线，要过C，D两点画直线，直线的位置就确定了，这条直线可能垂直于直线l，也可能不垂直于直线l.
【详解】过点A能画1条直线与l垂直；过点B能画1条直线与l垂直；
过C，D两点不一定能画一条直线与已知直线垂直.
故答案为：1；1；不一定能画.
【点睛】此题主要考查过点作已知直线的垂线，熟练掌握，即可解题.
【变式3-3】如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是 ．
【答案】70°
【详解】解：过点E作EM⊥CD于E．
根据题意得：∠1=∠2=50°，∠END=30°，
∴∠DEN=40°，
∴∠CDA=∠DEN+∠END=30°+40°=70°．
故答案为70°．
【点睛】本题借助物理里的反射光线考查了三角形外角定理．属于学科交叉知识，题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
【变式3-4】按要求画图：
(1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使；
(2)如图2，P是的边上的一点．
①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】此题主要考查了基本作图，作线段和作垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
（1）根据线段的作法连接即可，再延长，截取即可
（2）根据过直线上一点作垂线的方法，得出即可．
【详解】（1）解：，即为所求：
（2）和如图2所求：
考点四：垂线段最短
例4.如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短．
故选C．
【变式4-1】如图，三角形中，，垂足为点P，则的长可能是（ ）
A．6B．7C．8D．10
【答案】A
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，得到，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即：；
∴的长可能是6；
故选A．
【变式4-2】在中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可知，当时，的长度最小，利用三角形的面积求出的最小值，再根据当点D与点A重合时，取的最大值为4，即可得出的取值范围．
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图∶
∵
∴，
∴，
∴，
当点D与点A重合时，取的最大值为4，
∴的取值范围为：．
故答案为：．
【变式4-3】如图，在三角形中，，，点A到边的距离为4．若M是边上的一个动点，则线段的长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂线段最短和三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．当时，的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：∵垂线段最短，
∴当时，最短，
∵，，点A到边的距离为4，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式4-4】如图所示，点分别代表三个村庄，根据下列条件画图．
(1)画射线，画线段，画直线；
(2)若线段是连结村和村的一条公路，现村庄也要修一条公路与两村庄之间的公路连通，为了使修建的路程最短，村庄应该如何修路？请在同一图上画出示意图，并说明这样修路的理由．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析，理由见解析
【分析】本题考查作图，涉及射线、线段、直线的定义作图，在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短等知识，熟练掌握射线、线段、直线的定义，垂线段最短是解决问题的关键．
（1）由射线、线段、直线的定义直接作图即可得到答案；
（2）在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短作出图形即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
射线，线段，直线即为所求；
（2）解：过点作于，如图所示：
线段即为所修路，
理由是：在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短．
考点五：点到直线的距离
例5.小茗同学练习跳远，如图，点A是她落地时脚后跟所在点，则这次跳远成绩是图中线段________的长度（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂线段最短，掌握理解跳远比赛的规则是解题关键．根据跳远比赛的规则可知跳远的成绩是起跳点到直线得距离，据此可得答案．
【详解】解：在跳远比赛规则的前提下，测量小茗同学的体育成绩时，应该选取线段的长度，
故选：B．
【变式5-1】点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，，则P到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
【详解】解：当时，是点P到直线的距离，即点P到直线的距离，
当不垂直直线时，点P到直线的距离小于的长，即点P到直线的距离小于，
综上所述：点P到直线的距离不大于，
故选：D．
【变式5-2】如图，在三角形中，，，，，则点到的距离等于 ．
【答案】3
【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，即可得出答案．本题主要考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
【详解】解：∵，，
∴点到的距离等于3．
故答案为：3．
【变式5-3】如图，，交于点，于，连接．
（1）若，则 ；
（2）若．，，那么点到直线的距离是 cm．
【答案】 /65度
【分析】本题考查了点到直线的距离，对顶角以及邻补角，掌握对顶角以及邻补角的性质是解题的关键．
（1）根据对顶角的性质得出，再由垂直的定义答案即可；
（2）根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】解：（1），
，
，
，
；
（2），，
点到直线的距离是，
故答案为：，．
【变式5-4】作图并回答：
(1)如图，点P在的边上．
①过点P作的垂线交于点C．
②作点P到的垂线段．
(2)上述作图中，线段 的长度表示点P到的距离；
(3)线段与的大小关系是： （用“”连接），判断依据： ．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
(3)，垂线段最短
【分析】本题考查作图——基本作图和垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离中，垂线段最短．
（1）根据垂线的画法作图即可；
（2）根据点到直线的距离是垂线段的长度即可判断；
（3）根据垂线段最短即可判断．
【详解】（1）解：①如图所示，即为所求；
②如图所示，即为所求；
（2）解：∵，
∴线段的长度表示点P到的距离，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，判断依据为：垂线段最短，
故答案为：；垂线段最短．
考点六：对顶角的定义
例6.下列四个图形中，与为对顶角的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可．
【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有B选项中的与为对顶角，
故选：B．
【变式6-1】下面图形中，与是对顶角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查对顶角的知识，解题的关键是掌握对顶角的定义：两个角有一个公共顶角，并且一个角是另外一个角的两边的反向延长线，即可．
【详解】解：∵对顶角的定义：两个角有一个公共顶角，并且一个角是另外一个角的两边的反向延长线，
∴A、与的两边互为反向延长线，符合题意；
B、与的两边没有互为反向延长线，不符合题意；
C、与的两边没有互为反向延长线，不符合题意；
D、与没有公共点，不符合题意；
故选：A．
【变式6-2】若一个角的对顶角是它的补角的，则这个角的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】本题主要考查对顶角和补角，一元一次方程的几何应用，设这个角的度数是x，根据一个角的对顶角是它的补角的，列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数是x，
角的对顶角也为x，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【变式6-3】如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分．
（1）写出图中的对顶角 ，的补角是 ；
（2）已知，且，则的度数为 ．
【答案】 / / /度
【分析】本题主要考查了补角，对顶角的定义，几何图形中角度的计算：
（1）根据补角和对顶角的定义求解即可；
（2）先求出，再由平角的定义即可求出答案．
【详解】解：（1）的对顶角是；的补角是，
故答案为：；；
（2）∵，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式6-4】观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．

(1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(4)根据填空结果探究：当条直线相交于一点时，共有__________对对顶角；
(5)根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
【答案】(1)2
(2)6
(3)12
(4)
(5)999000
【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．
（1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；
（2）三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，
（3）4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角；
（4）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．
（5）根据（4）得出得结论代入求解即可．
【详解】（1）解：对图形进行点标注．

图①中对顶角有与，与，共2对；
故答案为：2；
（2）图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对；
故答案为：6；
（3）图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对；
故答案为：12；
（4）①，②，③，
则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角，
故答案为：．
（5）由（4）可知条直线相交于一点共有对对顶角，
当时，共有条对顶角．
考点七：对顶角相等
例7.如图，直线相交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，角平分线求出的度数，再根据对顶角相等，即可得出结果．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴；
故选：A．
【变式7-1】如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据垂线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据对顶角相等，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式7-2】如图，直线、、相交于点，则的度数等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，根据对顶角相等可得，再根据平角的定义解答．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式7-3】如图，直线相交于点，，平分，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查角平分线的定义、对顶角等知识，根据对顶角相等和的度数求出的度数是解答本题的关键．根据对顶角相等，可求出的度数，从而可知的度数，进而根据与的度数之和可求出的度数．
【详解】∵与为对顶角，
且，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式7-4】如图，直线、相交于点，，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查垂直定义和对顶角相等的知识，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键．
（1）根据对顶角相等可得，然后利用角的和差计算求解；
（2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
考点八：邻补角的定义理解
例8.如图，点O是直线上的一点，，平分，图中的补角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查余角和补角的定义，角平分线的定义，利用数形结合的思想是解题关键．根据同角的余角相等可证明，再根据角平分线的定义可确定，最后根据邻补角可知，即得出，，从而得出的补角有3个．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，，
综上可知的补角有3个．
故选C．
【变式8-1】如图，，相交于点，，射线平分，下列结论中错误的是（ ）
A．与互为补角B．与互为余角
C．与互为补角D．与为对顶角
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂直、角平分线、补角和余角、对顶角等知识，根据角平分线的定义、垂直的定义、对顶角的定义以及补角和余角的定义逐项分析判断即可，熟练掌握角平分线的定义、补角和余角的定义是解题关键．
【详解】解：A. 因为，所以与互为补角，该选项结论正确，不符合题意；
B.因为射线平分，
所以，
又因为，
所以，
所以，即与互为余角，
该选项结论正确，不符合题意；
C.因为，，
所以，
即与互为补角，该选项结论正确，不符合题意；
D. 与为对顶角，该选项结论错误，符合题意．
故选：D．
【变式8-2】两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ．
【答案】邻补角
【分析】本题考查邻补角，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可得到答案．
【详解】解：两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
故答案为：邻补角．
【变式8-3】如图，为书面上一点，将书面折过去，使直角顶点A落在处，为折痕，若为的平分线，则的度数 ．
【答案】90°/90度
【分析】本题考查了翻折变换，角平分线的定义（平分所在的角）；掌握轴对称的性质是解题关键．
根据折叠的性质和角平分线的定义，进行角度计算即可．
【详解】解：由折叠性质可得，
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【变式8-4】如图，直线，相交于点O，于点O，平分，．

(1)写出的邻补角和对顶角；
(2)求的度数．
【答案】(1)的邻补角是和，对顶角是
(2)
【分析】本题主要考查了邻补角的定义，对顶角的定义，垂线定义理解，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，数形结合．
（1）根据邻补角和对顶角定义进行解答即可；
（2）根据垂线定义得出，根据，得出，根据角平分线定义求出，最后根据邻补角求出结果即可．
【详解】（1）解：的邻补角是和，对顶角是；
（2）解：，
，
∵，
，
平分，
，
．
考点九：找邻补角
例9.如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AONB．∠AOCC．∠NOCD．∠MOB
【答案】C
【分析】相邻且互补的两个角互为邻补角
【详解】解：∠COM与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角.
故选：C
【点睛】熟记邻补角的定义是解题的关键.
【变式9-1】如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（ ）
A．6对，2对B．4对，2对C．8对，4对D．4对，4对
【答案】A
【分析】根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解．
【详解】解：∵两条直线与相交于点O，是射线，
∴对顶角有：与，与，共2对，
邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对
故选:A
【点睛】本题考查了邻补角与对顶角的定义，掌握定义是解题的关键．
【变式9-2】如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角．
【答案】4
【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答．
【详解】解：根据图形可知，
，，，，
故答案为4．
【变式9-3】如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．

【答案】 和
【分析】本题主要考查了邻补角和对顶角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案．
【详解】解：由图形可知，的邻补角是和，
的对顶角是，
故答案为：和，．
【变式9-4】如图，直线，相交于点O， 平分
(1)直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ；
(2)若 求 的度数．
【答案】(1)；，．
(2)
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，对顶角和邻补角：
（1）根据对顶角和邻补角的定义，作答即可；
（2）设，进而得到，根据，求出的值，进而求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数．
【详解】（1）解：的对顶角为，
的邻补角为，．
故答案为：；，．
（2）∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
考点十：利用邻补角互补求角度
例10.如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为，是解题的关键．
根据同角的余角相等，得到，又因为，所以，又因为与互为补角，即可得出结果．
【详解】，
即，
．
又，
．
，
即与互为补角，
所以与互补的角有：共3个．
故选C．
【变式10-1】如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查邻补角．根据邻补角的性质进行计算即可．
【详解】解：，，
，，
∴，
故选：D．
【变式10-2】如图，两直线交于点，若，则 度．
．

【答案】
【分析】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，先由求解，再利用邻补角的性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：
【变式10-3】如图所示，直线，交于点，，平分，则 ．
【答案】/135度
【分析】本题利用垂直的定义，邻补角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
由垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义即可得到结论．
【详解】解：∵，
，
平分，
，
故答案为：．
【变式10-4】如图，点为直线上一点，过点作射线，．过点在直线下方作射线，使，作的平分线，求的度数．
【答案】．
【分析】本题考查了角的计算．先利用邻补角的定义计算的度数；再根据角平分线的定义得到，然后利用互余的定义计算的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
1．如图，直线、相交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等，即可求解．
【详解】解：依题意，，
故选：A．
2．如图，直线，相交于点，过点作，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
3．如图，直线相交于O，若，平分，则度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意可求得，根据角平分线的定义可得，即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：C．
4．如图，点在直线上，射线平分，若°，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线定义，掌握以上知识是解答本题的关键．
本题首先根据角平分线定义可得，再根据邻补角的性质可得的度数．
【详解】∵平分，
∴，
∴
．
故选：C．
5．如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（ ）
A．①正确，②正确B．①错误，②正确C．①正确，②错误D．①错误，②错误
【答案】D
【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到；
②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系．
【详解】解：①，
，
，是定值；故①错误．
②设，则．
如图
，
，
，
，
，
．
如图
由①可知，，
，
解得：，
即，
此时不垂直于故②错误．
故选：D．
6．如图，直线a、b相交，，则 度．
【答案】140
【分析】本题主要考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等成为解题的关键．
先根据对顶角相等和已知条件求得，再根据平角的性质列式计算即可．
【详解】解：∵，（对顶角相等），
，
．
故答案为：140．
7．如图，，点B、O、D在同一直线上，则 ．
【答案】102
【分析】本题考查了垂直的定义，求一个角的余角、补角，数形结合是解题的关键．根据垂直的定义可求得，进而即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：102．
8．如图，点O是直线上一点，射线在同侧，且，若，则的度数为 ．
【答案】/52度
【分析】本题考查了角的计算，准确识图是解题的关键．由可知，再根据平角等于列式计算即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
9．已知直线相交于点平分．
（1）如图①，若，则 ， ；
（2）如图②，若，则 ，与互补的角有 ．
【答案】 40 50 30 ，，
【分析】（1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用对顶角即可求得的度数；
（2）利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；根据补角的定义即可求得答案．
本题考查对顶角相等，补角，角平分线的定义，补角及角的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）∵平分，
∴；
∵，
∴．
∵与是对顶角，
∴；
故答案为：40，50；
（2）∵平分，
∴；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
，，，，
，
与互补的角为：，，．
故答案为：，，，
10．如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可．
【详解】解：①当在之间时，如图．
∵直线、相交于点，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
②当在之间时，如图．
∵直线、相交于点，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：或
11．如图，直线，相交于点O，平分，，垂足为O．
(1)写出图中所有与互补的角；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义．
（1）根据邻补角的定义确定出和，再根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义可得，然后根据等角的余角相等求出，从而最后得解；
（2）根据角平分线的定义求出，再根据余角的定义求出，然后根据对顶角相等解答．
【详解】（1）解：∵直线，相交于点O，
∴、都是的补角，
∵ 平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴也是的补角，
∴与互补的角有．
（2）解：∵ 平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与是对顶角，
∴．
12．如图，直线与相交于点O，平分．

(1)当时，求的度数；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解；
（2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解．
【详解】（1）解：∵直线与相交于点O，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵若，
∴
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
解得.
∴．
13．如图，平面上有四个点A、B、C、D，按照要求作图：
(1)画出线段．
(2)画出直线．
(3)在直线上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析，垂线段最短
【分析】本题考查了直线、射线、线段，以及垂线段，关键是掌握直线、射线、线段的性质．
（1）以A、B为端点，画线段即可；
（2）过C、D画直线即可；
（3）过点B作直线的垂线段即可．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求，
（2）解：如图，直线即为所求；
（3）解：如图，点E即为所求，
理由是垂线段最短．
14．如图，直线，相交于点，．
(1)若，判断与的位置关系；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查垂直定义、角度的运算，能从图中找到角之间的关系是解答的关键．
（1）根据垂直定义，得到即可求解；
（2）根据垂直定义结合已知，得到，再根据平角定义求解即可；
【详解】（1）解：．
理由如下：因为，所以，
所以．
又因为，所以，
即，所以；
（2）解：由（1）知，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
15．如图，直线交于点分别在内部，且平分．
(1)的对顶角是___________；
(2)若，则的度数为___________；
(3)若平分，求的度数；
(4)若，判断是否平分，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)平分，理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义．
（1）根据对顶角的定义即可解答；
（2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可；
（3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可；
（4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论．
【详解】（1）解：根据题意：的对顶角是；
（2）解：平分，
，
；
（3）解：与为对顶角，
，
，即．
平分，
，
，
，
．
又平分，
，
；
（4）解：平分，理由如下：
，
．
，
，
，
，
平分．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握对顶角的概念；
2．掌握垂直的相关概念与画法；
3．掌握邻补角的概念与应用。