第07讲 平行线中的五大基本模型（5大题型+过关测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

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题型一 平行线基本模型之M模型
题型二 平行线四大模型之铅笔模型
题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型
题型四 平行线四大模型之“骨折”模型
题型五 平行线基本模型的拓展
【经典例题一 平行基本模型之M模型】
【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C

【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.

【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E
朝向左边的角的和=朝向右边的角的和

锯齿模型的变换解题思路

拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型
【例1】如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
1．如图，，求的度数．
2．【探究】如图①，已知，
（1）若，，求的度数；
（2）求证：；
【应用】如图②，已知，若，，，则_____________．
3．如图，，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若，，则_______；
(2)如图2，试说明，；
(3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．
4．如图，已知平分平分，求的度数．
【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】
【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°

【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.

变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）
拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n
【例2】如图，，则下列说法中一定正确的是

A．B．
C．D．
1．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数．
(1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据．
如图2，过点作，
，
，
（_____）
，．
（_____）
，，
，．
．（_____）
问题迁移：
(2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系．
2．已知，与的角平分线相交于点F．
(1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数；
(2)如图②，若，求的度数；
(3)若，请直接写出与之间的数量关系．
3．（1）如图①，已知：，请说明．
（2）如图②，已知：，于点M，交于点．若，则的度数为多少？
4．已知，直线，点P为平面上一点，连接与．
(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点P落在外．
①直接写出、、的数量关系为______．
②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．
【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】
【例3】①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
1．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知，，，则 °．
2．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．

3．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，

(1)求证：：
(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ．
4．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；
（2）点在两条平行线之间，过点作于点．
①如图2，说明成立的理由；
②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．
【经典例题四 平行基本模型之“骨折”模型】
【例4】如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________．
1．如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）．
(1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数；
(2)如图②，若点P在直线上方，且，．
①求的度数；
②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数．
2．直线，P 为直线上方一点，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值．
3．已知：如图，直线与分别相交于点E，F．
(1)如图1，若，则和的位置关系为 ．
(2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系．
①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）：
解：如图2，过点P作，
则（ ）
∵（已知），（作图），
∴（ ）
∴
∴（ ）
即；
②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系；
③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系．
4．如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图1，若，则的度数为 ；
②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数；
(2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
【经典例题五 平行线基本模型的拓展】
【例5】如图，．
(1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知．
①如图2，若，求的度数；
②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
1．[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，．
(1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数；
(2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由；
(3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由．
2．如图1，，．
(1)①如果，求的度数；
②设，，直接写出、之间的数量关系： ；
(2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数．
3．【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由；
【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________；
【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系．
4．【问题背景】
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
【实践操作】
（1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______；
（2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由．
1．综合与探究：
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
(1)如图1，若，，求的度数．
(2)如图2，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由．
(3)如图3，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由．
2．综合与实践
（1）如图1，，点P在，之间，，求的度数．
（2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示）
3．已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
(3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
4．探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究、和的数量关系：
(1)当点在如图①的位置时，写出、和的数量关系，并说明理由．
(2)当点分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的、和的数量关系：（直接写出答案，不要求说明理由）
图②________________________________________________．
图③________________________________________________．
(3)运用上面结论解决问题：如图④，，平分，平分，，求的度数．
5．两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间．
(1)求证：；
(2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数．
6．如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点．
(1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系．
(2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______．
(3)若，的平分线交于点Q，且，则______．
7．据图解答下列各题．
(1)如图1，已知，求证：；
(2)如图2，已知，，若，求的值．
8．某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．
(1)填空： ；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
9．综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动．
【探究发现】
如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E．
（1）若，则的度数为 ；
（2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由；
【延伸拓展】
（3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数．
10．问题情境：如图，，，，求度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系．
11．已知，，平分交于点G．
(1)如图1，，判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，，当时，求的度数．
12．综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间．
(1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数；
(2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数；
(3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数．
13．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线a，b，再将三角板（）放在黑板上，与直线a相交于点A，转动三角板得到如图所示的两个不同位置的图形．
(1)如图1，若点B在直线b上，，则_____°．
(2)如图2，若点B在直线a，b之间，则与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
14．（1）【问题解决】如图1，已知，点P在之间，，求的度数．
（2）【问题迁移】如图2，若，点P 在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由．
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和 的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）.
15．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：
(1)已知：，和都不经过点P，直接写出与的关系 ；
(2)在图2中，，若，则的度数为 ；
(3)在图3中，，若，则的度数为 ；
(4)在图4中，，探索与的数量关系，并说明理由．