第10讲 二元一次方程组和它的解（2大知识点+3大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

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【知识点1 二元一次方程组的概念】
1、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【知识点2 二元一次方程组的解】
二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
考点一：判断是否是二元一次方程组
例1．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的就是二元一次方程组的定义问题，对于二元一次方程组，只要满足这两个方程含有2个未知数且最高次项是一次的整式方程即可．利用二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：A、第二个方程不是整式方程，不符合题意；
B、整个方程组含有3个未知数，不符合题意；
C、最高次项的次数是2，不符合题意；
D、是二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
1．下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组；
满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组；
满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组；
的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组；
故选：B．
2．在下列方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题是考查对二元一次方程组的识别，分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”．
【详解】解：方程组，，符合二元一次方程组的定义，符合题意，
方程组中不满足二元一次方程的定义，不符合题意，
方程组中的第一个方程不是整式方程，不符合题意．
故选：B．
3．下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键．
利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论．
【详解】解：①，符合二元一次方程组的定义；
②，符合二元一次方程组的定义；
③，含有三个未知数；
④，符合二元一次方程组的定义；
⑤，方程组中的第一个方程中含未知数的项的次数是二次．
所以是二元一次方程组的有3个．
故选：B．
4．请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答．
【详解】解：依题意，∵
∴满足二元一次方程组，使该方程组无解．
故答案为：（答案不唯一）
5．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ．
【答案】1
【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果．
【详解】解：根据题意知，，
解得，，，
，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键．
6．若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ．
【答案】 3或2
【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解．
【详解】解：是关于，的二元一次方程组，
，或0，，
解得：或2，，，
答案：3或2，，
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
7．下列方程组中，不是二元一次方程组的是 ．
①；②；③；④
【答案】③④
【分析】根据二元一次方程组的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由二元一次方程组的概念可得：①；②是二元一次方程组，③；④不是二元一次方程组，因为不满足方程是整式及未知数的最高次项是2次，
故答案为③④．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键．
8．若方程组是二元一次方程组，求a的值．
【答案】或3或2或
【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值．
【详解】解：∵方程组是二元一次方程组，
∴或，
∴或3或2或．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
9．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【答案】见解析
【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断．
【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；
（2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组；
（3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；
（4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组；
（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
考点二：判断是否是二元一次方程组的解
例2.下列方程中，解为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可．
【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意；
B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意；
C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意；
D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意；
故选：D
1．观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案．
【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为，
故二元一次方程组的解为，
故选：A．
2．已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于的解需要同时满足方程和，因此从方程、的解中找到同时满足这两个方程的解即可．
【详解】解： ，，满足方程，，，满足方程，其中同时满足和，
二元一次方程组的解是．
故选：D．
3．方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用整体的思想，得，解得；
【详解】解：由题意，得，解得，
故选：A
【点睛】本题考查二元一次方程组解的定义；运用整体的思想是解题的关键．
4．请写出一个解为的二元一次方程组 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由，列出方程组即可．
【详解】
解：根据题意得：．
故答案为：（答案不唯一）
5．写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．据此求解即可．
【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
6．下列说法：①二元一次方程组的解都是唯一的；②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程；③方程的解有无数个；④解为的方程组是唯一的；其中正确是 ．
【答案】③
【分析】根据二元一次方程组解得情况可以分析出二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解，故判断①、④错误；由二元一次方程的定义可知②错误；由二元一次方程的解的情况得出③正确．
【详解】①二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解．
①不正确
②二元一次方程的定义是含有两个未知数，且未知数的指数是的整式方程．而②中未知数的指数不一定为．
②不正确
③适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．每个二元一次方程都有无数对方程的解．
方程是二元一次方程，故它的解有无数个．
③正确．
④解为的方程组不是唯一的，有无数个．
④正确．
【点睛】本题考查二元一次方程的概念．以及二元一次方程解得情况以及二元一次方程组解得情况．判断是有唯一解还是无解还是无穷多解．
7．已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解．
【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解，
可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键．
8．已知下列五对数值:
①④
(1)哪几对数值是方程x-y=6的解?
(2)哪几对数值是方程2x+31y=-11的解?
(3)指出方程组的解.
【答案】（1）①②③ （2）③④⑤ （3）③
【分析】(1)把每组数据代入方程进行判断即可；(2)把每组数据代入方程进行判断即可；(3)在①②中的公共解就是方程组的解．
【详解】(1)只有①②③满足方程x－y＝6,所以①②③是方程x－y＝6的解.
(2)只有③④⑤满足方程2x＋31y＝－11,所以③④⑤是方程2x＋31y＝－11的解.
(3)③是方程组的解.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
9．已知下列三组数值：，，
(1)哪几组数值是方程的解？
(2)哪几组数值是方程的解？
(3)哪几组数值是方程组的解？
【答案】(1)和是是方程的解
(2)和是是方程的解
(3)是方程组的解
【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
（1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解．
【详解】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解；
综上所述，和是是方程的解；
（2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
综上所述，和是是方程的解；
（3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解，
∴只有是方程组的解．
考点三：已知二元一次方程组的解求参数
例3.若关于x，y的方程有一组解是，则a的值是（ ）．
A．B．8C．D．2
【答案】A
【分析】此题主要考查利用二元一次方程的解求参数，正确理解方程的解的定义是解题的关键．
将这一组解代入方程，即可求得答案．
【详解】解：把代入方程得，
，
解得：，
故选：A．
1．已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A．7B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程的解的含义，二元一次方程组的特殊解法．先代入方程组的解可得，再把两个方程相加即可．
【详解】解：由题意得：，
得：，
故选：A．
2．已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程的解．把代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程，得，
解得．
故选：B．
3．学习情境▪墨迹覆盖关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入可得，则，即可求解．
【详解】解：把代入可得，
由题意得，解得，
故选：D．
4．已知是关于，的方程的一组解，那么的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了二元一次方程的解．把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一个解，
，
解得．
故答案为：4．
5．已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】1
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把x与y的值代入方程，再相减即可求出值．
【详解】解：把代入方程组得：，
由得：，
故答案为：1
6．已知关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：将代入原方程得：，
解得：．
故答案为：．
7．若关于x，y的方程组的解满足，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．先把方程组中的两个方程相加消去m，得到关于x，y的方程，再把代入求出x，然后求出y，最后把x，y的值代入②得到关于m的方程，解方程求出m即可．
【详解】解：，
得：③，
把代入③得：，
解得：，
把代入得：，
把和代入②得：，
解得：，
故答案为：．
8．已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值．
【答案】
【分析】把代入到方程组中得到关于a、b的方程组，接方程组即可得到答案．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确计算是解题的关键．
9．若关于、的二元一次方程组的解满足，互为相反数，通过计算求的值．
【答案】
【分析】根据，互为相反数，得出，联立，求得，代入，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：，
代入，
得，
解得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，相反数的应用，求得的值是解题的关键．
1．已知是方程的一组解，则m的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
把解代入方程，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
解得，
故选：B．
2．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可．
【详解】解：符合二元一次方程组的定义，则A符合题意；
中不是整式，则B不符合题意；
中的次数不是1，则C不符合题意；
中的次数不是1，则D不符合题意；
故选：A．
3．已知是关于x、y的方程的一组解，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查二元一次方程的解．把代入，得关于a的方程，求解即可．
【详解】解：把代入，得
．
．
故选：D．
4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．据此进行解答即可．
【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不合题意；
B、含有二元二次方程，不是二元一次方程组，不合题意；
C、含有二元二次方程，不是二元一次方程组，不合题意；
D、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意．
故选：D．
5．已知方程组的解满足，则k 的值为（ ）
A．B．4C． QUOTE -2 -2D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．
把两方程相加，利用整体代入的方法得到，然后解关于k的一次方程即可．
【详解】解：，
得，
即，
∵，
∴，
解得．
故选A．
6．已知方程组解是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程租的求解以及二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解方法．将代入方程组，得到关于的方程组，然后求解即可．
【详解】解：将代入方程组，得
①②，得，解得
将代入得，，解得
∴
故答案为：
7．已知是二元一次方程的解，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．把代入，得出关于k的方程，然后解方程即可．
【详解】解：把代入，
得，
解得，
故答案为：1．
8．已知是关于 x、y的二元一次方程组的解，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，先把代入原方程得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：∵是关于 x、y的二元一次方程组的解，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
9．已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解的定义得到满足方程，于是把代入得到，可解出y的值，再将代入，求得●为6，即可求解．使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的值叫二元一次方程组的解．
【详解】解：把代入得，解得，
∴▲为．
再把代入，得，
∴●为6，
∴
故答案为：4．
10．关于x、y的方程组的解为，则的平方根是
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求平方根．把代入，求出m，n的值，可得到的值，再根据平方根的性质，即可求解．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴，解得：，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：
11．已知是方程组的解，求a，b的值．
【答案】
【分析】将代入方程组中即可得出答案．
【详解】解：将代入方程组，
得：，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解即为使方程组中每个方程左右两边相等的未知数的值．
12．已知关于x，y的方程组 的解满足，求的值．
【答案】
【分析】先在方程组中方程②－方程①得到的值，再结合已知，列出方程即可求解．
【详解】解：在方程组 中，
由②－①，得，
因为，代入得
解得．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程的解，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
13．已知是二元一次方程组的解，求的平方根．
【答案】
【分析】将x和y的值代入原方程，得到关于a和b的方程组，求出a和b的值即可．
【详解】解：把代入二元一次方程组，
得：，解得：．
∴，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及平方根，解题的关键是求出a和b的值．
14．已知关于、的方程组的解是，求的值．
【答案】3
【分析】把代入方程组得出关于m，n的方程组，求出m，n的值，代入|m-n|计算，即可得出答案．
【详解】解：∵关于、的方程组的解是
∴
解得
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，绝对值，理解二元一次方程组的解的定义，绝对值的意义是解决问题的关键．
15．已知关于，的方程组，其中是实数．
(1)若方程组的解也是方程的一个解，求的值；
(2)求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．
【答案】(1)a=3；
(2)当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25．
【分析】（1）把a看作已知数，利用加减消元法求出解，把方程组的解代入方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值；
（2）将代数式x2-kxy+9y2配方=（x-3y）2+6xy-kxy=25+（6-k）xy，即可求解．
【详解】（1）解：方程组，
①×3+②得：8x=24a-8，
解得：x=3a-1，
把x=3a-1代入①得：y=a-2，
则方程组的解为，
把代入方程x-5y=3得：3a-1-5a+10=3，
解得：a=3；
（2）x2-kxy+9y2
=（x-3y）2+6xy-kxy，
∵，
∴x-3y=3a-1-3（a-2）=5，
∴x2-kxy+9y2=（x-3y）2+6xy-kxy=25+（6-k）xy，
∵代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，
∴当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握二元一次方程组的概念；
2．掌握二元一次方程组的解；
的解
的解
0
1
…
1
5
…
6
4
2
…
3
2
0
…