第12讲 二元一次方程组的应用（1大知识点+14大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

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知识点、二元一次方程组的应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
考点一：根据实际问题列二元一次方程组
例1．有这样一个数学趣味故事：“老头提篮去赶集，一共花去七十七，满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼，买好未曾问单价，只因回家心发急，道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，有劳各位高材生，帮帮算算此难题．”若设每斤肉元，每斤鱼元，根据此故事可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据：“77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，”列方程组即可．
【详解】解：由题意，得
．
故选C．
1．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母．则下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据车间有26名工人，可得，根据1个螺钉需要配两个螺母，可得到，然后即可列出相应的方程组．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
2．某校在春节运动会比赛中，七年级一班和二班的实力相当，关于比赛结果，甲同学说：一班与二班的得分比为：，乙同学说：一班得分比二班得分的倍少 QUOTE 40 40分．若设一班得分，二班得分，则根据题意可列方程组 ．
【答案】
【分析】本题考查了列二元一次方程组；设一班得分，二班得分，根据题意列出方程组，即可求解．
【详解】解：设一班得分，二班得分，由题意得出：
．
故答案为：．
3．小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341．原来两个加数分别是多少？如果设一个加数为，另一个加数为，则根据题意所列的方程组为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找准等量关系是解题的关键．根据题意可得：第一个加数第二个加数，第一个加数第二个加数，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得：
，
故答案为：．
4．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．

【答案】，见解析
【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积；
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得
，变形得
解得
∴小长方形的面积为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键．
考点二：方案问题
例2.某中学决定组织部分班级去三清山开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
【答案】参加此次研学旅行活动的老师有16人，学生有284人
【分析】此题考查二元一次方程组的应用．设参加此次研学旅行活动的老师有x人，学生有y人，再根据“每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生”列出方程组即可解答．
【详解】解：设参加此次研学旅行活动的老师有x人，学生有y人，
根据题意，得，
解得．
故参加此次研学旅行活动的老师有16人，学生有284人．
1．为进一步美化校园，学校决定在校园内的空地处栽种部分桂花树和樱花树，通过与园林部门联系，每棵樱花树苗的价格比每棵桂花树苗的价格贵50元，购买2棵樱花树苗和2棵桂花树苗其需1000元，求樱花树苗和桂花树苗每棵分别为多少元？
【答案】每棵樱花树苗的价格为275元，每棵桂花树苗的价格为225元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每棵樱花树苗的价格为x元，每棵桂花树苗的价格为y元，根据“每棵樱花树苗的价格比每棵桂花树苗的价格贵50元，购买2棵樱花树苗和2棵桂花树苗其需1000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每棵樱花树苗的价格为x元，每棵桂花树苗的价格为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每棵樱花树苗的价格为275元，每棵桂花树苗的价格为225元．
2．列二元一次方程组解决实际问题：为拓展学生视野，某中学组织七年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
【答案】参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解题的关键．设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得，
解得，
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车．
3．有大小两种货车，2辆大货车与1辆小货车一次可以运货吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以运货9吨．求每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货多少吨？
【答案】每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货4吨，吨，
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货x吨，y吨，根据2辆大货车与1辆小货车一次可以运货吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以运货9吨列出方程组求解即可．
【详解】解：设每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货x吨，y吨，
由题意得：，
解得，
答：每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货4吨，吨．
4．某商家推出某种汽车模型，已知买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元，买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元，
(1)求A型汽车模型和B型汽车模型的单价．
(2)小明打算用120元（全用完）购买A、B两种汽车模型（A、B均购买），正好赶上商家对汽车模型价格进行调整，其中A型汽车模型上涨，B型汽车模型按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案？
【答案】(1)一个A型汽车模型为5元，一个B型汽车模型为20元
(2)小明有2种不同的购买方案
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设一个A型汽车模型为x元，一个B型汽车模型为y元，根据“3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元，买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设一个A型汽车模型为x元，一个B型汽车模型为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：一个A型汽车模型为5元，一个B型汽车模型为20元；
（2）解：设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型，
依题意，得：，
∴，
又∵，均为正整数，
∴或，
∴小明有2种不同的购买方案，方案1：购买5个A型汽车模型，4个B型汽车模型；方案2：购买10个A型汽车模型，2个B型汽车模型．
考点三：行程问题
例3.甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车 QUOTE 10 10小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问：
(1)两车的速度分别是多少？
(2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？
【答案】(1)快车、慢车的速度分别为
(2)1小时或者3小时
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用；
（1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解．
（2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得
解得
答：快车、慢车的速度分别为．
（2）设解：时间为小时，则由题意，得
或
解得或
答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距．
1．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，就会迟到；如果他以的速度行驶，则可提前到达乙地．求甲、乙两地之间的距离以及甲地到乙地的规定时间．
【答案】甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据路程速度时间列方程组是解题的关键．设甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为，再由路程速度时间列方程组求解即可．
【详解】设甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为，
由题意可得，
即，
整理得，
解得，
甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为．
2．已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？
【答案】船在静水中的速度及水流的速度分别为、
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，则顺水速度为，逆水速度为，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论．
【详解】解：设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，由题意可得：
，
解得：，
答：船在静水中的速度及水流的速度分别为、．
3．小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？
【答案】上坡用1分钟，下坡用9分钟
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟，根据小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟，
4.8千米/时米/分，12千米/时米/分，
由题意得，，
解得．
答：上坡用1分钟，下坡用9分钟．
4．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离．
【答案】甲、乙两地的距离为9千米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意，得，
解得：，
∴，
∴甲、乙两地的距离为9千米．
考点四：工程问题
例4.近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天．
【答案】甲工作了4天，乙工作了6天
【详解】解：设甲工作了x天，乙工作了y天，
由题意得：
解得
答：甲工作了4天，乙工作了6天．
1．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？
【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果．
【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，
乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，
根据题意，得
解得：
所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方．
2．为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？
【答案】甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米
【分析】根据题意设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米列方程解答即可．本题考查了二元一次方程组与实际问题，审清题意列出二元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米，根据题意得，
，
解得：，
答：甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．
3．某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？
【答案】型机器人每小时搬运 QUOTE 1000 1000千克，型机器人每小时搬运 QUOTE 750 750千克．
【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出二元一次方程组并求解．
设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克，根据题意列出二元一次方程组后求解即可．
【详解】解：设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克．
依题得，
解得．
答：型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克．
4．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？
【答案】4天；2天
【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组．
①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”．
根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可．
【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天
根据题意有解得
答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天．
考点五：数字问题
例5.有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18．
(1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示）
(2)根据题意，求原来的两位数．
【答案】(1)；
(2)35
【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用：
（1）一个两位数的值等于其十位数字乘以10再加上个位数字，据此求解即可；
（2）根据原来两位数得到十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，原来的两位数为，新的两位数为，
故答案为：；；
（2）由题意得，，
解得，
∴原来的两位数为35．
1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？
【答案】72
【分析】设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则根据“得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9”列出方程组，通过解方程组来求原来的两位数．本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
【详解】解：设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则
，
解得，，
∴原来的两位数是72．
2．一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数．
【答案】这个三位数为243
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，再行进计算即可得出结果．
【详解】解：设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为，
依题意，得：,
解得,
所以．
答：这个三位数为243．
3．将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求：
①内、外两个圆周上的四个数之和相等；
②外圆两直径上的四个数之和相等．
求图中两空白圆圈内的数字．

【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等，
①，
内外两个圆周上的四个数之和相等，
②，
整理得：，
解得：，
外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9．
4．算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．
小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数．
【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键．
【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6，
设个位数字是，十位数字是，
由题意得：，
解这个方程组，得：，
答：这个三位数是615，
小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠．
考点六：年龄问题
例6.根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【答案】大头儿子现在的年龄为10岁
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．
【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
1．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）（年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
2．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
【答案】5岁．
【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得：
即由此可得：，
∴，即甲比乙大5岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键．
3．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得
解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
4．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.
【答案】聪聪现在的年龄为14岁，妈妈现在的年龄为41岁.
【分析】设聪聪的年龄为(10x+y)岁，妈妈的年龄为(10y+x)岁，根据“过10年，妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)设聪聪的年龄为(10x+y)岁，则妈妈的年龄为(10y+x)岁，
根据题意得： ，
解得： ．
答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于设聪聪的年龄为(10x+y)岁.
考点七：分配方案问题
例7.1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？
【答案】应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好能配成方桌，由题意：已知木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有的木料，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成张方桌，
由题意得，
解得，
．
答：应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌．
1．七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？
【答案】有 144 名住宿新生，19 间宿舍
【分析】本题主要考查了一元一次方程应用．熟练掌握总人数与每个房间人数和房间数的关系，列方程，是解题的关键．
设有 x 间宿舍，根据每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，列方程解答．
【详解】解：设有 x 间宿舍，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：有 144 名住宿新生，19 间宿舍．
2．某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？
【答案】需甲种钢板10块，乙种钢板8块．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设需甲种钢板x块，乙种钢板y块，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，根据要生产46件产品，26件产品，据此列出二元一次方程组，解出甲、乙两种钢板的数量即可．
【详解】解：设需甲种钢板x块，乙种钢板y块，
根据题意得
解得，
∴需甲种钢板10块，乙种钢板8块．
3．端午节是中国四大传统节日之一，粽子是端午节期间不可缺少的美食．小超妈妈了解到包3个蜜枣粽子和4个鲜肉粽子，需要糯米390克：包2个蜜枣粽子和5个鲜肉粽子，需要糯米400克．
(1)求包1个蜜枣粽子和1个鲜肉粽子各需要糯米多少克？
(2)家中现有2.1千克糯米，以及足量的蜜枣和鲜肉，小超妈妈计划包蜜枣粽子和鲜肉粽子共40个，她最多能包多少个鲜肉粽子？
【答案】(1)包1个蜜枣粽子需要50克糯米，包1个鲜肉粽子需要60克糯米
(2)小超妈妈最多能包10个鲜肉粽子
【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出方程组或不等式是解题的关键．
（1）根据两种不同的包法共需的总糯米克数列出方程组即可．
（2）设小超妈妈包个鲜肉粽子，依据题意列出不等式，求得最大的整数解即可．
【详解】（1）解：设包1个蜜枣粽子需要克糯米，包1个鲜肉粽子需要克糯米．
根据题意得
解得
答：包1个蜜枣粽子需要50克糯米，包1个鲜肉粽子需要60克糯米
（2）设小超妈妈包个鲜肉粽子，则包个蜜枣粽子．根据题意得：
，
解得，
故取a的最大整数解10．
答：小超妈妈最多能包10个鲜肉粽子．
4．列方程组解应用题
(1)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
(2)A 地至 B地的航线长，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需，它逆风飞行同样的航线需、求飞机无风时的平均速度与风速．
【答案】(1)这些消毒液应该分装大瓶装瓶， 小瓶装瓶
(2)飞机无风时的平均速度为，风速为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；
（1）设这些消毒液应该分装大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，根据“大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液”可得关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设飞机无风时的平均速度为，风速为，根据“顺风和逆风航行的距离相等的数量关系建立方程组”即可求出答案．
【详解】（1）解：设这些消毒液应该分装大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，根据题意得：
解得：
答： 这些消毒液应该分装大瓶装30000瓶， 小瓶装50000瓶．
（2）解：设飞机无风时的平均速度为，风速为，由题意，得

解得
答：飞机无风时的平均速度为，风速为．
考点八：销售利润问题
例8.为了喜迎新春，某水果店用4000元购进水果礼盒和坚果礼盒共90盒，这两种礼盒的进价、标价如下表所示．
(1)水果礼盒和坚果礼盒各购进多少盒？
(2)为回馈客户，该水果店计划将每个水果礼盒和坚果礼盒都打八折出售，求售完这批水果礼盒和坚果礼盒水果店共盈利多少元？
【答案】(1)水果礼盒和坚果礼盒各购进70，20盒
(2)800元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答．
（1）有两个等量关系：水果礼盒数+坚果礼盒数，购买水果礼盒钱数购买坚果礼盒钱数．
（2）根据利润售价进价，知水果店共获利水果礼盒利润坚果礼盒利润．
【详解】（1）解：设水果礼盒和坚果礼盒各购进盒，
则由题意得：，
解得：，
答：水果礼盒和坚果礼盒各购进盒；
（2）解：（元）
答：共盈利800元．
1．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，2辆型汽车．3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
(1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？
【答案】(1)型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元
(2)3种；方案见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）．
（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解；
（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为180万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案．
【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得，
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
，
，均为正整数，
或或，
共3种购买方案，
方案一：购进型车2辆，型车13辆；
方案二：购进型车4辆，型车8辆；
方案三：购进型车6辆，型车3辆．
2．2024年家电“以旧换新”促消费活动正火热进行中，凡购买一级能效家电可获得的财政补贴，小张购买了一台甲品牌的一级能效家电，小刘购买了一台乙品牌的一级能效家电，两人一共得到财政补贴1120元，且乙品牌比甲品牌售价多400元．
(1)购买的甲、乙品牌的一级能效家电售价各是多少元？
(2)小张和小刘除财政补贴外实际各需付款多少元？
【答案】(1)甲，乙品牌一级能效家电的售价分别为2600元和3000元
(2)小张实际付款2080元，小刘实际付款2400元．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（1）设甲品牌的一级能效家电售价为元，乙品牌的一级能效家电的售价为元，根据购买了一台乙品牌的一级能效家电，两人一共得到财政补贴1120元，且乙品牌比甲品牌售价多400元列二元一次方程组求解即可；
（2）用售价减补贴即可得解．
【详解】（1）解：设甲品牌的一级能效家电售价为元，乙品牌的一级能效家电的售价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲，乙品牌一级能效家电的售价分别为2600元和3000元；
（2）解：（元），
（元）；
答：小张实际付款2080元，小刘实际付款2400元．
3．一商店在某一时间将甲、乙两种商品分别打6折和7.5折销售，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为180元，打完折后两种商品售价相同．
(1)甲商品原销售单价为__________元，乙商品原销售单价为__________元，甲、乙两种商品打完折后售价为__________元；
(2)若本次活动中售出甲、乙两种商品共20件，比按原价销售少560元，则甲、乙两种商品各销售多少件？
(3)若本次活动中售出甲、乙两种商品各一件，其中甲商品亏损25%，乙商品盈利25%，则商店卖出这两件商品总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
【答案】(1)，，
(2)甲种商品8件，乙种商品12件
(3)亏损8元
【分析】本题考查一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，正负数的应用，理解题意，正确列出算式或等式是解题关键．
（1）设甲商品原销售单价为x元，则乙商品原销售单价为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，求解即可；
（2）设本次活动中售出甲种商品件，乙种商品件，根据题意可列出关于和的二元一次方程组，求解即可；
（3）先计算出甲、乙两种商品的成本，再计算总利润即可．
【详解】（1）解：设甲商品原销售单价为x元，则乙商品原销售单价为元，
根据题意有：，
解得：，
则乙商品原销售单价为：（元），
打折之后，两种商品的价格为：（元），
故答案为：，，；
（2）解：设本次活动中售出甲种商品件，乙种商品件，
根据题意有：，
解得：，
答：本次活动中售出甲种商品8件，乙种商品12件；
（3）解：两种商品售价均为元，
则甲商品的成本价为：（元），
乙商品的成本价为：（元），
则总利润为：（元），
答：商家总的是亏损，亏损8元．
4．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元．
(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案．
(3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元
(2)共有两种购买方案：
方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车；
方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车
(3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润．
（1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据“购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为，解得，
所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元．
（2）解：设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，
根据题意得：，且均为正整数，
或
共有两种购买方案：
方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车；
方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车．
（3）解：方案一：获得的利润为：（万元），
方案二：获得的利润为：（万元）
第二种方案获得的利润最大，为15.6万元
考点九：和差倍分问题
例9.在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题：
(1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？
(2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？
【答案】(1)装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车；
(2)无人车的装运方案共有3种，
方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒；
方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒；
方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
（1）设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据“葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送，，三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据租用的40辆无人车恰好可以运送，，三种葡萄酒共310箱，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为不小于11的正整数，即可找出各装运方案．
【详解】（1）解：设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，
根据题意得：，
解得：．
答：装运种葡萄酒需13辆无人车，装运种葡萄酒需11辆无人车；
（2）解：设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，
根据题意得：，
，
又，，均为不小于11的正整数，
或或，
无人车的装运方案共有3种，
方案1：用11辆无人车装运种葡萄酒，17辆无人车装运种葡萄酒，12辆无人车装运种葡萄酒；
方案2：用12辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒；
方案3：用13辆无人车装运种葡萄酒，11辆无人车装运种葡萄酒，16辆无人车装运种葡萄酒．
1．为了增强学生体质，九年一班决定购进两种体育器材：跳绳和毽子，如果购进3根跳绳和2个毽子共需63元，购进2根跳绳和5个毽子共需75元，求一根跳绳和一个毽子的售价分别是多少元．
【答案】一根跳绳售价为15元，一个毽子售价为9元
【分析】设一根跳绳售价为x元，一个毽子售价为y元．根据购进3根跳绳和2个毽子共需63元，购进2根跳绳和5个毽子共需75元得：，即可解得答案，
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组．
【详解】解：设一根跳绳售价为x元，一个毽子售价为y元．
根据题意得：，解得：，
答：一根跳绳售价为15元，一个毽子售价为9元．
2．甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？
【答案】甲原来有40本书，乙原来有20本书
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲原来有x本书，乙原来有y本书，根据如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲原来有x本书，乙原来有y本书，
由题意得，，
解得，
答：甲原来有40本书，乙原来有20本书．
3．某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元．
(1)求购进两种品牌篮球各多少个？
(2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值．
【答案】(1)购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个
(2)7折
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握题意，找出题目中的等量关系，列出方程并解答是关键．
（1）设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，根据两种品牌篮球共80个和购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元可列出方程组求解即可；
（2）根据两种品牌篮球全部售出后共获利2080元列出方程解决问题．
【详解】（1）解：设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，
，
解得，
故购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个；
（2）解：依题意有：
，
解得：，
故品牌篮球打7折出售．
4．为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．
(1)求A，B两种车型各有多少个座位．
(2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
【答案】(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位
(2)需租用A型车4辆，B型车2辆
【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．
（1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解；
（2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案．
【详解】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位，
依题意，得：，
解得：．
答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位．
（2）解：设需租A型车m辆，B型车n辆，
依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴．
答：需租用A型车4辆，B型车2辆．
考点十：几何问题
例10.如图，大长方形是由8个一样的小长方形拼成的，已知大长方形的周长是，求大长方形的长和宽．
【答案】大长方形的长为，宽为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设小长方形的长为，宽为，利用长方形的周长计算公式及对边相等，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入，中即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
，．
答：大长方形的长为，宽为．
1．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．
(1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张．
(2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？
【答案】(1)7；3
(2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论；
（2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】（1）（张，（张．
故答案为：7；3．
（2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，
依题意，得：，
解得：．
答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个．
2．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米．
(1)求小长方形的长和宽；
(2)求该实践基地的面积．
【答案】(1)小长方形的长和宽分别为45米，15米
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、长方形的面积等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键．
（1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值即可；
（2）先求出大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米，
由题意得：，
解得．
答：小长方形的长和宽分别为45米，15米．
（2）解：大长方形的长为米，宽为60米，
所以大长方形的面积．
答：该实践基地的面积为．
3．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？
【答案】(1)
(2)①；；②24，27，30
【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
（1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
答：图甲中与的值分别为：、；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：，
所以两种裁法共产生A型板材为（张），
由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，，
所以两种裁法共产生B型板材为张；
故答案为：；．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，化简得．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
4．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm；
(3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积．
【答案】(1)60
(2)20
(3)63
【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找到合适的等量关系列出方程组和方程是解题的关键．
（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可；
（3）设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进而求得长方形的长和宽，最后求面积即可．
【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，解得：，
∴．
∴每个小长方形的面积为60．
（2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
则，解得，
∴．
∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是．
故答案为：20．
（3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为，
∴该长方形的长为或，宽为
∴，解得：，
∴该长方形的长为9，宽为7，
∴这个长方形的面积为．
考点十一：图表信息题
例11.某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
(1)求a，b的值；
(2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案．
【答案】(1)a，b的值分别为800，600
(2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可．
（2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数．
【详解】（1）解：由题意得
解得：
∴a，b的值分别为800，600；
（2）由题意得捐款总额为：（元）
设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y；
可得：；整理得：，
即；
又∵x、y均为正整数 ，
∴ ；
即方案一：中学生7人，小学生4人；
方案二：中学生4人，小学生8人；
方案三：中学生1人，小学生12人；
1．某果农现有一批水蜜桃要运往水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表：
(1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？
(2)若果农需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车，刚好一次运完水蜜桃，如果每吨付60元运费，求果农应付运费总共多少元？
【答案】(1)甲种货车每辆可装3吨水蜜桃，乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃
(2)果农应付总运费1200元
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设甲种货车每辆可装吨水蜜桃，乙种货车每辆可装吨水蜜桃，再根据表格信息建立方程组求解即可；
（2）根据货车的数量列式计算即可.
【详解】（1）解：设甲种货车每辆可装吨水蜜桃，乙种货车每辆可装吨水蜜桃．
，解得：
答：甲种货车每辆可装3吨水蜜桃，乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃．
（2）（元）
答：果农应付总运费1200元；
2．某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表：
(1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？
(2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？
【答案】(1)制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件
(2)306元，264元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，另外还涉及有理数混合运算的应用；
（1）设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，根据等量关系：两种工艺品所需甲种材料为，两种工艺品所需乙种材料为，列出二元一次方程组，并求解即可；
（2）分别计算出制作1件两种型号的工艺品需要的费用，则可计算出制作A，B两种型号的工艺品各需材料费．
【详解】（1）解：设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，
由题意，得，解得；
答：利用这些材料能制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件．
（2）解：制作1件A种型号的工艺品需要（元），
则制作A种型号的工艺品需材料费（元）；
制作1件B种型号的工艺品需要（元），
则制作B种型号的工艺品需材料费（元）．
答：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费306元，264元．
3．某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与零售价格如下表：若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元．
(1)求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台？
(2)迎“国庆”商场决定进行优惠促销：以零售价的七五折销售乙种型号电视机，两种电视机销售完毕，商场共获利，求甲种型号电视机打几折销售？
【答案】(1)购进甲型号电视机35台，乙型号电视机15台
(2)8折
【分析】（1）设商场购进甲型号电视机台，乙型号电视机台，根据“商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设甲种型号电视机打折销售，根据“两种电视机销售完毕，商场共获利”列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设商场购进甲型号电视机台，乙型号电视机台，
由题意得：，
解得：，
答：商场购进甲型号电视机35台，乙型号电视机15台；
（2）设甲种型号电视机打折销售，
由题意得：，
解得：，
答：甲种型号电视机打8折销售．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
4．随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时贵按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：
(1)求x，y的值；
(2)如果小华也用该打车方式，打车行驶了12公里，用了16分钟，那么小华的打车总费用为多少？
【答案】(1)
(2)小华的打车总费用是20元
【分析】（1）根据表格中的数据，列出方程组进行求解即可；
（2）根据收费标准，列出算式进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：
（2）（元）；
答：小华的打车总费用是20元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．读懂表格，正确的列出方程组，是解题的关键．
考点十二：古代问题
例12.《九章算术》中记载“今有牛五、羊二，置金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问：牛、羊每头各值金多少两．
【答案】牛、羊每头各值金两，两
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设牛、羊每头各值金两，两，根据牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两；列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设牛、羊每头各值金两，两，由题意，得：
，解得：，
答：牛、羊每头各值金两，两．
1．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可．
【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
2．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语）
【答案】有个人，两银子
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．设有个人，两银子，根据每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设有个人，两银子，
根据题意，得，
解得：，
答：有个人，两银子．
3．中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
【答案】大和尚人，小和尚人．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题关键．设大和尚人，小和尚人，根据“有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完”列方程组求解即可．
【详解】解：设大和尚人，小和尚人，
由题意得：，解得：，
答：大和尚人，小和尚人．
4．《九章算术》是我国古代数学经典著作，书中记载着这个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？大意是甲袋中装有9枚质量相等的黄金，乙袋中装有11枚质量相等的白银，两袋质量相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？
【答案】黄金每枚重两，白银每枚重两
【详解】解：设黄金每枚重a两，白银每枚重b两．
根据题意列方程组为
解得
故黄金每枚重两，白银每枚重两．
考点十三：开放型问题
例13.小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.

(1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ；
(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?
(3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值.
【答案】（1）；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3），，或
【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；
(2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；
(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.
【详解】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，
摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，
摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)，
……，
摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，
故答案为；
(2)设六边形有个，正方形有y个，
则，
解得，
所以正方形有16个，六边形有12个；
(3)据题意，，
据题意，，且均为整数，
因此可能的取值为：
，，或.
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键．
1．现有大、小两种货车，已知3辆大车与4辆小车一次可以运货22t；2辆大车与6辆小车一次可以运货23t．请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
【答案】6.5t
【详解】解：问题：1辆大车与1辆小车一次一共可以运货多少吨？
解：设1辆大车一次运货，1辆小车一次运货．根据题意，得解得所以．
答：1辆大车与1辆小车一次一共可以运货6.5t．（答案不唯一）
2．由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨.
【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．
【详解】解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)
设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．
根据题意,得，
解得.
则x+y=4+2.5=6.5(吨).
答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．
3．今年春季某县大旱，导致大量农田减产．下图是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克．
【答案】该农户今年第一块农田的花生产量是，第二块农田的花生产量是
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是找到两个等量关系．
设去年第一块田的花生产量为x千克，第二块田的花生产量为y千克，由“去年两块田总产量是470千克”“今年减产后是57千克”列方程，解方程组即可得到去年两块农田花生的产量，再结合“第一块田的产量比去年减产，第二块田的产量比去年减产”即可得到答案．
【详解】解：设去年第一块农田的花生产量为，第二块农田的花生产量为．
根据题意，得，
解得，
所以．
故该农户今年第一块农田的花生产量是，第二块农田的花生产量是．
4．为了进一步提升学生体质健康水平，某校计划用640元购买12个体育用品，备选体育用品及单价如表所示．
(1)若640元全部用来购买足球和排球，求足球和排球各买多少个？
(2)若学校先用一部分资金购买了个排球，再用剩下的资金购买了足球和篮球（足球和篮球的购买个数相同），此时正好剩余40元，求的值．
【答案】(1)购买足球4个，购买排球8个
(2)的值为8
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程或方程组是解答关键．
（1）设购买足球个，排球个，根据题意列出方程组求解；
（2）购买了个排球，则购买足球和排球的数量均为个，根据题意列出方程求解．
【详解】（1）解：设购买足球个，排球个，
根据题意得：，
解得：．
答：购买足球4个，购买排球8个．
（2）解：依题意得：购买了个排球，则购买足球和排球的数量均为个，
所以有：，
解得：．
答：的值为8．
考点十四：其他问题
例14.为促进学生健康成长和全面发展，某校体育组持续推进校园足球普及和提高．下表所示为两次购买足球的品牌、数量和费用：
求甲品牌足球、乙品牌足球销售单价分别是多少元？
【答案】甲品牌足球的销售单价是120元，乙品牌足球的销售单价是150元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设甲品牌足球的销售价为x元，乙品牌足球的销售价为y元，根据题意列方程组求解即可．
【详解】解：设甲品牌足球的销售单价是x元，乙品牌足球的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲品牌足球的销售单价是120元，乙品牌足球的销售单价是150元．
1．李乐购买了两次笔记本和中性笔，购买情况及费用如图．
(1)请你根据图中所给的该款笔记本和中性笔的价格信息，求出该款笔记本和中性笔的单价分别是多少元．
(2)李乐第三次以相同的价格购买笔记本和中性笔，已知购买笔记本的数量是购买中性笔数量的2倍，共计165元，则李乐第三次购买笔记本和中性笔的数量各是多少？
【答案】(1)笔记本单价为元，中性笔单价为元
(2)笔记本本，中性笔支
【分析】（1）设笔记本单价为元，中性笔单价为元，则根据题意可得，解方程组即可求出答案；
（2）设中性笔买了支，则笔记本买了本，根据题意可得，解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：设笔记本单价为元，中性笔单价为元，
根据题意可得：
，
解得：，
该款笔记本单价是元，中性笔单价是元；
（2）解：设中性笔买了支，则笔记本买了本，
根据题意可得：
，
解得：，
，
答：李乐第三次购买笔记本本，中性笔支．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用（其他问题），解二元一次方程组，一元一次方程的应用（其他问题），解一元一次方程，代数式求值等知识点，弄清题意，根据题中的数量关系正确列出方程（组）是解题的关键．
2．甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5600元．
(1)甲、乙两个乐团各有多少人？
(2)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责6位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
【答案】(1)甲乐团有40人，乙乐团有35人
(2)共有两种方案：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调1人，从乙乐团抽调10人
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，读懂题意，根据题意列出方程组是解本题的关键．
（1）设甲乐团有人，乙乐团有人，然后根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意可得，然后求得正整数解即可．
【详解】（1）解：设甲乐团有人，乙乐团有人，
根据题意，得，
解得，
答：甲乐团有40人，乙乐团有35人；
（2）由题意，得，
变形得，
因为，，且，均为整数，
所以或，
所以共有两种方案：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调1人，从乙乐团抽调10人．
3．“立冬时节寒风起，万木凋零百草枯，某家电力公司为了提高电力输送效率，在十月份对输电线路A和B进行了两次升级，来应对冬天的用电高峰．公司记录了两次升级工程的公里数和费用，如下表所示：（注：十月两次升级中每条线路每公里升级费用均不变）
(1)十月份，线路A和线路B每公里的升级费用各是多少万元？
(2)电力公司计划在十一月对这两条线路进行第三次升级．由于采用了新的材料，预计线路A每公里的升级费用比之前减少，线路B每公里的升级费用不变．线路A升级的公里数与第二次升级的公里数相同，线路B升级的公里数比第二次升级的公里数长公里，若第三次升级总费用比第二次升级总费用多48万元，求a的值．
【答案】(1)线路A每公里的升级费用是6万元，线路B每公里的升级费用是4万元
(2)10
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）设线路A每公里的升级费用是x万元，线路B每公里的升级费用是y万元，根据“第一次升级总费用为380万元，第二次升级总费用为520万元”，列方程组求解即可；
（2）根据“第三次升级总费用比第二次升级总费用多48万元”列方程求解即可．
【详解】（1）解：设线路A每公里的升级费用是x万元，线路B每公里的升级费用是y万元，
根据题意，得，
解得，
答：线路A每公里的升级费用是6万元，线路B每公里的升级费用是4万元；
（2）解：根据题意，得，
解得．
4．哈69中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛共进行10场）如下表：
(1)胜一场积______分，负一场积______分；
(2)求无限队的胜场数和负场数；
(3)已知小组赛的前两名追光队与冲锋队进入冠亚军总决赛，两队共比赛5场，且小组赛积分累计计入总决赛，那么冲锋队要在总决赛赢下几场，才能和追光队的积分持平？
【答案】(1)，；
(2)无限队的胜场数为场，负场数为场；
(3)冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．
（1）设胜一场积分，负一场积分，根据勇士队和超越队的积分列二元一次方程组求解即可；
（2）设无限队的胜场数为场，则负场数为场，根据无限队积分为22分列一元一次方程求解即可；
（3）设冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平，根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分，
由题意得：，解得：，
即胜一场积分，负一场积分，
故答案为：，；
（2）解：设无限队的胜场数为场，则负场数为场，
由题意得：，
解得：，
，
答：无限队的胜场数为场，负场数为场；
（3）解：设冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平，
由题意得：，
解得：，
答：冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平．
【点睛】，
1．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案，解题的关键是读懂题意，列出方程组．
【详解】解：由题意得：
，
故选：A．
2．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（ ）
A．3，4B．4，3C．2，5D．5，2
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，然后列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设蜻蜓是x只，蝉是y只，
由题意得：
，解得：．
所以蜻蜓和蝉的只数分别是3，4．
故选：A．
3．已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，小明外出时想用不超过15元来购买这两种食品，且至少购买一根火腿肠和一盒方便面，那么他可以采用的不同的购买方案有（ ）
A．12种B．13种C．14种D．15种
【答案】C
【分析】本题主要考考查了二元一次方程组和不等式组的应用，能根据题意列出不等式组是解此题的关键．
根据题意列出不等式组，求出不等式组的整数解即可．
【详解】设买x根火腿肠,y盒方便面,
由题意可得：,解得：，,
∵为整数，
∴买1 根火腿肠有4 种购买方案；买2根火腿肠有3 种购买方案；买3 根火腿肠有3种购买方案；买4根火腿肠有2种购买方案；买5 根火腿肠有1种购买方案；买6 根火腿肠有1种购买方案.
共有4+3+3+2+1+1=14(种).
故选 C.
4．幻方是一种中国传统数学游戏，将9个数填在（三行三列）的方格中，每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，这个相等的和就叫作幻和．如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，请你推算出的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的应用和幻方，幻方是数学中的趣味性问题，关键是求出每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和．
根据幻方的性质，找到每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
．
故选：A．
5．北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理清题意正确列出方程是解题的关键．设公鸡只，母鸡只，则小鸡只，由题意可得，整理后求出方程的正整数解即可．
【详解】解：设公鸡只，母鸡只，则小鸡只
由题意得，
即
由于，，均为正整数
所以方程的正整数解只有或或
故选：D．
6．方程组的解与的和是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法求出方程组的解，再根据与的和是列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：，
得，，
∴，
把代入①得，，
解得，
∵与的和是，
∴，
解得，
故答案为：．
7．自行车轮胎安装在后轮上只能行驶就要报废，安转在前轮上，则可以行驶才报废．为使一对轮胎能够行驶尽可能多的路程后报废，在自行车行驶一段路程后，将前后轮胎进行调换，这样安转在自行车上的一对轮胎最多可以行驶多少 千米．
【答案】
【分析】本题考查了应用类问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为，
又设一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
，
两式相加，得，
则，
∴安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶千米．
故答案为：．
8．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据方程组的解求参数，先求出方程组的解，根据方程组的解为整数，为整数可得或或或或或，进而求出的值即可得到满足条件的所有整数，据此即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键．
【详解】解：解方程得，，
∵方程组的解为整数，为整数，
∴或 QUOTE -2 -2，，，，，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
∴或，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
9．关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键．根据题意可得关于、的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论．
【详解】解：关于x、y的二元一次方程组的解为，
关于、的二元一次方程组的解是，
解得，
关于m，n的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
10．学校举办新年趣味联欢活动，学生要从贴鼻子、打地鼠、套圈、猜谜语、跳房子这个项目中，依照个人兴趣，选择个项目参加活动（每人都只选择个项目），已知某小组名学生选择上述项目的统计结果如下表：
在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中，如果三个项目都选的有人，只选择贴鼻子、打地鼠的有人，只选择打地鼠、套圈的有人，只选择贴鼻子、套圈的有人，那么的最小值为 ．
【答案】2
【分析】该题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意；
根据6名学生每人都只选择3个项目，得出6名学生共参加个项目，再根据题意得出，，为正整数，且，解答即可．
【详解】解：根据题意6名学生每人都只选择3个项目可得，6名学生共参加个项目，
根据题意可得，，即，
在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中，如果三个项目都选的有1人，只选择贴鼻子、打地鼠的有1人，只选择打地鼠、套圈的有1人，只选择贴鼻子、套圈的有1人，
已有一人选择了贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目，故选择猜谜语的人数，
，为正整数，且，
故当 时，，此时最小，
故答案为：2．
11．已知关于、的二元一次方程组 的解为
(1)求，的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，求一个数的立方根，解题的关键是掌握相关知识．
（1）先把代入，建立关于，的方程组，再运用加减消元法，即可作答．
（2）根据，，求出，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
，；
（2），，
，
的立方根为．
12．当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解．
【答案】有公共解，
【分析】本题主要考查二元一次方程的性质和求解方法，解题关键在于理解方程结构，采用合理的方法寻找公共解，并进行验证；
选取两个特定的值得到两个方程组成方程组求解，然后将解代入原方程进行验证，并且通过验证确保得到的解是所有方程的公共解．
【详解】解：设当，时，有，这两个方程的公共解，
解得：，
把代入等式，得
左边，
∴无论m取何值恒为0，
∴是原方程的解，
∴这 10 个方程有公共解，公共解为．
13．南开学子组织秋游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满．
(1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题）
(2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人，每辆大巴车的租金为30元一次．若每种车型必须都租用，请你通过计算说明有哪些租车方案，并计算最低租金．
【答案】(1)租用两座车共辆，租用五座车共 QUOTE 10 10辆
(2)租车方案有3种： 方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆； 方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆； 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租； 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为元
【分析】①②
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．
（1）设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据共100名学生参与了活动，一共花去车费1300元，列出方程组求解即可；
（2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆，根据共100名学生参与了活动，列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据题意；
，
得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
则（辆），（辆），
答：租用两座车共辆，租用五座车共 QUOTE 10 10辆；
（2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆，根据题意：
，即，
x，y为非负整数，且，
或或，
则大巴车租用的数量依次为：，
则租车方案有3种：
方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆，租金为（元）；
方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆，租金为（元）；
方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金为（元）；
，
方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为元．
14．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？
(2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．
【答案】(1)一个水瓶 QUOTE 40 40元，一个水杯元；
(2)在乙商场购买更合算．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．
首先设一个水瓶元，一个水杯元，根据图片中两次购买水瓶和水杯的数量与所花费用列二元一次方程组，解方程组求出一个水瓶和一个水杯的单价；
分别计算出在两家商场买个水瓶和个水杯所需费用，通过比较确定哪家商场更合算．
【详解】（1）解：设一个水瓶元，一个水杯元，
根据题意可得：，
得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
方程组的解为，
答：一个水瓶 QUOTE 40 40元，一个水杯元；
（2）在乙商场购买更合算，
理由如下：
解：甲商场：(元)，
乙商场：(元)，
，
在乙商场购买更合算．
15．“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨?
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送
(2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆
(3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．
（1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可；
（3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得：
解得：，
答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送；
（2）解：依题意得：，
∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴一共有3种租车方案：
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；
方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆．
（3）解：方案一所需租金为：（元）；
方案二所需租金为：（元）；
方案三所需租金为： （元）；
∵，
∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握二元一次方程组的各类应用；
2．学会根据数量关系列出二元一次方程组；
类型/价格
水果礼盒
坚果礼盒
进价（元/盒）
40
60
标价（元/盒）
60
90
葡萄酒种类
A
B
C
每辆无人车装载量（箱）
6
8
9
捐款数额/元
资助贫困中学生人数/名
资助贫困小学生人数/名
七年级
4000
2
4
八年级
4200
3
3
九年级
4000
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第1次
3
2
14
第2次
4
5
需甲种材料
需乙种材料
1件A型工艺品
1件B型工艺品
电视机型号
甲
乙
批发价（元/台）
1500
2500
零售价批发价（元/台）
2025
3640
时间（分钟）
里程数（公里）
车费（元）
小明
8
8
12
小刚
12
10
16
咱家两块农田去年花生产量一共是，可老天不作美，四处大旱，今年两块农田只产花生．
今年，第一块田的产量比去年减产，第二块田的产量比去年减产．
备选体育用品
足球
篮球
排球
单价（元/个）
80
60
40
甲品牌足球的数量/个
乙品牌足球的数量/个
购买总费用/元
第一次
2
5
990
第二次
3
4
960
升级情况
线路A（公里）
线路B（公里）
总费用（万元）
第一次升级
50
20
380
第二次升级
60
40
520
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
追光队
10
8
2
26
冲锋队
10
7
3
24
无限队
10
22
勇士队
10
5
5
20
飞虎队
10
4
6
18
超越队
10
0
10
10
项目
贴鼻子
打地鼠
套圈
猜谜语
跳房子
选择人数