第13讲 三元一次方程组及其解法（2大知识点+4大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

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知识点1：三元一次方程（组）的概念
三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。
一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。
知识点2：三元一次方程组的解法：
（1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。
（2）三元一次方程组解题的基本步骤：
①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；
③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。
考点一：三元一次方程组的定义
例1．下列方程中，三元一次方程共有( )
(1)x + y + z = 3； (2) x · y · z = 3；(3) ；(4) ．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用三元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：（1）x + y + z = 3，是三元一次方程；
（2）x · y · z = 3，含有未知数的乘积项，是三元三次方程；
（3），是三元一次方程；
（4）分母含有未知数，是分式方程；
则三元一次方程有2个，
故选：B
【点睛】本题考查三元一次方程的知识，熟练掌握三元一次方程的定义是解题的关键．
1．下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意；
C、是三元一次方程，符合题意；
D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
故选C．
2．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．
【详解】解：依题意得：且，
解得：，
故答案为：．
3．若是一个三元一次方程，那么 ， ．
【答案】 -1 0
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：-1，0．
【点睛】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．
4．已知：x+2y﹣z＝9，2x﹣y+8z＝18，求x+y+z的值．
【答案】9
【分析】将方程①乘以3，然后与方程②相加，可得x+y+z的整数倍的值，从而求得x+y+z的值.
【详解】x+2y﹣z＝9①，2x﹣y+8z＝18②，
①×3，得3x+6y﹣3z＝27③，
③+②得5x+5y+5z＝45，
两边同时除以5，得x+y+z＝9，
∴x+y+z的值为9.
故答案为9.
【点睛】本题考查解三元一次方程组.
考点二：三元一次方程组的解
例2.方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查解三元一次方程组，根据方程组特点，将三个方程相加得到，进而求解代值即可．
【详解】解：
得：，即，
将①代入④，得，
将②代入④，得，
将③代入④，得，
∴方程组的解为，
故选：B
1．已知是方程组的解，则的值是（ ）
A．3B．2C．1D．无法确定
【答案】A
【分析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求不要求出，及的值，而是整体求出．由题意，可将，及的值代入方程组得到关于，，的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出的值．
【详解】解：由题意将代入方程组得：
，
得：，
即，
∴．
故选：．
3．方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解决问题的关键．由得，然后把分别代入①和③即可求解．
【详解】
得
解得
把代入①得
解得
把代入③
解得
∴
故答案为：
4．已知 ，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解．
【详解】解：
得
∴
故答案为：．
5．解方程组：．
【答案】
【分析】①②得出④，①③得出⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再求出即可．
【详解】解：，
①②，得④，
①③，得⑤，
由④和⑤组成一个二元一次方程组：
，解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
考点三：构造三元一次方程组
例3.实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查解三元一次方程组，通过加减消元法即可求解．
【详解】解：，
得，．
故选A．
1．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（ ）

A．B．C．1D．任意实数
【答案】C
【分析】根据新定义可得，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
整理得：
②③得：，
将①代入上式得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键．
2．若，则_________；
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质可得，解方程组求出的值即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
3．实数满足．则 ．
【答案】
【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
∴，
由得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键．
4．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长．
【答案】8，9，13
【分析】本题考查三元一次方程组，根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，然后利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，
∴，
∴，
①②得：④，
把③代入④得：⑤，
①②得：⑥，
⑥3得：⑦，
⑤⑦得：，
把代入③得：，
把，代入①得：，
∴方程组的解为：，
∴三角形的三边长分别为8，9，13．
考点四：三元一次方程组的应用
例4.童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（ ）元
A．31B．32C．34D．36
【答案】C
【分析】此题主要考查了方程组的应用．首先假设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元．根据题意列出方程组，解方程组求出的值，即为所求结果．
【详解】解：设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元．
则由题意得：，
由②①得④
由②①得⑤
由⑤④③得
故选：C．
1．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案．
【详解】解：根据题意得：，
，
；
故选：D．
2．买3本练习本，2支笔，7块橡皮共用了27元，买同样的练习本5本，同样的笔4支，同样的橡皮9块共用了43元，如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块，总共需要 元．
【答案】40
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设练习本一本元，笔一支元，橡皮一块元，先根据题意列出三元一次方程组，利用等式的性质得的值，最后求出的值即可得到答案．
【详解】解：设练习本一本元，笔一支元，橡皮一块元，
由题意，得，
②①，得．
．
（元．
故答案为：40．
3．有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购买甲、乙、丙各件，共需要 元．
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，整式的加减运算等知识点，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题的关键．
设购甲、乙、丙三种货物各件，分别需要元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，再利用整式的加减运算求出的值即可．
【详解】解：设购甲、乙、丙三种货物各件，分别需要元，元，元，
根据题意，得，
，得：
，
整理，得：，
故答案为：．
4．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
(1)求x、y的值；
(2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【答案】(1)x的值为800，y的值为3
(2)购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元
【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；
（2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解．
【详解】（1）解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．
由题意得，
解得，
即x的值为800，y的值为3；
（2）解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．
则可列方程组：，
将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150，
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
1．已知，，，则代数式的值是（ ）
A．32B．64C．96D．128
【答案】C
【分析】本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目．
首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出x，z的值，然后代入所求代数式即可求解．
【详解】解：，，
得：，
，
而，
得，
，
把代入得：，
．
故选：C．
2．利用两块完全相同长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系列出方程组是解答的关键．设木块的长为，宽为，桌子的高度为，根据题意列方程组求得即可求解．
【详解】解：设木块的长为，宽为，桌子的高度是，
根据题意，得，
则，
解得，
∴桌子的高度是，
故选：B．
3．方程组的解使代数式的值为，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．
用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k．
【详解】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程组的解为，
把代入得：，
解得：．
故选：C．
4．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元；若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元B．30元C．40元D．50元
【答案】B
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元；若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元．”可得出关于的三元一次方程组，得，，即可求出购买一件二等奖所需的费用．
【详解】解：设一等奖奖品的单价是元，二等奖奖品的单价是元，三等奖奖品的单价是元，根据题意得，
得，
解得：
故选：B．
5．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支，共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】B
【分析】设铅笔的单件为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，根据题意列方程解方程即可解答．
【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，
根据题意可得，
由②①得，，
由②①得，，
由⑤④③得，，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用三元一次不定方程组解实际问题的运用，熟练三元一次方程组的解法是解题的关键．
6．明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了两本书共花费元，丽丽买了本书共花费，则B书比C书贵 元；若又知两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则三本书的总价钱为 ．
【答案】
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是设出未知数，正确解读题意，找出等量关系列出方程组．设A、B、C书的单钱分别是元，根据题意可得：
；可求问题一；得：；将③代入④可得，据此即可求解问题二；
【详解】解：设A、B、C书的单钱分别是元，根据题意可得：
∴得：
∴B书比C书贵元；
得：；
将③代入④得：，
解得：；
∴
∴三本书的总价钱为元，
故答案为：①②
7．已知，则 ．
【答案】1
【分析】该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元．
根据算出，再根据算出，代入即可求解；
【详解】解：，
得：，即，
得：，即，
∴，
故答案为：1．
8．现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 元．
【答案】540
【分析】本题考查了三元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式进行求解．
【详解】解：设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为元，由题意得：
，
得：，
（元），
故答案为：．
9．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共算元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需 元
【答案】
【分析】设甲服装每件x元，乙服装每件y元， 丙服装每件z元，根据题意列出方程组，然后整体求解即可．
【详解】解：设甲服装每件x元，乙服装每件y元， 丙服装每件z元，
根据题意得：，
①+②得：，
则，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查三元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，14，16．当接收方收到密文9，9，24，28时，则解密得到的明文为 ．
【答案】5，2，5，7
【分析】设解密得到的明文为，，，，加密规则得出方程组，求出，，，的值即可．
【详解】解：设明文为，，，，
由题意得：，
解得：，
则得到的明文为5，2，5，7．
故答案为：5，2，5，7．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
11．．
【答案】
【分析】②③得出④，由①和④组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再把、的值代入代入③求出即可．
【详解】解：，
②③，得④，
由①和④组成一个二元一次方程组：
，解得：，
把代入③，得，
解得：，
所以方程组的解是．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
12．解方程组：．
【答案】
【分析】利用代入消元法求解即可．
【详解】解：
由③可得
将②和④代入①可得：，解得
则，
则方程组的解为：
【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是掌握代入消元法求解方程组．
13．解方程组：．
【答案】
【分析】用含x的式子表示y、z，代入即可求解；
【详解】解：
由①得：③，④，
把③、④代入②得：
解得：，
把分别代入③、④解得：，．
故原方程组的解为︰．
【点睛】本题主要考查解三元一次方程组，掌握求解步骤并正确计算是解题的关键．
14．［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组，
解：把②代入①得，，
解得，
把代入②得，
所以方程组的解为，
（2）已知求的值．
解：，得，③
，得．
［类比迁移]
（1）求方程组的解．
（2）若求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可；
（2）利用整体的思想求出即可．
【详解】（1）把②代入①，
得，
解得．
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2），
得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想．
15．有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的表达式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的表达式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得表达式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”，解决问题：
(1)已知二元次方程组则______，______．
(2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需35元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
【答案】(1)4，2
(2)45元
【分析】（1），①②得，再由①②得，则；
（2）购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元，由题意：买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需35元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，列出三元一次方程组，由“整体思想”求出，可得即可得解．
【详解】（1）解：，
①②得：，
①②得：，
，
故答案为：4，2；
（2）购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元，
由题意得：，
①②得：，
∴
答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需45元．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握三元一次方程组的概念；
2．掌握三元一次方程组的解法；
3．掌握三元一次方程组的应用。
a
b
c
10
d
e
营业员
小丽
小华
月销售件数（件）
200
150
月总收入（元）
1400
1250