第14讲 二元一次方程组90道计算题专项训练（9大题型）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

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【经典计算题一 二元一次方程组的简单解法】
1．解下列方程组：
(1)
(2)
2．解方程组：
(1)；
(2)．
3．解方程组：
(1)；
(2)．
4．解方程组：
5．解方程组：
(1)
(2)
6．解下列方程组．
(1)
(2)
7．用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
8．解方程组：
(1)
(2)
9．解下列方程组：
(1)
(2)
10．解方程组
(1)；
(2)．
【经典计算题二 二元一次方程组的特殊解法】
11．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
12．两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；参考他们的讨论，谈谈你的看法．
13．解方程组：
(1)
(2)
14．利用换元法解下列方程组：
(1)
(2)
15．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用．
(1)解方程；
(2)在（1）的基础上，求方程组的解．
16．阅读与思考
【阅读理解】
我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为．
小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解．
解：记，，
，则原方程组的解为
【类比应用】
(1)若二阶行列式，求x的值；
(2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解．
17．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
(3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，
求关于的方程组的解．
18．阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组．
(2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
19．数学思想·整体思想 综合与实践
【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
【观察发现】
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____；
【探索猜想】
（2）运用上述方法解下列方程
组：．
20．数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)请用这种方法解方程组；
(2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______．
【经典计算题三 已知二元一次方程组的解求参数】
21．已知关于的二元一次方程组的解是，求的值．
22．已知和是关于、的二元一次方程的两组解．
(1)求、的值；
(2)如果是不大于的数，求的最大值．
23．解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为，
(1)求a，b，c的值；
(2)求的立方根．
24．解方程组时，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值
25．已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？
26．已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值．
27．已知是方程组的解，求k和m的值．
28．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值．
29．如果中的解x、y相同，求m的值．
30．对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值．”
小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0；
小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6．
(1)小明将系数□看成的数是多少？
(2)化简整式A．
【经典计算题四 二元一次方程组的错解复原问题】
31．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，
(1)求出，的值；
(2)此方程组正确的解应该是多少？
32．甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值．
33．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解．
34．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，求原方程组的解．
35．解方程组时，小强正确解得而小刚看错了c，解得求出a、b、c的值．
36．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答：
(1)求出正确的a，b的值
(2)求出原方程组的正确解．
37．小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解．
38．甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值
39．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；，乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果：
(1)求m，n的值；
(2)求出原方程组的正确解．
40．甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ．
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的正确解．
【经典计算题五 构造二元一次方程组求解】
41．若，求的值．
42．阅读理解：
已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则________，_______；
(2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
43．在等式中，当时，；当时，．
(1)求、的值；
(2)求当时的值．
44．在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值．
45．在等式中，当时，；当时，．
(1)求k，b的值；
(2)当时，求x的值．
46．已知，当时，；当时，，求和的值．
47．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．
小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组．
小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值．
(1)按照小云的方法，求出的值；
(2)老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值．
48．已知代数式．
(1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示．
(2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值．
49．现有三个方程：；；，请你在其中任意选两个方程，组成一个方程组，并求解．
50．若二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，求的值．
【经典计算题六 方程组同解问题】
51．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值．
52．已知关于的方程组和有相同的解．
(1)求出它们的相同解．
(2)求的值．
53．若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的立方根．
54．已知关于，的方程组和的解相同，试求的值．
55．已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求a，b的值．
56．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值．
57．已知关于x，y的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求的值．
58．已知关于，的方程组与的解相同．
(1)求这个相同的解；
(2)求，的值．
59．若方程组与有相同的解，求的平方根．
60．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a和b的值．
【经典计算题七 二元一次方程组的含参计算】
61．解答下列各题
(1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值．
(2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值．
62．选择一组α，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解．
63．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值．
64．已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数．
65．已知关于，的方程组与的解相同，求的值．
66．定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ．
(1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ．
(2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解．
67．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值．
68．已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值．
69．已知关于，的方程组
(1)若方程组的解满足，求的值；
(2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
(3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．
70．已知关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值．
【经典计算题八 三元一次方程组的计算】
71．解方程组：
(1)
(2)
72．解方程组：．
73．解方程组：
(1)
(2)
74．解方程组：
75．解方程组：
76．已知，且，求的值．
77．解方程组：．
78．解方程组：
79．阅读材料：
已知方程组，求的值．
解法一：由原方程组，得
，得．③
把③代入①，得
．
所以．
解法二：
将原方程组整理得
，得③
把③代入①，得．
请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值．
80．解方程组：．
【经典计算题九 二元一次方程组新定义计算】
81．新趋势·新定义 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
(1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由：
(2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
82．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
83．[阅读感悟]
一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
[解决问题]
(1)已知二元一次方程组，则___________，___________．
(2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
84．定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”．
(1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”；
(2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值．
85．我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值．
86．对于有理数定义一种新运算“※”：规定．例如：．
(1)若，，求的值；
(2)在（）的条件下，试说明：．
87．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”．
(1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值；
(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值；
(3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值．
88．定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或．
(1)方程的“交换系数方程”为______；
(2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值；
(3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值．
89．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请根据上述思想解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
90．现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，．
(1)当，且时，_______；
(2)若，求和的值；
(3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值．