湖北省随州市2024-2025学年高三上学期1月期末数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟.
考试时间：2025年1月7日14:30——16:30
★祝考试顺利★
考试范围：
高中全部高考内容
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.
【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；
②当时，为开口方向向上的二次函数，
只需，即；
③当时，为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数，使得成立；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
2. 已知函数在处有极小值，则c的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 2或6
【答案】A
【解析】
【分析】根据求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.
【详解】由题意，，则，所以或.
若c=2，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.函数在处有极小值，满足题意；
若c=6，则，函数在R上单调递增，不合题意.
综上：c=2.
故选：A.
3. 已知向量若，则m等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可.
【详解】因为，所以，又，，
所以，解得.
故选：A.
4. 已知等比数列的公比为（且），若，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列通项的运算性质可求得公比的值.
【详解】已知等比数列的公比为（且），若，
则，所以，解得.
故选：C.
5. 如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列不正确的是（ ）
A. 平面ANS⊥平面PBC
B. 平面ANS⊥平面PAB
C. 平面PAB⊥平面PBC
D. 平面ABC⊥平面PAC
【答案】B
【解析】
【分析】利用面面垂直的判定定理证得ACD选项正确，从而判断出B选项错误.
【详解】∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又AN⊂平面ABP，∴BC⊥AN，又∵AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴AN⊥PC，又∵PC⊥AS，AS∩AN＝A，∴PC⊥平面ANS，又PC⊂平面PBC，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正确
由上述分析可知：BC⊥平面PAB，而平面，所以平面PAB⊥平面PBC，故C选项正确.
由上述分析可知：PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，所以平面ABC⊥平面PAC，故D选项正确.
从而可知B选项错误.
故选:B
【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，属于中档题.
6. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．
7. 的展开式中的系数是（ ）
A. 60B. 80C. 84D. 120
【答案】D
【解析】
【分析】
的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.
【详解】的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.
故选：D.
【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用.
8. 在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A. 18种B. 36种C. 72种D. 108种
【答案】B
【解析】
【分析】先排，两道程序，再排剩余的3道程序，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】先排，两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，
则在第2，3，4道程序中选两个放，，共有种安排方法；
再排剩余的3道程序，共有种安排方法，
所以一共有种不同的顺序安排方法.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ）
A. 在区间内单调递减B. 在区间内单调递增
C. 是极小值点D. 是极大值点
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可．
【详解】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确，
．函数在区间的导数为，
在区间上单调递增，正确；
．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误，
．时，，
当时，，为增函数，，
此时此时函数为减函数，
则函数内有极大值，极大值点；故正确，
故选：．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识图和用图的能力．属于中档题．
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 零向量是唯一没有方向的向量
B. 零向量的长度等于0
C. 若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线
D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.根据，都是单位向量判断；D.由向量相等的定义判断.
【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B.由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C.因为，都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确；
D.由向量相等的定义知D正确；
故选：BCD.
11. 树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列说法正确的是（ ）
A. 成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30
B. 成绩第名的100人中，高一人数不超过一半
C. 成绩第名的50人中，高三最多有32人
D. 成绩第名50人中，高二人数比高一的多
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据饼状图和条形图依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：由饼状图知，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确；
由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此成绩第名的100人中，高一人数为，B正确；
成绩第名的50人中，高一人数为，故高三最多有32，C正确；
成绩第名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________.
【答案】####
【解析】
【分析】等价于，解即得解.
【详解】解：因为命题“是假命题”，
所以，
所以.
故答案为：
13. 若函数有极值，则实数的取值范围是 __________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据极值的概念可转化为导数零点情况，根据判别式可得解.
【详解】由，
则，
由函数有极值，
即有变号零点，
即，
解得或，
故答案：.
14. 设等差数列的前n项和为.若，则的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得等差数列的公差，进而求得，从而求得的最大值.
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，
对称轴为，开口向下，
所以当或时，最大，最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分
15. 已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）2.6.
【解析】
【分析】
由求出.
（1）由分子分母同除以求解；
（2）将，变形为，再分子分母同除以求解
【详解】因为，
所以.
（1）；
（2），
，
，
，
16. 若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求:
（1）的大小;
（2）与的夹角的大小.
【答案】（1）(1+)N
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三个力平衡，得到，再由求解；
（2）设与的夹角为θ，由求解.
【小问1详解】
解：因三个力平衡，所以，
则，
，
故的大小为(1+)N.
【小问2详解】
设与的夹角为θ，
则，
即，
解得，因为，
所以.
17. 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
【答案】（1）
（2）1809
【解析】
【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项；
（2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和．
【小问1详解】
由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
【小问2详解】
由.所以，
又，所以前40项中有34项来自.
故
.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
（1）；
（2）平面ABE．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先利用线面垂直的性质得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理得到平面PAC，再由线面垂直的性质得到线线垂直；
（2）先根据等腰三角形的三线合一得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到AE⊥PD，进而利用线面垂直的判定和性质进行证明.
【小问1详解】
在四棱锥中，
∵底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴，
∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴平面PAC．
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．
【小问2详解】
由AB＝BC，，得，
又PA＝AB＝BC，所以AC＝PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD．
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．
19. 已知定点，，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知点B（6，0），点A在轨迹C运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设动点P的坐标为，根据已知建立方程，化简求解.
（2）利用相关点法进行求解.
【小问1详解】
设动点P坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，
所以动点P的轨迹C的方程为；
【小问2详解】
设点的坐标为，点A坐标为，
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以，即，
解得，又点A在轨迹C运动，
由（1）有：，
化简得：，
即Q的轨迹方程：.