湖南省衡阳市2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省衡阳市2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷（Word版附答案），共12页。
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A.B.C.D.
2.已知复数，则
A.B.C.D.1
3.已知非零向量，满足，且，则与的关系是
A.垂直B.共线C.夹角为D.夹角为
4.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是
A.B.（0，4）C.D.
5.设，分别是椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交于，两点，其中点在第一象限，且.若是上的动点，则满足是直角三角形的点的个数为
A.0B.2C.4D.6
6.正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为
A.3B.4C.5D.6
7.已知数列满足，则下列说法正确的是
A.所有项恒大于等于
B.若，则是单调递增数列
C.若是常数列，则
D.若，则是单调递增数列
8.在平面直角坐标系中，，，，其中，，，则当面积最小时，
A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9.设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是
A.B.
C.D.
10.斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于，两点，是线段的中点，则下列说法正确的是
A.是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程
B.也是线段的中点
C.若过双曲线的焦点，则直线的斜率是
D.若过双曲线的焦点，点的坐标为（2，1），则
11.已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
①；
②；
③当时，，
其中
下列说法正确的是
A.若，，则
B.恰有两个整数解
C.若，，则，，中至少有两个相等
D.若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则__________.
13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有__________种.
14.在平面直角坐标系中，射线，，半圆.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线，时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，，，.
（1）求的外接圆半径；
（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.
16.（15分）如图，正方体的棱长为1，点，分别在线段，上，且，.
（1）若，证明：；
（2）若，点，分别在直线，上，且，，求的取值范围.
17.（15分）箱子里有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概率均为，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束：
（a）第一次抽取的卡片上写的数字是4；
（b）设为大于等于2的整数，第次抽取的卡片上写的数字大于第次抽取的卡片上写的数字.例如，当记录的数字依次为3，2，2，4时，这个操作在第4次结束.
（1）若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；
（2）求操作在第次结束的概率.
18.（17分）已知函数，.
（1）设直线与曲线交于点，求点纵坐标的最小值；
（2）a取遍全体正实数时，曲线在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数，求的解析式；
（3）证明：当时，对任意正实数，.（附：）
19.（17分）在直角坐标系中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线交于，两点，直线交轴于点，直线交轴于点，记直线，的斜率分别为和.
（1）求的标准方程；
（2）证明是定值，并求出该定值；
（3）设点，证明上存在异于其上下顶点的点，使得恒成立，并求出所有满足条件的点坐标.
2024年下学期高三期末质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
1.【答案】B
【解析】表示满足的奇数，.
2.【答案】D
【解析】.
3.【答案】B
【解析】，
，即两者共线.
4.【答案】A
【解析】.
5.【答案】C
【解析】，，.
，即，取上顶点时最大.
.
不会为直角，只有当或是直角才符合题意.
6.【答案】D
【解析】如左图所示作截面，得到右图，由勾股定理可得高为6.
7.【答案】D
【解析】A错，首项不一定成立；
B错，，，而；
C错，还可以令；
D对，，因为，所以是单调递增数列.
8.【答案】C
【解析】如图所示，设，，，，，
所以由可得，
，
记，则，时，
，即，时可取最小值
而.
9.【答案】ABD
【解析】A.，A正确；
B.，B正确；
C.，而，C错误；
D.，D正确.
10.【答案】ABD
【解析】A.，或，这恰为双曲线两条渐近线，A正确；
B.分别联立与，得和
这两式的两根之和都是，所以，共用同一个中点，B正确；
C.点差法可得直线的斜率是，C错误；
D.由C选项可知，即，D正确.
11.【答案】AC
【解析】A选项：先证是偶函数，
令，有，即；
令，有，即；
令，有，即是偶函数；
因为
，，所以，A正确；
B选项：假设选项正确，则对于任意除1和-1以外的整数，有，即，，而，且，所以，
，矛盾，故B错误.
C选项：，
所以，若，结论显然成立；
若，则，即或，结论依然成立，C正确；
D选项：，
，D错误.
12.【答案】
【解析】，.
13.【答案】2
【解析】假设一个正四面体四个顶点为，，，，则作底面顶点时，通过旋转，除底面外三个面的朝向有三种，如图所示：
同理，，作底面顶点时也分别有3种，一共有12种，即一个正四面体可以通过旋转得到12种朝向.因为四种颜色的排列数有种，所以一共有种不同的上色模式.
14.【答案】
【解析】将半圆依次沿着，，对称，如图所示：
光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示.
只需考虑光线与，，相切时的斜率，按上图写出范围即可.
15.【解析】（1），
根据正弦定理，可把原式化简为，即，
再由余弦定理得
由于，所以，……2分
，根据解得，
所以的外接圆半径为.……5分
（2）由（1）知，，，，
由正弦定理有，
所以
，……8分
因为为锐角三角形，所以，……10分
所以，则，
所以，则.
所以周长的取值范围为.……13分
16.【解析】（1）连接，，则是的中点，所以，
因为面，面，所以，
所以.……4分
（2）以点为原点，，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则
，，，，，
，，所以，，所以
，，所以，……6分
又，设直线的方向向量为，则由
得，又，……8分
所以
……10分
由得，……11分
易知在单调递减，单调递增
所以，所以.……15分
17.【解析】（1）15种：1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333.……4分
（2）设操作在第次结束的概率为，操作在第次未结束的概率为.
当时，……6分
当时，.
接下来我们讨论操作进行了次，但是并没有结束的情形，抽取的数字结构如下所示：
分别设序列中的3，2，1的个数为，，，可知.
利用隔板法，可以知道对应情形的数量，操作如下：
令，，，即，
一共有种情形，……10分
各情形概率均为，所以有.
当时，.……13分
经检验，其对依然成立，即.……15分
18.【解析】（1）时，.
令，当且仅当时等号成立，所以点纵坐标的最小值为.……4分
（2），
令，
则
①当，即时，，在上单调递增，
；……7分
②当，即时，由，
在上单调递减，在上单调递增，
.
综上所述，.……10分
（3）由第（2）问可知恒成立，所以只需证明即可.
①若，构造
因为，所以在上恒成立，在上单调递增，所以，
即在上恒成立；……13分
②若，，
因为，所以
构造，则.
令，则，所以在单调递增，
而，所以恒成立，
在单调递增，.
因为，即，
，所以，
而，即证在上恒成立……17分
19.【解析】（1）由已知得
的标准方程为.……4分
（2）将椭圆向右平移个单位，再向下平移1个单位得
，即，
运用齐次化的方法，构造平移后的直线，设，则过点，则，
，
，
，
，，……7分
.……10分
（3）根据角平分线性质，可得，设，……12分
直线方程：，令得，
同理，代入
，两边平方化简得
，
即，
即，
得，……14分
发现满足条件的轨迹是一个定圆，联立其和椭圆，得，解得或（舍），
综上所述，椭圆上存在点或使得恒成立.……17分