湖南省浏阳市2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试卷（Word版附解析）

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（时量：120分钟总分：150分考试形式：闭卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式，然后根据交集的定义计算即可.
【详解】由，解得，则，又，
所以.
故选：C.
2. 若，，则与的关系是（ ）
A. B. C. D. 与的值有关
【答案】A
【解析】
【分析】利用作差法比较数的大小即可.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
3. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系求得，再代入不等式，化简求解即可.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两个根，且，
由韦达定理得，所以，
所以不等式，又，
则，即，
解得，所以不等式的解集是.
故选：B.
4. 中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，.
【详解】
如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则，
所以，得，又，所以.
故选：A
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将所求角用已知角表示，然后利用诱导公式化简即可求值.
【详解】.
故选：B.
6. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】将代入，利用基本不等式可求最小值.
【详解】由题意，，又a，b为正实数，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D.
7. 莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（ ）

A. B. C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，利用莱洛三角形的面积求出R的值，即可求得答案.
【详解】设，则以点分别为圆心，圆弧所对的每个扇形面积均为，
等边的面积，
所以莱洛三角形的面积是，
则．，弓形的周长为．
故选：A
8. 函数的部分图象如图所示，若，且，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出的值，代值计算可得出的值.
【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则，
所以，
因为，且函数在附近单调递减，
所以，解得，
又因为，所以，则，
因为，可得，
所以，
因为，则，，
因为，则，所以，
故.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用不等式的性质，推理判断ACD；举例说明判断B.
【详解】对于A，由，得，A错误；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，由，得，则，因此，C正确；
对于D，由，得，而，则，D正确.
故选：AB
10. 下列命题是真命题的有（ ）
A. 函数的值域为
B. 定义域为
C. 函数的零点所在的区间是
D. 对于命题，使得，则，均有
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的值域、函数的定义域、零点存在性定理、存在量词命题的否定等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
令，则的开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为，所以的值域为，A选项正确.
B选项，对于函数，
由得，解得，
所以的定义域为，B选项错误.
C选项，在上单调递增，
，
所以函数的零点所在的区间是，C选项正确.
D选项，命题，使得，
其否定是，均有，D选项错误.
故选：AC
11. 把函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 关于点对称
C. 在是上单调递增
D. 若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先化简函数，再结合函数的性质求，并结合函数的性质，判断选项.
【详解】因为，
所以把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
因为关于轴对称，所以
又因为，所以，
对A，所以，故A正确；
对B，，
所以的图象关于点对称，故B错误；
对C，由，
当时，的单调递增区间为，，
所以在上单调递增，故C正确；
对D，若函数在上存在最大值，由选项C可知，在上单调递增，
且，即在时取得最大值，所以，
即实数的取值范围为，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则_____.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系及诱导公式计算即可.
【详解】因为，，所以
则.
故答案为：.
13. 已知幂函数是上的奇函数，则实数的值为_____.
【答案】3
【解析】
【分析】根据幂函数的定义得，解得的值，再利用常见幂函数的奇偶性逐个判断即可.
【详解】由是幂函数，得，解得或，
当时，函数是偶函数，不符合题意；
当时，函数是奇函数，符合题意；
因此，.
故答案为：.
14. 已知函数，且，则不等式的解集为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由求出，根据二次函数与指数型函数的图象和性质可知在R上单调递增，结合
函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题意知，，解得.
当时，单调递增，
当时，单调递增，
且当时，，
所以在R上单调递增，
由，得，
即，解得，即原不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）代入算出，根据并集概念计算即可；
（2）根据交集概念，结合空集条件，由此列不等式来求得取值范围.
（3）根据充分不必要条件转化为集合与集合的关系，由此列不等式来求得取值范围.
【小问1详解】
当时，由得，，
【小问2详解】
，.
又.实数的取值范围.
【小问3详解】
“”是“”充分不必要条件，即是的真子集，
，.
.
实数的取值范围是.
16. 已知函数的最大值为1，
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的的取值集合.
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值；
（2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可；
（3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式.
【小问1详解】
，
因为的最大值为1，且函数的最大值为1，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可知.
由，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
【小问3详解】
由，得，即.
所以，.
解得
因此，成立的的取值范围是.
17. 某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0.3元．
（1）下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式；
（2）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元）的函数解析式；（注：收益=实际电量（实际电价－成本价））
（3）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长?
【答案】（1），
（2）
（3）0.6元
【解析】
【分析】（1）由已知，列出函数关系即可得出结果；
（2）由（1）得到本年度实际用电量，再乘以即可；
（3）根据上年度电力部门实际收益以及本年度电力部门预收益，然后由求解即可.
【小问1详解】
因为下调电价后新增用电量和实际电价元，与用户的期望电价0.4元的差成反比，且比例系数为，
所以，依题意知用电量关于的函数表达式为，
【小问2详解】
依题意知用电量增至，
所以，电力部门的收益为；
【小问3详解】
依题意有，
整理得，
解此不等式组得．
答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长．
18. 已知函数是定义在上奇函数，且.
（1）求和的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由是定义在R上的奇函数，可得，再结合已知条件列方程组即可求解；
（2）由（1）知，可求得函数的解析式，设任意，且，再根据函数单调性的定义证明即可；
（3）结合单调性可得在上的值域，再得出二次函数在上的值域，结合已知可得，列不等式组即可求解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以满足，又，可得，
解得，可得，
，是奇函数，满足题意，
所以，.
【小问2详解】
，在上单调递增，证明如下：
设任意，且，则
，
由，可得，
又，，，
则，则，
则在上单调递增；
【小问3详解】
对任意的，由在上单调递增，
可得，即，则在上的值域为，
的对称轴为，
当时，在上为增函数，
值域为，
由题意可得，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题按照单调性的定义经历“设元”、“作差”、“变形”、“定号”等过程即可完成；第三问的关键是函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，即可求解.
19. 若函数满足：对于任意正数m，n，都有，，且，
则称函数为“速增函数”.
（1）试判断函数与是否是“速增函数”；
（2）若函数为“速增函数”，求的取值范围；
（3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有.
【答案】（1）是，不是
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义进行判断即可，利用特殊值，举出反例；
（2）根据定义可知，即对一切正数恒成立，可得，由，可得
得出，最后求出的范围；
（3）根据定义，令，可知，即，故对于正整数与正数，都有，进而得出结论．
【小问1详解】
对于函数，当，时，，
又，
所以，
故是“速增函数”.
对于函数，当时，，
故不是“速增函数”.
【小问2详解】
当，时，由是“速增函数”，
可知，即对一切正数恒成立，
又，可得对一切正数恒成立，所以.
由，可得，
即
，
故，又，故，
由对一切正数，恒成立，可得，即．
综上可知，的取值范围是．
【小问3详解】
由函数为“速增函数”，可知对于任意正数，，
都有，，且，
令，可知，即，
故对于正整数与正数，都有，
对任意,，可得，又，
所以，
同理，
故．
【点睛】关键点点睛：本题为自定义信息题，关键是读懂题目意思.根据题目所提供的信息，要严格遵循
“速增函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“速增函数”的定义，说明是“速增函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数是“速增函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.本题考查新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，难度较大．