湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高三上学期1月期末数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高三上学期1月期末数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．设集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A．B．3C．4D．
3．已知向量，，若与方向相同，则（ ）
A．0B．1C．D．
4．若复数满足且，则（ ）
A．5B．C．D．10
5．某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
6．已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线：的焦点为F，点P是C上的一点，点，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数恰有2个零点，则实数（ ）
A．有最大值，没有最小值B．有最小值，没有最大值
C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．已知正四棱台的体积为，则（ ）
A．正四棱台的高为
B．与平面所成的角为
C．平面与平面夹角的正切值为
D．正四棱台外接球的表面积为
10．设公比为q的等比数列前n项的积为，则（ ）
A．若，则
B．若，则必有
C．若，，则有最大值
D．若，则数列一定是等差数列
11．曲线C是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（ ）
A．曲线C关于x轴对称B．存在点P，使得
C．面积的最大值是1D．存在点P，使得为钝角
12．设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，，且，，都有，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）
14．已知数列中，，，（，），则 ．
15．已知圆和圆与x轴和直线都相切，两圆相交于M，N两点，其中点M的坐标为，且两圆半径的乘积为5，则k的值为 .
16．若无穷数列满足，则称数列为数列. 若数列为递增数列，则 ；若数列满足，且，则 .
四、解答题（共5小题，共70分）
17．已知函数在处的切线为.
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间与最大值.
18．某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：
①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；
②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响．
(1)求甲没有获得“智慧星”称号的概率；
(2)求乙获得“智慧星”称号的概率．
(3)记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件发生的概率．
19．已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点.
(1)求E的方程；
(2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值.
20．直线经过抛物线的焦点，且与交于两点（点在轴上方)，点（，且）在轴上，直线，分别与交于点，，记直线与轴交点的横坐标为.
(1)若直线垂直于轴，求直线的方程.
(2)证明：.
21．数列满足对任意的正整数都成立，则称为数列.
(1)设是等差数列，是正项等比数列，记，证明：数列是数列；
(2)若为数列，且，求证：；
(3)若正项数列的前项和为，求证：.
《2025年高三上学期数学期末考试试卷》参考答案
1．C
2．A
3．C
4．B
5．C
6．B
7．C
8．A
9．ACD
10．BC
11．BCD
12．BC
13．
14．
15．
16．
17．(1)
(2)在单调递减，单调递增，
（1）因为函数在处的切线为，
所以，，
又函数的导函数，
所以，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
C
B
C
A
ACD
BC
题号
11
12








答案
BCD
BC








所以；
（2）由（1）知
当，当且仅当时取等号，
当，
在单调递减，单调递增，
又，，
.
18．(1)
(2)
(3)
（1）设甲获得“智慧星”称号的事件为，
根据独立事件的乘法公式，，
于是，
即甲没有获得“智慧星”称号的概率是；
（2）设乙答对的问题数为，则，
由题意，乙获得智慧星的概率为
（3）由于乙最多题，甲最多题，当乙比甲多对题时，甲可能答对题
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
故
19．(1)
(2)或
（1）由题意，设E的方程为，又E过点，
所以，解得，
所以E的方程为.
（2）设，，由得，
因为，
所以，，
所以
，
所以，
解得或.
20．（1）由抛物线的焦点为，
若直线垂直于轴，则，令，则、，
，则，即，
，即，
联立，解得或，即，
联立，解得或，即，
故直线的方程为；
（2）设直线为，联立，则有，
故，，
由，则，，
联立，则，
故，即，同理可得，
则，，
则，
令，即有，
又，则，
则，
故，由，
故，即得证.
21．（1）
∵数列为等差数列，
∵数列为等比数列，设数列的公比为，
∴，又
，
∴数列为数列；
（2）由为数列则
设则，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
解得：；
（3）
由且，
∴，
∴
又
，
∴，
∴.