湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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时量：120 分值：150
命题人：黄爱民 审题人：张鎏，彭熹
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足：，则（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知先求共轭复数，再求得，利用公式求解模长即可.
【详解】∵，∴
∴，∴.
故选：D.
2. 函数的导函数在区间上的图象大致为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的运算性质，结合函数的奇偶性、三角函数的正负性，运用排除法进行求解即可.
【详解】，
因为，
所以为偶函数，且，
当时，则， A选项符合，
故选：A
3. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A. 5B. 10C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】由等比数列的性质结合对数的运算求解即可；
【详解】由题有，则
.
故选：A.
4. 椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ）.
A. 5B. 8C. 5或3D. 5或8
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆的焦距可求得的值，再讨论椭圆的焦点位置，利用即可求得的值.
【详解】因为椭圆的焦距为2，所以，所以；
所以①当椭圆焦点在x轴上时：，，
所以，所以；
②当椭圆焦点在y轴上时：，，
所以，所以；
综上或.
故选：C.
5. 已知向量，均为单位向量，且，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.
【详解】因为向量，均为单位向量，且，所以，，
所以，
故选：B.
6. “杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ）
A. 480B. 240C. 384D. 1440
【答案】A
【解析】
【分析】利用插空法求解，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空即可.
【详解】根据题意，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，共有种方法，
4道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有种方法，
所以由分步计数原理可知共有种不同的上菜顺序，
故选：A
7. 已知等差数列，满足，，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（ ）
A. 4043B. 4042C. 4041D. 4040
【答案】A
【解析】
【分析】由题可知数列是递减的等差数列，再由等差数列前n项和公式和下角标和的性质即可求解.
【详解】因为数列的前n项和有最大值，
所以数列是递减的等差数列．
又，，
所以，即数列的前2022项为正数，从第2023项开始为负数，
由等差数列求和公式和性质可知，
，
，
所以当取最小正值时，.
故选：A.
8. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，，则C的离心率为（ ）.
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合条件可得为的中点且，即可得到双曲线渐近线的斜率，再由双曲线离心率的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
如图，由，得.又，
得OA是三角形的中位线，即，.
由，得，，则有，
又OA与OB都是渐近线，得，
又，得，
所以该双曲线的渐近线斜率为．
则双曲线的离心率为．
故选：C
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分.
9. 设函数的导函数为，则（ ）
A. B. 是函数的极值点
C. 存在两个零点D. 在(1，+∞)上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】首先求函数的导数，利用导数和函数的关系，即可判断选项.
【详解】，所以函数在上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；，故A正确；
，得，中，，
所以恒成立，即方程只有一个实数根，即，故C错误.
故选：AD
10. 如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ）
A. 直线BC与平面所成的角等于B. 点到平面的距离为
C. 异面直线和所成的角为.D. 线段长度的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.
【详解】解：由题意得：
正方体棱长为2
对于选项A：连接，设交于O点
平面
即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确；
对于选项B：连接，设交于O点
平面
点到平面的距离为,故B正确；
对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥
故异面直线和所成的角即为和所成的角
又
为等边三角形
故C错误；
对于选项D：过作，过作，连接PQ
为异面直线之间的距离，这时距离最小；
设，为等腰直角三角形，则，
也为等腰直角三角形，则
为直角三角形
故
当时，取最小值，故，故D正确；
故选：ABD
11. 已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A. 点M到直线l的距离为定值B. 以为直径的圆与l相切
C. 的最小值为32D. 当最小时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得,由此判断B;
计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;
求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.
【详解】设，，，， ，
直线的方程为，则直线的方程为,
将直线的方程代入，化简整理得，
则，，
故,
所以，,
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，
点M到直线l的距离，
又，所以，故A错误；
因为，
所以以为直径圆的圆心M到l的距离为，
即以为直径的圆与l相切，故B正确；
同理，，所以，，，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
.
设，则，，.
当时，即时，最小，这时，故D正确,
故选:BCD.
【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出与，再代入条件概率公式即可求解.
【详解】设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，
则，，所以.
故答案为：
13. 在展开式中，的系数为__________.
【答案】80
【解析】
【分析】由二项展开式的通项求解即可；
【详解】，
二项式的展开式的第项为，
令，则，令，则，
则展开式中，的系数为.
故答案为：80.
14. 已知函数是定义在上的偶函数，记为函数的导函数，且满足，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的导数必为奇函数，可求得，再代入不等式构造函数即可求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，故，
又，所以，即，
所以是定义在上的奇函数；
又因为，
所以，即，
两式相加，再整理得：，所以由得，即，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以在上，由，解得；
又当时，，，即，故，即，
综上：的解集为，故的解集为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接根据解析式来解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质将函数值的大
小关系转化为自变量的大小关系即可得到解集．
四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知分别为内角的对边，且
（1）求角；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合正弦定理，边化角即可求解角；
（2）结合三角形面积公式与余弦定理求解，即可得的值.
【小问1详解】
解：，
由正弦定理得，
所以
由于，所以，则，又，所以；
【小问2详解】
解：由（1）得，
由余弦定理得，
，
.
16. 如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且与均为正三角形，G为的重心.
（1）求证：平面PDC；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）设PD的中点为E，连接AE，CE，GF，由，，可得，由G为的重心，得，所以可得，从而由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）设O为AD的中点，为正三角形，则，结合已知条件可得平面ABCD，从而过O分别作BC，AB的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可
【详解】（1）设PD的中点为E，连接AE，CE，GF.
∵，，，
∴.
又∵G为的重心G，
∴，
∴
∴.
又∵面PDC，面PDC，
∴平面PDC.
（2）设O为AD的中点，为正三角形，则.
∵平面平面ABCD，平面平面，
∴平面ABCD.
过O分别作BC，AB的平行线，建系如图.
∵，，，
易知平面PAD的法向量.
设平面PBC的法向量为，
∴，，
∴
得，，
从而，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.
17. 已知椭圆C：（）的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形的面积.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据离心率及通径长得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程；
（2）设（，），表示出直线、的方程，即可得到、，最后根据计算可得.
【小问1详解】
因为离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，
所以，解得，所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
因为椭圆C的方程为，所以，，
设（，），
则，即，则直线的方程为，
令，得，同理，直线AM的方程为，
令，得，
所以
，
所以四边形的面积为定值2．
18. 已知函数，，.
（1）当时，讨论函数的零点个数
（2）记函数的最小值为m，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）0
【解析】
【分析】（1）求导，分、和三种情况，利用导数判断的单调性和最值，进而分析零点；
（2）对求导，分析的单调性和符号，即可得的单调性和最值，结合零点代换可得，再对求导，利用导数分析其单调性和最值，结合零点代换分析求解.
【小问1详解】
由题意可知：的定义域为，.
①当时，，可知在定义域内单调递增，
且，，所以函数有唯一零点；
②当时，恒成立，所以函数无零点；
③当时，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增．
则，
故当时，，即，所以函数无零点；
综上所述，当时函数无零点；当，函数有且仅有一个零点.
【小问2详解】
由题意可知的定义域为，且，
令，则，
可知在上为增函数，即在上为增函数．
且，，
可知在上存在唯一零点，
则，可得，，
当时，，在上减函数；
当时，，在上为增函数；
可知的最小值
又因为的定义域为，且，
且在上为增函数，可知在上为增函数，
因为，则，，
可知在上存在唯一零点，则，
当时，，在上减函数；
当时，，在上为增函数，
所以的最小值为，
因为，则，即，
又因为，可得，
且函数在上为增函数，所以，
可得，
又因为，即，所以在上的最小值为0.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法
（1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号；
（2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数．
（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解；
（4）求函数在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较，从而得到函数的最值．
19. 设数列的前n项和为，对一切，，点都在函数图象上.
（1）求，，，归纳数列的通项公式（不必证明）：
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；
（3）设为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围.
【答案】（1），，，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出前几项，，利用归纳推理猜想通项公式；
（2）观察发现规律可得，第25组中第四个括号内各数之和，从而得解；
（3）将恒成立问题转化为求函数的最值进行求解，从而得解.
【小问1详解】
因为点在函数的图象上，故，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，由此猜想：，
当时，，且已知，，当时，，
故，化简整理得，
当时，，两式相减可得，结合，
故数列是以4为首项，4为公差的等差数列，即，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列，即，故，
经检验符合题意，且当时，，
，故成立
【小问2详解】
因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
，，，；
，，，；，…
每一次循环记为一组，由于每一个循环含有4个括号，
故是第25组中第4个括号内各数之和，由分组规律知，
由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数
列，且公差均为20，
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80，注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以，又，所以.
【小问3详解】
因为，故，
所以，
，
故对一切都成立，
就是对一切都成立，
设，
则只需即可，
由于，
所以，故是单调递减，于是，
令，即，解得或，
综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数a的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查用数学归纳法求数列的通项公式，考察数列新定义问题，考查数列中的不等式恒成立问题，关键是读懂新定义，通过寻找规律把问题转化为等差数列的相关问题，可将不等式恒成立问题转化为求数列的最值，确定数列的单调性是求最值常用方法.