湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，则（ ）
A. B.
C D.
5. 基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（ ）(参考数据：)
A. 2天B. 3天C. 4天D. 5天
6. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（ ）
A. 9B. 6C. D. 5
7. 在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角（）交单位圆于点A、顺时针旋转角（）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为，且的面积为，则点B的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 若集合，，均有恒成立，则t的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（ ）
A. 当时，的最大值为18
B. 当时，的最小值为
C. 当时，ab的最小值为
D. 当时，的最小值为
11. 已知函数则下列说法正确是（ ）
A. 函数有3个零点
B. 关于x的方程有个不同的解
C. 对于实数，不等式恒成立
D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是__________.
13. 已知函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________.
14. 已知函数和图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
16. 已知函数，，.
（1）当，且时，解关于x的不等式；
（2）若，，，求的最小值.
17. 设函数.
（1）当时，求方程实数解；
（2）当时，
（ⅰ）存在，使不等式成立，求k的范围；
（ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使，求实数b的取值范围.
18. 已知.
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围；
（3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值.
19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.
（1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由；
（2）已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性；
（3）已知，k为给定正实数，若函数具有性质，求a的取值范围.