浙江省杭州学军中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 已知直线经过点，，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线与垂直，则实数（ ）
A. 3B. -3C. 2D. 1
4. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 在四面体中，为棱的中点，点为线段上一点，且，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块
7. 已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
8. 已知正方体棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（ ）
A B. C. 1D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 设，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则或D. 若，，则或
10. 一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫作周期数列，叫作这个数列的一个周期，则下列结论正确的是（ ）
A. 对于数列，若，则为周期数列
B. 若满足：，，则为周期数列
C. 若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立
D. 已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则
为周期数列
11. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 抛物线方程为
C.
D. 点在以线段为直径的圆上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等差数列中，若，则_____.
13. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率是_____.
14. 已知，函数设，，其中，，若存在最小值，则的取值范围是_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线的中心在原点，右焦点为，过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值.
16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，，且，，.
（1）求直线与直线所成角的余弦值；
（2）证明：，，，四点共面.
17. 记为数列前项和，为数列的前项积，已知.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
18. 如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长.
19. 已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”.
（1）求“倒影椭圆”C方程；
（2）求“倒影椭圆”C的面积；
（3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值.