2024-2025学年福建省福州市高一上册第一次月考数学检测试题（培青班）附解析

这是一份2024-2025学年福建省福州市高一上册第一次月考数学检测试题（培青班）附解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）
A．B．C．D．
5．定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．的最小值为
11．已知函数的定义域为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．时，
C．D．在上有677个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知集合，，若，，则 .
13．已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为 .
14．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．计算求值：
(1)；
(2).
16．已知函数
(1)求函数的解析式；
(2)求关于的不等式解集.（其中）
17．函数对任意的实数，都有，且当时，．
(1)求的值；
(2)求证：是上的增函数；
(3)若对任意的实数x，不等式都成立，求实数t的取值范围．
18．已知函数为偶函数.
(1)求实数k的值；
(2)求函数的值域；
(3)若函数，，那么是否存在实数t，使得的最小值为1，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由.
19．定义在上的函数， 若对任意， 存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界. 已知函数.
(1)若是奇函数.
（i）求的值;
（ii）判断函数在上是否为有界函数，并说明理由；
(2)若在上是以为上界的函数，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
【详解】函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
2．【正确答案】C
【详解】因为，，，所以最小.
因为函数在上单调递增，所以，即，
所以.
故选：C
3．【正确答案】B
【详解】由解得：
记
∵,∴“”是“”的必要不充分条件.故选B.
4．【正确答案】B
【分析】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，则，根据对数运算可得.
【详解】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，
由题意知，
所以，
即，
所以，
故选：B.
5．【正确答案】D
【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可.
【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数，
又，所以，
所以当时，满足，
当时，，也满足，
所以不等式的解集为
故选：D.
关键点睛：本题的关键是得到函数的对称性和单调性，再根据其单调性和对称性对分类讨论即可.
6．【正确答案】D
【分析】根据题意有，将变形为，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得.
【详解】由题知，
因为a，b为正实数，所以由得，即，
所以，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以，即，
所以，整理得，
解得，所以正数x的最大值为2．
故选：D．
7．【正确答案】A
【详解】由于函数y=fx是上的减函数，
则函数在上为减函数，所以，，解得.且有，解得.综上所述，实数的取值范围是.
故选.
8．【正确答案】A
【详解】因为，
不妨设的解集为，则由得，
所以，
又，，所以且，
因为的解集为，所以是，即的两个根，
故，即，
此时由，得，则，
因为，显然，且开口向上，对称轴为，
所以，则，
又，解得，即.
故选：A.
9．【正确答案】CD
【详解】对于A选项，取，，则，A错误；
对于B选项，取，，则，B错误；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，C正确；
对于D选项，因为，当且仅当时，
即当时，等号成立，
所以，，D正确.
故选：CD.
10．【正确答案】AB
【详解】因为关于x的不等式的解集为，
所以，4是方程的两根，且，故A正确；
所以，解得，
所以，即，则，解得，
所以不等式的解集为，故B正确；
而，故C错误；
因为，，，所以，
则，
当且仅当，即或时，等号成立，
与矛盾，所以取不到最小值，故D错误.
故选：AB
11．【正确答案】AB
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，当时，，即，
则，于是，
因此，故B正确；
对于C，，
，
，故C错误；
对于D，当时，，此时函数无零点，
而，由知，，f3=0，
即有，显然，
因此在上有675个零点，故D错误.
故选：AB
12．【正确答案】19
【详解】因为，，
，，所以，
所以5和6是方程的两个根，
所以，解得，，
所以.
故19.
13．【正确答案】1
【详解】∵图象关于点对称，∴.
又∵函数是R上的偶函数，
∴，∴，
则.
故函数的周期为4.
∴，又，，
∴
.
14．【正确答案】
【详解】当时，函数，当且仅当即时，等号成立，
所以在上的值域为，且在上单调递增；
当时，则，
①当时，由单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
要使对任意的，都存在唯一的，满足，
则，所以，解得，又，所以；
②当时，在上单调递减，要使对任意的，
都存在唯一的，满足，则，解得，
又，所以；
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）
.
（2）
.
16．【正确答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）令，则，即可得；
（2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可.
【详解】（1）由题意，函数，
令，
则，
所以.
（2）由（1）知，
即不等式转化为，
则，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
17．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为函数对任意的实数a，b，都有，
令，则，所以；
（2）设且，取，，
则，即，
由于当时，，因为，所以，
即，
由增函数的定义可知是上的增函数；
（3）不等式等价于，
由（2）可知是上的增函数，
故在上恒成立，
下面求函数的最大值：
令，，其对称轴为，
故有：当时，
函数递增，函数递增，故函数递增；
当时，函数递增，函数递减，故函数递减；
因此，函数在时有最大值，即所求范围为.
1.取值：任取，，规定，
2.作差：计算；
3.定号：确定的正负；
4.得出结论：根据同增异减得出结论.
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）函数的定义域为，
，
因为函数为偶函数，所以f−x=fx，即，得；
（2），设，
所以，，
因为，所以，所以，当且仅当，，即，时，等号成立，
所以函数的值域为；
（3），，，
令，所以设，，
函数的对称轴，
当，即时，在上单调递增，，
所以，得，成立，
当时，即时，在上单调递减，，
所以，得，舍去，
当时，即，函数的最小值为，所以，得，舍去，
综上可知，.
19．【正确答案】(1)，是有界函数，理由见详解；
(2).
【分析】（1）由是奇函数，可得，解得，对函数变形后，利用指数的单调性判断函数为有界函数；
（2）由题意得，在上恒成立，则 恒成立，转化为不等式组 在上恒成立，从而可求出的取值范围.
【详解】（1）因为是奇函数，可得，则有，
解得，经检验此时为奇函数，所以；
此时，
则，
故x∈R时，，
所以函数为有界函数.
（2）若函数在上是以为上界的函数，
则有在上恒成立，
故恒成立，即恒成立，
所以 ，即，
由题可知，不等式组 在上恒成立，
因为在上单调递减，其最大值为；
又在上单调递减，其最小值为，
所以 ，即，
故的取值范围为.
本题属于新概念题型，要注重转化思想在该类型题目中的应用.