2024-2025学年福建省宁德市高三上册第三次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省宁德市高三上册第三次月考数学检测试卷（附解析），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若z＝7﹣5i，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）“λ≤2”是“数列{n2﹣λn}为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）若函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（ ）
A．(−1，12)B．(−∞，−1)∪(12，+∞)
C．(−12，1)D．(−∞，−12)∪(1，+∞)
4．（5分）已知a→，b→是两个非零平面向量，a→⊥(3b→−2a→)，则b→在a→方向上的投影向量为（ ）
A．a→B．12a→C．23a→D．13a→
5．（5分）在1和11之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列．若这m个数中第1个为a，第m个为b，则1a+25b的最小值是（ ）
A．54B．2C．3D．94
6．（5分）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”．意大利数学家托里拆利发现：当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点即为费马点．在△ABC中，若BC＝4，且sinA：sinB：sinC＝22：2：1，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（ ）
A．42B．32C．4+2D．4+22
7．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是棱AA1上一点（含端点），且FE→⋅FD→=1，则三棱锥F﹣AED的体积为（ ）
A．16B．13C．12D．1
8．（5分）已知函数f(x)=|x|−3，x≤3−x2+6x−9，x＞3，若方程（f（x））2﹣af（x）+2＝0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−113，−22)
B．(−6，−22)
C．(−113，+∞)
D．(−113，−22)∪(−22，+∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x+y）＝f（x）f（y），当x＞0时，0＜f（x）＜1，f（1）=13，则下列结论正确的是（ ）
A．f（0）＝1B．若f（m）＝9，则m＝2
C．f（x）是增函数D．f（x）＞0
（多选）10．（6分）已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)(ω＞0)，则下列说法正确的是（ ）
A．当ω＝1时，f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）过定点（0，1）
C．将函数f（x）的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数h（x）的图象，若函数h（x）是偶函数，则ω的最小值为12
D．函数g(x)=f(x)−3在区间[0，π]上恰有5个零点，则ω的取值范围为[94，3712)
（多选）11．（6分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则下列选项中正确的有（ ）
A．三棱锥A1﹣EFG的体积为定值13
B．无论点G在线段B1C的什么位置，都有平面EFG⊥平面A1B1CD
C．线段B1C上存在G点，使平面EFG∥平面BDC1
D．G为B1C上靠近B1的四等分点时，直线EG与BC1所成角最小
三、本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）现有一底面直径为2的圆锥，其轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ．
13．（5分）已知数列{an}满足an+1=2an，0＜an≤122an−1，12＜an＜1，a1=35，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2025＝ ．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC=2，AB⊥AC，直线l与边AB，AC分别交于M，N两点，且△AMN的面积是△ABC面积的一半．设MN2＝y，AM＝x，记y＝f（x），则f（x）的最小值与最大值之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）若锐角△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且△ABC的面积为312(a2+c2−b2)．
（1）求B；
（2）求ca的取值范围．
16．（15分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝6且a2n=an2．
（1）求an；
（2）求数列{an+1SnSn+1}的前n项的和Tn．
17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，底面△ACB是直角三角形，BC⊥AC，点E、F分别在AB、A1C1上，且BE=2AE=103，AC＝4，CC1＝3．
（1）若A1E∥平面BCF，求A1FFC1；
（2）若A1FFC1=3，求二面角C﹣BF﹣A的余弦值．
18．（17分）定义：记函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）在区间I上单调递增，则称f（x）为区间I上的凹函数；若f′（x）在区间I上单调递减，则称f（x）为区间I上的凸函数．已知函数f（x）＝xex﹣a（x＞0），g(x)=f(x)x．
（1）求证：f（x）为区间（0，+∞）上的凹函数；
（2）若g（x）为区间[1，2]的凸函数，求实数a的取值范围；
（3）求证：当a＜ee+1时，|g（x）|+a＞alnx．
19．（17分）正实数构成的集合A＝{a1，a2，⋯，an}（n≥2），定义A⊗A＝{ai•aj|ai，aj∈A，且i≠j}．当集合A⊗A中的元素恰有n(n−1)2个数时，称集合A具有性质Ω．
（Ⅰ）判断集合A1＝{1，2，4}，A2＝{1，2，4，8}是否具有性质Ω；
（Ⅱ）若集合A具有性质Ω，且A中所有元素能构成等比数列，A⊗A中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值；
（Ⅲ）若集合A具有性质Ω，且A⊗A中的所有元素能构成等比数列．问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若z＝7﹣5i，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由已知可得复数对应点的坐标得答案．
解：∵z＝7﹣5i，
∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（7，﹣5），位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（5分）“λ≤2”是“数列{n2﹣λn}为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据数列为递增数列的定义求得λ的范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可．
解：根据题意，若“数列{n2﹣λn}为递增数列”，则（n+1）2﹣λ（n+1）﹣（n2﹣λn）＝2n+1﹣λ＞0，
所以λ＜2n+1恒成立，又由n≥1且n∈Z，
则有λ＜3，即“数列{n2﹣λn}为递增数列”的充要条件为“λ＜3”，
而λ≤2⇒λ＜3，由λ＜3⇒λ≤2不一定成立，
故“λ≤2”是“数列{n2﹣λn}为递增数列”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查数列的单调性，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
3．（5分）若函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（ ）
A．(−1，12)B．(−∞，−1)∪(12，+∞)
C．(−12，1)D．(−∞，−12)∪(1，+∞)
【分析】判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；
把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化为2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．
解：函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，
且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣ex+sin（﹣2x）＝﹣（ex﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），
∴f（x）为R上的奇函数；
又f′（x）＝ex+e﹣x+2cs2x≥2+2xs2x≥0恒成立，
∴f（x）为R上的单调增函数；
又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，
得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），
∴2x2﹣1＞﹣x，
即2x2+x﹣1＞0，
解得x＜﹣1或x＞12，
所以x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（12，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．
4．（5分）已知a→，b→是两个非零平面向量，a→⊥(3b→−2a→)，则b→在a→方向上的投影向量为（ ）
A．a→B．12a→C．23a→D．13a→
【分析】由向量垂直关系得a→⋅b→=23|a→|2，再由投影向量公式求解．
解：a→⊥(3b→−2a→)，
则a→⋅(3b→−2a→)=0，即a→⋅3b→=2a→2=2|a→|2，
则b→在a→方向上的投影向量为a→⋅b→|a→|2⋅a→=23a→．
故选：C．
【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
5．（5分）在1和11之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列．若这m个数中第1个为a，第m个为b，则1a+25b的最小值是（ ）
A．54B．2C．3D．94
【分析】根据等差数列的性质可得a+b＝12，由基本不等式求解即可．
解：由已知可得a+b＝12，
又a＞0，b＞0，所以
1a+25b=112(1a+25b)(a+b)=112(26+ba+25ab)≥112(26+2ba×25ab)=3，
当且仅当ba=25ab，且a+b＝12，即a＝2，b＝10时，等号成立，
所以1a+25b的最小值为3．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列，基本不等式，属于基础题．
6．（5分）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”．意大利数学家托里拆利发现：当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点即为费马点．在△ABC中，若BC＝4，且sinA：sinB：sinC＝22：2：1，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（ ）
A．42B．32C．4+2D．4+22
【分析】根据“费马点”的定义以及正余弦定理可求得结果．
解：设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为sinA：sinB：sinC=22：2：1，
则由正弦定理可得a：b：c=22：2：1，
又BC＝a＝4，所以b=22，c=2，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=8+2−162×22×2=−34＜−12，
又A∈（0°，180°），所以120°＜A＜180°，所以顶点A为费马点，
故点A到各顶点的距离之和为b+c=32．
故选：B．
【点评】本题考查了新定义的应用以及正余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
7．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是棱AA1上一点（含端点），且FE→⋅FD→=1，则三棱锥F﹣AED的体积为（ ）
A．16B．13C．12D．1
【分析】由空间向量数量积确定F位置，再由体积公式即可求解．
解：如图建立空间直角坐标系：
因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，
则D（0，0，0），E（2，1，0），设F（2，0，z），z∈[0，2]，
则：FE→=(0，1，−z)，FD→=(−2，0，−z)，
所以FE→⋅FD→=z2=1，又F是棱AA1上一点，所以z＝1，
即F是棱AA1的中点，
所以三棱锥F﹣AED的体积为13|AF|×S△AED=13×1×12×1×2=13．
故选：B．
【点评】本题考查锥体体积的计算，属于中档题．
8．（5分）已知函数f(x)=|x|−3，x≤3−x2+6x−9，x＞3，若方程（f（x））2﹣af（x）+2＝0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−113，−22)
B．(−6，−22)
C．(−113，+∞)
D．(−113，−22)∪(−22，+∞)
【分析】方程（f（x））2﹣af（x）+2＝0有6个不同的实数根等价于t2﹣at+2＝0有2个不同的实数解t1，t2，再结合二次函数的性质求解即可．
解：根据已知函数f(x)=|x|−3，x≤3−x2+6x−9，x＞3，作出函数f（x）图象，
令函数f（x）＝t，那么（f（x））2﹣af（x）+2＝0有6个不同的实数根⇒t2﹣at+2＝0有2个不同的实数解t1，t2，t1，t2∈（﹣3，0），
所以a2−8＞09+3a+2＞0−3＜a2＜0，所以−113＜a＜−22，
故选：A．
【点评】本题考查分段函数综合应用，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x+y）＝f（x）f（y），当x＞0时，0＜f（x）＜1，f（1）=13，则下列结论正确的是（ ）
A．f（0）＝1B．若f（m）＝9，则m＝2
C．f（x）是增函数D．f（x）＞0
【分析】令x＝1，y＝0，结合0＜f（1）＜1可求得f（0），知A正确；求出f（2）的值推导证得B错误；
令x2＞x1，由f（x2）﹣f（x1）＝f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]＜0可知C错误；
结合已知f（x+y）＝f（x）f（y），当x＞0时，0＜f（x）＜1可求f（x）的范围．
解：对于A，令x＝1，y＝0，则f（1）＝f（0）f（1），
由x＞0时，0＜f（x）＜1得0＜f（1）＜1，
∴f（0）＝1，A正确；
对于B，∵f(1)=13，
则f（2）＝f（1）f（1）=19，B错误．
对于C，设x2＞x1，
则f（x2）﹣f（x1）＝f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x1）＝f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]，
∵x2﹣x1＞0，∴0＜f（x﹣x）＜1，即f（x2﹣x1）﹣1＜0，
又f（x）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，f（x）在R上单调递减，C错误；
对于D，令y＝﹣x，则f（x）f（﹣x）＝f（x﹣x）＝f（0）＝1，
当x＜0时，﹣x＞0，∴0＜f（﹣x）＜1，
∴f(x)=1f(−x)＞0，
∴对于任意x∈R，f（x）＞0，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了抽象函数的函数值及单调性的判断，还考查了函数值域的求解，属于中档题．
（多选）10．（6分）已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)(ω＞0)，则下列说法正确的是（ ）
A．当ω＝1时，f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）过定点（0，1）
C．将函数f（x）的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数h（x）的图象，若函数h（x）是偶函数，则ω的最小值为12
D．函数g(x)=f(x)−3在区间[0，π]上恰有5个零点，则ω的取值范围为[94，3712)
【分析】根据正弦型函数的性质判断A、B；
图象平移确定解析式，根据偶函数求参数判断C；
令t=2ωx+π6∈[π6，2ωπ+π6]，化为sint=32在t∈[π6，2ωπ+π6]有5个根求参数范围判断D．
解：对于A，当ω＝1时，f(x)=2sin(2x+π6)，
则最小正周期为T=2π2=π，故A错误；
对于B，因为当x＝0时，f(0)=2sinπ6=1，
故函数f（x）过定点（0，1），故B正确；
对于C，函数f（x）的图象向左平移π3个单位，得到函数h（x）的图象，
所以h（x）＝f（x+π3）=2sin[2ω(x+π3)+π6]=2sin(2ωx+2ωπ3+π6)为偶函数，
所以2ωπ3+π6=π2+kπ，k∈Z，
可得ω=1+3k2且k∈Z，又ω＞0，
所以ω的最小值为12，故C正确；
对于D，由题意sin(2ωx+π6)=32在[0，π]上有5个根，
而t=2ωx+π6∈[π6，2ωπ+π6]，
所以sint=32在t∈[π6，2ωπ+π6]有5个根，如下图示，
所以13π3≤2ωπ+π6＜14π3，可得2512≤ω＜94，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了三角函数的性质、数形结合思想，属于中档题．
（多选）11．（6分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则下列选项中正确的有（ ）
A．三棱锥A1﹣EFG的体积为定值13
B．无论点G在线段B1C的什么位置，都有平面EFG⊥平面A1B1CD
C．线段B1C上存在G点，使平面EFG∥平面BDC1
D．G为B1C上靠近B1的四等分点时，直线EG与BC1所成角最小
【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；选项B，根据条件，可得EF⊥面A1B1CD，利用面面垂直的判定定理可得平面EFG⊥平面A1B1CD，即可作出判断，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断C和D选项的正误．
解：对于选项A，因为平面BB1C1C∥平面AA1D1D，G∈平面BB1C1C，
所以点G到平面AA1D1D的距离等于|AB|，
所以△A1EF的面积为S△A1EF=12|A1E|⋅|A1F|=12，
所以VA1−EFG=VG−A1EF=13S△A1EF⋅|AB|=13×12×2=13，故选项A正确；
对于选项B，连接A1D，AD1，易知A1B1⊥面ADD1A1，
所以A1B1⊥EF，又E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，
所以EF∥D1A，又DA1⊥D1A，
所以EF⊥DA1，又A1B1∩A1D＝A1，
所以EF⊥面A1B1CD，又EF⊂面EFG，
所以平面EFG⊥平面A1B1CD，故选项B正确；
对于选项C，建系如图：
则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、D（0，0，0）、A1（2，0，2）、
B1（2，2，2）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2），E（1，0，2）、F（2，0，1），
设平面BDC1的法向量为m→=(x1，y1，z1)，DB→=(2，2，0)，DC1→=(0，2，2)，
由m→⋅DB→=2x1+2y1=0m→⋅DC1→=2y1+2z1=0，取m→=(1，−1，1)，
设CG→=λCB1→=λ(2，0，2)=(2λ，0，2λ)，可得点G（2λ，2，2λ），其中0≤λ≤1，
则EG→=(2λ−1，2，2λ−2)，
所以m→⋅EG→=2λ−1−2+2λ−2=4λ−5=0，解得λ=54∉[0，1]，
所以平面EFG与平面BDC1不平行，所以选项C错误，
对于选项D，由选项C知EG→=(2λ−1，2，2λ−2)，BC1→=(−2，0，2)，
设直线EG与BC1所成角为θ，
则csθ=|cs〈EG→，BC1→〉|=|EG→⋅BC1→||EG→|⋅|BC1→|=2(2λ−1)2+4+(2λ−2)2⋅22=116λ2−24λ+18=116(λ−34)2+9，
当λ=34时，csθ取得最大值，此时θ最小，所以选项D正确，
故选：ABD．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，属中档题．
三、本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）现有一底面直径为2的圆锥，其轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 3π ．
【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长，再由圆锥表面积公式计算．
解：由题意可得圆锥的母线长l＝2，底面半径r＝1，
所以圆锥表面积为S＝πrl+πr2＝π×1×2+π×12＝3π．
故3π．
【点评】本题考查了圆锥的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
13．（5分）已知数列{an}满足an+1=2an，0＜an≤122an−1，12＜an＜1，a1=35，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2025＝ 50635 ．
【分析】分别求得a2，a3，a4，a5，即可得到数列的周期，代入计算，即可得到结果．
解：由数列{an}满足an+1=2an，0＜an≤122an−1，12＜an＜1，a1=35，
得a2=2×35−1=15，a3=2×15=25，
a4=2×25=45，a5=2×45−1=35，
所以{an}为周期数列T＝4，一个周期的和为35+15+25+45=2．
记数列{an}的前n项和为Sn，
所以S2025=a1+506(a1+a2+a3+a4)=35+1012=50635．
故50635．
【点评】本题考查数列的递推式和数列的求和，求得数列的周期性是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC=2，AB⊥AC，直线l与边AB，AC分别交于M，N两点，且△AMN的面积是△ABC面积的一半．设MN2＝y，AM＝x，记y＝f（x），则f（x）的最小值与最大值之和为 92 ．
【分析】由已知结合三角形面积公式及勾股定理可得y与x的关系，然后结合函数单调性即可求解．
解：因为△AMN的面积是△ABC面积的一半，
即12AB⋅AC=2×12×AM⋅AN，
所以12×2×2=2×12×x⋅AN，可得AN=1x，
又因为AM2+AN2＝MN2，
即y=x2+1x2，且x≤21x≤2，可得22≤x≤2，
所以f(x)=x2+1x2，且f（x）的定义域为的定义域为[22，2]；，
令t=x2∈[12，2]，则g(t)=t+1t在[12，1）上单调递减，在[1，2]上单调递增，且g(12)=g（2）=52，g（1）＝2，
可知g（t）在[12，2]上的最小值为2，最大值为52，
即f（x）在[22，2]上的最小值和最大值的和为92．
故92．
【点评】本题主要考查了函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）若锐角△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且△ABC的面积为312(a2+c2−b2)．
（1）求B；
（2）求ca的取值范围．
【分析】（1）结合余弦定理与三角形的面积公式，化简可得tanB=33，从而求得角B的大小；
（2）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换公式与正切函数的单调性，求解即可．
解：（1）由余弦定理得，a2+c2﹣b2＝2accsB，
因为△ABC的面积为312(a2+c2−b2)，
所以S=12acsinB=312(a2+c2−b2)，即12acsinB=312•2accsB，
所以tanB=sinBcsB=33，
因为B∈(0，π2)，所以B=π6．
（2）由（1）知，A+C=5π6，
所以C=5π6−A，
因为△ABC为锐角三角形，
所以0＜A＜π20＜5π6−A＜π2⇒π3＜A＜π2，
由正弦定理得，ca=sinCsinA=sin(5π6−A)sinA=12tanA+32，
因为y＝tanx在x∈(π3，π2)上单调递增，
所以当A∈(π3，π2)时，tanA＞3，0＜1tanA＜33，
所以32＜12tanA+32＜233，即ca∈(32，233)，
故ca的取值范围为(32，233)．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（15分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝6且a2n=an2．
（1）求an；
（2）求数列{an+1SnSn+1}的前n项的和Tn．
【分析】（1）根据等比数列的性质可得an=qn，即可根据S2=6=a1+a2=q+q2求解公比，进而可求解；
（2）利用等比求和公式可得Sn，进而利用裂项相消法求和即可求解．
（1）设公比为q，由a2n=an2，
又S2=6=a1+a2=q+q2，解得q＝2或q＝﹣3，
由于{an}为正项数列，所以q＝2，故an=2n；
（2）由an=2n可得an+1=2n+1，Sn=2(1−2n)1−2=2(2n−1)，
an+1SnSn+1=2n+14(2n−1)(2n+1−1)=12(12n−1−12n+1−1)，
故Tn=12(1−122−1+122−1−123−1+...+12n−1−12n+1−1)
=12(1−12n+1−1)=2n−12n+1−1．
【点评】本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，底面△ACB是直角三角形，BC⊥AC，点E、F分别在AB、A1C1上，且BE=2AE=103，AC＝4，CC1＝3．
（1）若A1E∥平面BCF，求A1FFC1；
（2）若A1FFC1=3，求二面角C﹣BF﹣A的余弦值．
【分析】（1）在BC上取一点G，使CG=13BC，连接EG、FG，先证明出EG∥A1F，再利用线面平行的性质定理可证A1E∥FG，从而知四边形A1EGF为平行四边形，然后根据比例关系求解即可；
（2）以点C为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值即可．
解：（1）在BC上取一点G，使CG=13BC，连接EG、FG，
由BE＝2AE知，AE=13AB，
所以EG∥AC且EG=23AC，
由三棱柱的性质知，四边形AA1C1C为平行四边形，
所以AC∥A1C1，AC＝A1C1，
所以EG∥A1F，所以A1、E、G、F四点共面，
因为A1E∥平面BCF，A1E⊂平面A1EGF，平面A1EGF∩平面BCF＝FG，
所以A1E∥FG，
所以四边形A1EGF为平行四边形，
所以A1F=EG=23AC=23A1C1，即A1FFC1=2，
故当A1E∥平面BCF时，A1FFC1=2．
（2）以点C为原点，CB→、CA→、CC1→的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
因为BE=2AE=103，所以AE=53，AB＝AE+BE＝5，
因为AC⊥BC，AC＝4，所以BC=AB2−AC2=52−42=3，
所以A（0，4，0），B（3，0，0），C（0，0，0），F（0，1，3），
所以CB→=(3，0，0)，CF→=(0，1，3)，AB→=(3，−4，0)，AF→=(0，−3，3)，
设平面BCF的法向量为m→=(x1，y1，z1)，则m→⋅CB→=3x1=0m→⋅CF→=y1+3z1=0，
取y1＝3，则m→=(0，3，−1)，
设平面ABF的法向量为n→=(x2，y2，z2)，则n→⋅AB→=3x2−4y2=0n→⋅AF→=−3y2+3z2=0，
取y2＝3，则n→=(4，3，3)，
所以cs＜m→，n→＞=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=9−310×34=38585，
由图可知，二面角C﹣BF﹣A的平面角为锐角，
所以二面角C﹣BF﹣A的余弦值为38585．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的性质定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（17分）定义：记函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）在区间I上单调递增，则称f（x）为区间I上的凹函数；若f′（x）在区间I上单调递减，则称f（x）为区间I上的凸函数．已知函数f（x）＝xex﹣a（x＞0），g(x)=f(x)x．
（1）求证：f（x）为区间（0，+∞）上的凹函数；
（2）若g（x）为区间[1，2]的凸函数，求实数a的取值范围；
（3）求证：当a＜ee+1时，|g（x）|+a＞alnx．
【分析】（1）求出函数的导函数，利用f（x）为区间（0，+∞）上的凹函数的定义证明；
（2）求出函数的导函数，利用f（x）为区间（0，+∞）上的凹函数的定义求解；
（3）由题意得到|e2−ax|＞alnx−a，分a＝0，a＜0，0＜a＜ec+1讨论证明．
解：（1）证明：因为f（x）＝xex﹣a（x＞0），所以f′（x）＝（x+1）ex，
记f′（x）的导函数为f″（x），则f″（x）＝（x+2）ex＞0，
所以f′（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）为区间（0，+∞）上的凹函数．
（2）由题意得，g(x)=ex−ax(x＞0)，则g′(x)=ex+ax2，g″(x)=ex−2ax3，
因为g（x）为区间[1，2]的凸函数，所以g'（x）在[1，2]上单调递减，
所以g''（x）≤0在[1，2]上恒成立，即ex−2ax3≤0恒成立，
故x3ex≤2a，令m（x）＝x3ex，则m′（x）＝3x2ex+x3ex＝x2（x+3）ex＞0，
故m（x）在[1，2]上单调递增，故m(x)max=m(2)=8e2，
则8e2≤2a，故a≥4e2，故实数a的取值范围为[4e2，+∞）．
（3）证明：由题意得，|ex−ax|＞alnx−a．
当a＝0时，ex＞0，符合题意；
当0＜a＜ee+1时，由（1）知f（x）＝xex﹣a在（0，+∞）上单调递增，
又f（0）＝﹣a＜0，f（a）＝a（ea﹣1）＞0，所以∃x0∈（0，a），使得f(x0)=x0ex0−a=0，
所以a=x0ex0，因为0＜a＜ee+1，所以0＜x0ex0＜ee+1，所以0＜x0＜e．
i）当x∈（0，x0）时，xex−a＜0，ex−ax＜0，即证ax−ex−alnx+a＞0，
设F(x)=ax−ex−alnx+a，则F′(x)=−ax2−ex−ax＜0，
所以F（x）在（0，x0）上单调递减，
所以F（x）＞F（x0）＝﹣alnx0+a＝a（1﹣lnx0）＞0．
ii）当x∈[x0，+∞）时，xex﹣a≥0，即ex−ax≥0，即证ex−ax−alnx+a＞0，
设G(x)=ex−ax−alnx+a，则G′(x)=ex+ax2−ax=x2ex+a−axx2，
令p（x）＝x2ex+a﹣ax，x∈[x0，+∞），
则p′（x）＝（x2+2x）ex﹣a，p''（x）＝（x2+4x+2）ex＞0，
故p′（x）在[x0，+∞）上单调递增，则p′(x)≥p′(x0)=(x02+2x0)ex0−a=ax0+a＞0，
故p（x）在[x0，+∞）上单调递增，则p(x)≥p(x0)=p(x0)=x02ex0+a−ax0=a＞0，
则G′(x)=p(x)x2＞0，则G（x）在[x0，+∞）上单调递增，
故当x∈[x0，+∞）时，G（x）≥G（x0）＝﹣alnx0+a＝a（1﹣lnx0）＞0；
当a＜0时，因为x＞0，则ex−ax＞0，则即证ex−ax＞alnx−a，
即证ex＞a(1x+lnx−1)，
设n(x)=1x+lnx−1，则n′(x)=x−1x2，
所以n（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故n（x）≥n（1）＝0．
故当a＜0时，ex＞0≥(1x+lnx−1)a，即|ex−ax|＞alnx−a成立．
综上，当a＜ee+1时，|g（x）|+a＞alnx．
【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了函数思想及转化思想，属于难题．
19．（17分）正实数构成的集合A＝{a1，a2，⋯，an}（n≥2），定义A⊗A＝{ai•aj|ai，aj∈A，且i≠j}．当集合A⊗A中的元素恰有n(n−1)2个数时，称集合A具有性质Ω．
（Ⅰ）判断集合A1＝{1，2，4}，A2＝{1，2，4，8}是否具有性质Ω；
（Ⅱ）若集合A具有性质Ω，且A中所有元素能构成等比数列，A⊗A中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值；
（Ⅲ）若集合A具有性质Ω，且A⊗A中的所有元素能构成等比数列．问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）按照定义A⊗A判断即可；（Ⅱ）当n≥4时，判断A⊗A中元素个数即可；（Ⅲ）因为ai＞0（i＝1，2，⋯，n），不妨设a1＜a2＜a3＜⋯＜an﹣1＜an，对n分类讨论A⊗A中元素个数即可．
解：（Ⅰ）A1⊗A1＝{2，4，8}，A2⊗A2＝{2，4，8，16，32}，
则A1具有性质Ω；A2不具有性质Ω．
（Ⅱ）当A中的元素个数n≥4时，
不妨设元素依次为a1，a2，⋯，an构成等比数列，则a1an＝a2an﹣1，
其中a1，a2，an﹣1，an互不相同．
这与A具有性质Ω，A⊗A中恰有Cn2=n(n−1)2个元素矛盾，
即任取A中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同矛盾．
当A中的元素个数恰有3个时，取A＝{1，2，4}时满足条件，
所以集合A中的元素个数最大值为3．
（Ⅲ）ai＞0（i＝1，2，⋯，n），不妨设a1＜a2＜a3＜⋯＜an﹣1＜an，
所以a1a2＜a1a3＜⋯＜an﹣2an＜an﹣1an．
（1）当n＞5时，a1a2，a1a3，⋯，an﹣2an，an﹣1an构成等比数列，
所以a1a3a1a2=⋯=an−1anan−2an，即a2an﹣1＝a3an﹣2，其中a2，an﹣1，a3，an﹣2互不相同．
这与A⊗A中恰有Cn2=n(n−1)2个元素，
即任取A中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾．
（2）当n＝5时，a1a2，a1a3，⋯，a3a5，a4a5构成等比数列，第3项是a2a3或a1a4．
①若第3项是a2a3，则a1a3a1a2=a2a3a1a3=⋯=a4a5a3a5，即a3a2=a2a1=⋯=a4a3，
即a2a1=a4a3，所以a2a3＝a1a4，与题意矛盾．
②若第3项是a1a4，则a1a3a1a2=a1a4a1a3=⋯=a4a5a3a5，即a3a2=a4a3=⋯=a4a3，
即a3a2=a4a3，所以a2，a3，a4成等比数列，设公比为q，
则A⊗A中等比数列的前三项为：
a1a2，a1a3，a1a4，其公比为q，第四项为a1a2q3，第十项为a1a2q9．
（ⅰ）若第四项为a2a3，则a2a3=a1a2q3，即a2•a3a2=a1•q3，得a2=a1q2，
又a4a5=a1a2q9，即a5•a4a2=a1•q9，得a5=a1q7，
此时A中依次为a1，a1q2，a1q3，a1q4，a1q7，显然a1a5＝a3a4，不合题意．
（ⅱ）若第四项为a1a5，则a1a5=a1a2q3，得a5=a2q3，又a4a5=a1a2q9，得a2=a1q4，
此时A中依次为a1，a1q4，a1q5，a1q6，a1q7，显然a2a5＝a3a4，不合题意．
因此，n≤4．取A＝{1，2，4，16}满足条件．
所以A中的元素个数最大值是4．
【点评】本题考查等比数列的性质，考查集合的新定义，属于难题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
C
C
B
B
A