2024-2025学年福建省莆田市高一上册期末联考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省莆田市高一上册期末联考数学检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合为自然数集N，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
5．对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
7．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．，为奇数
B．，二次函数的图象关于轴对称
C．“”是“”的必要条件
D．与是同一函数
10．若，则，中不可能是最大值的是（ ）
A．B．C．D．
11．函数， 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在上单调递减
C．函数的图象关于点对称
D．该函数的周期是
12．下列结论正确的有（ ）
A．函数图象关于原点对称
B．函数定义域为且对任意实数恒有.则为偶函数
C．的定义域为，则
D．的值域为，则
三、填空题（本大题共4小题）
13．函数的定义域是 ．
14．扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为 .
15．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向 (左、右、上、下)平移 个单位长度
16．已知函数，则的单调增区间为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．（1）化简求值
（2）已知为锐角，且满足求的值;
18．已知，其中．
(1)求；
(2)求．
19．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的值域.
20．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为（0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和．
（1）求的表达式；
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．
21．设函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；
(3)已知，，，试比较三个实数a，b，c的大小并说明理由.
22．已知函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．
（1）求m、n的值；
（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．
（3）令g(x)=，若函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数r的取值范围．
答案
1．【正确答案】D
【分析】根据指数函数的性质求出集合B，根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，集合为自然数集N，
故，
故选：D
2．【正确答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．
【详解】推不出，所以“”是“”非充分条件，
推出，“”是“”必要条件.
故选：．
本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．
3．【正确答案】C
【分析】根据幂函数的概念得即或，再根据性质可得时符合题意.
【详解】因为为幂函数，
所以，得或，
当时，为偶函数关于y轴对称，且在上单调递增，不满足题意；
当时，，偶函数关于y轴对称，且在上单调递减，满足题意，
故选：C
4．【正确答案】B
【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.
【详解】的最小正周期是，不符合题意.
在区间上单调递增，不符合题意.
对于，，
所以在区间上单调递增，不符合题意.
对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为，
且在区间上单调递减，B选项正确.
故选：B
5．【正确答案】B
【分析】根据指数函数的图象特点确定的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案.
【详解】对于函数，令，
故的图象过定点，
由于点在角的终边上，则，
故选：B
6．【正确答案】C
【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果.
【详解】将两边同时平方可得，，
可得；
又，所以；
易知，可得；
又,所以.
故选：C
7．【正确答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以，
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，
故选：C.
8．【正确答案】D
【分析】
画出函数的大致图象，令，方程有5个不同的实数解，转化为根的分布问题，分情况讨论即可.
【详解】
函数的大致图象如图所示，对于方程有5个不同的实数解，
令，则在，上各有一个实数解或的一个解为-1，另一个解在内或的一个解为-2，另一个解在内.
当在，上各有一个实数解时，设，则解得；
当的一个解为-1时，，此时方程的另一个解为-3，不在内，不满足题意；
当的一个解为-2时，，此时方程的另一个解为，在内，满足题意.
综上可知，实数a的取值范围为.
故选：D.
9．【正确答案】BC
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，当是整数时，是偶数，故为假命题.
B选项，二次函数的对称轴为轴，所以B选项正确.
C选项，当时，，
所以“”是“”的必要条件，所以C选项正确.
D选项，的定义域是，的定义域是，
所以不是同一函数，故为假命题.
故选：BC
10．【正确答案】ABC
【分析】利用基本不等式可比较大小，判断B，C；利用作差法可比较的大小，判断A，D.
【详解】由于，则，
故，，则，不可能是最大值，B，C符合题意；
由于，
当时，，，
故，
即，故不可能是最大值，A符合题意，
故选：ABC
11．【正确答案】BCD
【分析】根据函数的图象，结合函数周期、对称性以及最值求出参数，可得函数解析式，由此结合正弦函数的对称性、单调性以及周期，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由函数的图象可知，
设函数最小正周期为T，则，则，
又，即，则
由于，故，即，
对于A，，
即函数的图象不关于直线对称，A错误；
对于B，，则，
由于正弦函数在上单调递减，
故函数在上单调递减，B正确；
对于C，，
故的图象关于点对称，C正确；
对于D，结合上面分析可知函数的周期是，正确，
故选：BCD
12．【正确答案】AD
【分析】根据函数的奇偶性定义可判断A；利用赋值法，结合函数奇偶性定义判断B；根据函数的定义域为R，列不等式求解，可判断C；根据函数的值域为R，列不等式求解，可判断D.
【详解】对于A，的定义域为R，满足，
即为奇函数，其图象关于原点对称，A正确；
对于B，令，则，
令，则，
即为奇函数，B错误；
对于C，的定义域为，即在R上恒成立，
故，即，C错误；
对于D，的值域为，即能取到内的所有值，
故或，即，D正确，
故选：AD
易错点点睛：解答本题容易出错的是选项C、D的判断，解答时要注意区分定义域和值域为R时的区别，列出的不等式是不一样的，因此要特别注意这一点.
13．【正确答案】，
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】解：函数中，
令，
解得，
所以的定义域是，．
故，．
14．【正确答案】2
【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.
【详解】则该扇形的面积为2，
故2.
15．【正确答案】 右 /
【分析】化简函数解析式为，根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答案.
【详解】由于函数，
故为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
故右；
16．【正确答案】/（-1，1）
【分析】先求定义域为，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.
【详解】因为，解得：，所以的定义域为.
令，则.
要求的单调增区间，只需.
所以，所以的单调增区间为.
故答案为.
17．【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据对数的运算法则，即可求得答案；
（2）解方程求出，利用诱导公式化简，结合齐次式法求值，即可得答案.
【详解】（1）
；
（2）因为为锐角，且满足，
解得，（负值舍），
故.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意，先确定的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后把凑成的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可；
（2）结合（1）中结论，利用二倍角公式求得和的值，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，且，所以．
因为，，所以，
则，
又因为，所以．
（2）由（1）可得，，
因为，
则，
所以
19．【正确答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间；
（2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的值域.
【详解】（1）解：因为
，
所以，函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）解：当时，，则，
因此，函数在区间上的值域为.
20．【正确答案】（1）；（2）宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．
（1）根据距离为时，测算宿舍建造费用为20万元，可求的值，由此，可得的表达式；
（2），利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则，解得k=900，所以，则；
（2）因为，当且仅当，即时取等号，此时总费用最小．
答：宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
21．【正确答案】(1)；
(2)减函数，证明见解析；
(3)，理由见解析.
【分析】（1）列出关于的方程，解之即可求得的值；
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数为减函数；
（3）先比较三个自变量的大小，再利用函数为减函数即可得到a，b，c的大小关系.
【详解】（1）奇函数定义域为R
则，解之得，经检验符合题意.
（2）由（1）得易得函数在R上单调递减，证明如下：
设任意，，
则，
由，可得，则，
又，
则，则
则为R上减函数.
（3）由为R上增函数，可得，
由为上增函数，可得，
由为R上增函数，可得，
则，又由（2）得为R上减函数，
则，则
22．【正确答案】（1）m=1，n=2；（2）k＜﹣；（3）[﹣，3]．
【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．
（2）求出函数f（x）的最小值，即可求解k的范围．
（3）问题转化为r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，通过换元得到r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，求出k的范围即可．
【详解】（1）函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．
可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2，
（2）由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，
不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，
可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，
f（x）=x2﹣3x+2在x∈[0，5]上的最小值为：f（）=﹣，可得k＜﹣．
（3）g(x)==x+﹣3，函数F（x）=g（2x）﹣r•2x在x∈[﹣1，1]上有零点，
即g（2x）﹣r•2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，
即r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，
令t=，则r=2t2﹣3t+1，
∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，
即r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，
r=2k2﹣2t+1=2（t﹣）2﹣，（≤t≤2），
∴﹣≤r≤3，∴r的范围是[﹣，3]．