2024-2025学年福建省厦门市高一上册期末数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省厦门市高一上册期末数学质量检测试题（附解析），共24页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，5）＝1等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1}B．{1，2}C．{2，3}D．{3，4}
2．（5分）已知a＞1，lg4a+lga2＝，则a的值可以为（ ）
A．3B．4C．6D．8
3．（5分）已知sinx＝，csx＝，且x∈（，2π），则tanx＝（ ）
A．B．C．或﹣D．
4．（5分），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
5．（5分）命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A．B．C．2D．
6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）内单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x﹣8在[5，20]上不单调，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，6]B．[21，+∞）
C．（﹣∞，6]∪[21，+∞）D．（6，21）
8．（5分）已知函数，函数g（x）＝x2，若函数y＝f（x）﹣g（x）有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（5，+∞）B．C．D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若函数f（x）＝2x+x﹣4的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k＝1
B．函数y＝a2x+2﹣2的图象恒过一定点，这个定点是（﹣1，﹣1）
C．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件
D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根和一负根”的充要条件
10．（6分）已知b＜a＜0，则下列选项正确的是（ ）
A．a2＞b2B．a+b＜abC．|a|＜|b|D．ab＞b2
11．（6分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）＝|2x﹣6|﹣2，则（ ）
A．f（x）＝f（x+4）
B．f（x）在（﹣1，1）上单调递减
C．f（2024.5）＝1
D．函数g（x）＝2f（|x|）﹣|lg2|x||恰有8个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）若一个半径为2的圆剪去一个圆心角为108°的扇形，则剩余部分的周长是 ．
13．（5分）已知函数f（x）＝，
（Ⅰ）f[f（﹣1）]＝ ；
（Ⅱ）若f（a）＝4，则a＝ ．
14．（5分）当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务．平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）．已知旧家具的形状为长方体．小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米．记旧家具在地面的投影为矩形EFGH，其中宽度EH＝1.2米．请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度EF为 米（结果精确到0.1米）．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+3（a，b∈R）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，1），求a、b的值；
（2）若f（1）＝4，a＞0，b＞0，求的最小值；
16．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
17．（15分）函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝．
（Ⅰ）判断函数f（x）在[0，+∞）的单调性，并给出证明；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈[﹣1，1]，不等式f（k﹣t2）+f（2t﹣2t2﹣3）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
18．（17分）某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax+b；②y＝ax2+bx+c；③；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（3）利用你选取的函数，若存在x∈（10，+∞），使得不等式成立，求实数k的取值范围．
19．（17分）定义函数．
（1）设函数，求函数y＝f（x）的值域；
（2）设函数，，当时，恒有f（x）＝f1（x）成立，求实常数P的取值范围；
（3）设函数为正常数，若关于x的方程f（x）＝m（m为实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）．
数学试题
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1}B．{1，2}C．{2，3}D．{3，4}
【考点】求集合的交集．
【正确答案】D
【分析】由集合的性质和交集的运算求出即可．
解：由题意得x2﹣5≥0，则有，
所以A∩B＝{3，4}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2．（5分）已知a＞1，lg4a+lga2＝，则a的值可以为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【考点】对数的运算性质．
【正确答案】B
【分析】利用对数换底公式，对数方程，利用代数变换求解未知数，然后利用对数的基本性质求解即可．
解：由题意可得，
设lg2a＝x，
可得，
解得x1＝1或x2＝2，
所以lg2a＝1或lg2a＝2，
所以a＝2或4．
故选：B．
【点评】本题考查了对数换底公式的应用，考查了对数的基本性质，属于基础题．
3．（5分）已知sinx＝，csx＝，且x∈（，2π），则tanx＝（ ）
A．B．C．或﹣D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【正确答案】D
【分析】由同角三角函数的基本关系求解即可．
解：已知sinx＝，csx＝，且x∈（，2π），
又sin2x+cs2x＝1，sinx＜0，csx＞0，
则m2﹣8m＝0，
即m＝0或m＝8（舍），
则，csx＝，
即tanx＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系，属基础题．
4．（5分），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较；指数函数的图象；指数函数的单调性与最值．
【正确答案】C
【分析】根据幂函数以及指数函数的单调性即可判断求解．
解：因为函数y＝在（0，+∞）上单调递增，所以a＞c，
又函数y＝（）x是单调递减函数，则b＜c，
所以a＞c＞b，
故选：C．
【点评】本题考查了幂函数以及指数函数的单调性，考查了学生的理解能力，属于基础题．
5．（5分）命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A．B．C．2D．
【考点】存在量词命题真假的应用．
【正确答案】B
【分析】由题意可知，￢p：∀x∈R，x2+bx+1＞0是真命题，所以Δ＜0，从而求出b的取值范围．
解：∵命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0是假命题，
∴￢p：∀x∈R，x2+bx+1＞0是真命题，
∴Δ＝b2﹣4＜0，
解得﹣2＜b＜2，
∴实数b的值可能是﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了特称命题的否定，考查了二次函数的性质，属于基础题．
6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）内单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【正确答案】D
【分析】由偶函数的性质可得f（﹣x）＝f（x），再结合f（x）在[0，+∞）内单调递减，可得结论．
解：f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）＝f（﹣x），
f（﹣）＝f（），
由于∈（2，3），π＞3，
则0＜＜π，
由f（x）在[0，+∞）内单调递减，
可得f（0）＞f（）＞f（π），
即有f（π）＜f（﹣）＜f（0）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x﹣8在[5，20]上不单调，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，6]B．[21，+∞）
C．（﹣∞，6]∪[21，+∞）D．（6，21）
【考点】二次函数的性质与图象．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】根据函数f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x﹣8在[5，20]上不单调，可得函数f（x）的对称轴x＝k﹣1属于区间（5，20），从而解出k的取值范围即可．
解：根据题意，二次函数f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x﹣8的对称轴为x＝k﹣1，
∵函数f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x﹣8在[5，20]上不单调，
∴5＜k﹣1＜20，即6＜k＜21．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质与图象，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
8．（5分）已知函数，函数g（x）＝x2，若函数y＝f（x）﹣g（x）有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（5，+∞）B．C．D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【正确答案】B
【分析】当x＞0时，y＝lgx与g（x）＝x2有1个交点．
要使函数y＝f（x）﹣g（x）有3个零点，只需：x≤0时，y＝a|x+|﹣与g（x）＝x2有两个交点即可，结合图象即可求解．
解：当x＞0时，y＝lgx与g（x）＝x2有1个交点．
要使函数y＝f（x）﹣g（x）有3个零点，
只需：x≤0时，y＝a|x+|﹣与g（x）＝x2有两个交点即可（如图）．
过点（﹣，﹣）作g（x）＝x2（x＜0）的切线，设切点为（m，m2）
切线方程为y﹣m2＝2m（x﹣m），把点（﹣，﹣）代入上式得m＝﹣，
∴切线斜率为2m＝﹣5．
a（0+）﹣＜0，解得a＜，
∴实数a的取值范围为（5，）．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的几何意义，函数的零点与函数图象的关系，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若函数f（x）＝2x+x﹣4的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k＝1
B．函数y＝a2x+2﹣2的图象恒过一定点，这个定点是（﹣1，﹣1）
C．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件
D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根和一负根”的充要条件
【考点】函数零点的判定定理；充分条件与必要条件；命题的真假判断与应用；指数函数的单调性与最值．
【正确答案】ABD
【分析】根据零点存在定理、指数函数的图象与性质、不等式的性质、及二次函数根的分布可判断各选项．
解：对于A：函数f（x）是单调函数，故函数最多存在一个零点，且f（1）＝21+1﹣4＝﹣1＜0，f（2）＝22+1﹣4＝1＞0，由函数零点存在定理可得，函数的零点在区间（1，2）内，故k＝1．所以A正确；
对于B：函数y＝a2x+2﹣2，令2x+2＝0，得x＝﹣1，此时y＝a0﹣2＝﹣1，
∴函数y＝a2x+2﹣2的图象过定点（﹣1，﹣1），所以B正确；
对于C：“x＞y“推不出“|x|＞|y|“，所以C错误；
对于D：方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根（设为 x1，x2 ）等价于，
即m＜0，
则“m＜0”是“关于 x 的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件，所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及函数的性质，不等式的性质以及一元二次方程根的分布及充分必要条件的判定，属于基础题．
10．（6分）已知b＜a＜0，则下列选项正确的是（ ）
A．a2＞b2B．a+b＜abC．|a|＜|b|D．ab＞b2
【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．
【正确答案】BC
【分析】利用不等式的基本性质解题．
解：∵b＜a＜0．
∴b2＞a2，∴A错误．
∵a+b＜0，ab＞0，∴B正确．
∵|a|＜|b|，∴C正确．
∵ab＜b2，∴D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查不等式成立的简单证明，属于基础题．
11．（6分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）＝|2x﹣6|﹣2，则（ ）
A．f（x）＝f（x+4）
B．f（x）在（﹣1，1）上单调递减
C．f（2024.5）＝1
D．函数g（x）＝2f（|x|）﹣|lg2|x||恰有8个零点
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的奇偶性．
【正确答案】AC
【分析】对于选项A，由已知可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）；对于选项B，由已知条件作出f（x）的部分图象可判断；对于选项C，结合函数的周期性可判断；对于选项D，结合函数的性质，作出y＝f（x）与在（0，+∞）上的图象，观察两者的交点个数即可．
解：已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）＝|2x﹣6|﹣2，
对于选项A，
由f（x+2）＝﹣f（x），
得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即选项A正确；
对于选项B，当x∈[0，2）时，x+2∈[2，4），
则f（x+2）＝|2x﹣2|﹣2＝﹣f（x），
得f（x）＝﹣|2x﹣2|+2，
画出f（x）的部分图象如图所示．
由图可得f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
即选项B错误；
对于选项C，f（2024.5）＝f（4×506+0.5）＝f（0.5）＝﹣f（2.5）＝﹣|5﹣6|+2＝1，
即选项C正确；
对于选项D，因为g（﹣x）＝2f（|﹣x|）﹣|lg2|﹣x||＝2f（|x|）﹣|lg2|x||＝g（x），
所以g（x）为偶函数，
当x＞0时，令g（x）＝0，
得，
画出函数的图象，
因为，
所以f（x）与在（0，+∞）上的图象只有8个零点，
根据函数奇偶性可得g（x）恰有16个零点，
即选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了函数的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）若一个半径为2的圆剪去一个圆心角为108°的扇形，则剩余部分的周长是 ．
【考点】弧长公式；扇形面积公式．
【正确答案】．
【分析】由角度与弧度的互化公式，求出剩余部分扇形的圆心角，然后由弧长公式求解即可．
解：由题意可知，剩余部分仍然是一个扇形，圆心角为252°，即，
所以剩余部分的周长为＝．
故．
【点评】本题考查了角度与弧度的互化公式的应用，扇形的弧长公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
13．（5分）已知函数f（x）＝，
（Ⅰ）f[f（﹣1）]＝ 3 ；
（Ⅱ）若f（a）＝4，则a＝ ﹣1或12 ．
【考点】函数的值．
【正确答案】（Ⅰ）3．
（Ⅱ）﹣1或12．
【分析】（Ⅰ）由题意利用分段函数的先求出 f（﹣1）的值，可得要求式子的值．
（Ⅱ）由题意，分类讨论a的范围，可得a的值．
解：（Ⅰ）函数f（x）＝，∴f（﹣1）＝1+2+1＝4，
f[f（﹣1）]＝f（4）＝lg28＝3，
故3．
（Ⅱ）f（a）＝4，则①或 ②，
解①可得a＝﹣1，解②可得a＝12，
故﹣1或12．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．
14．（5分）当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务．平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）．已知旧家具的形状为长方体．小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米．记旧家具在地面的投影为矩形EFGH，其中宽度EH＝1.2米．请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度EF为 2.6 米（结果精确到0.1米）．
【考点】三角函数应用．
【正确答案】2.6．
【分析】延长EF与直角过道的边相交于M、N，由EF＝MN﹣ME﹣NF表示出EF，设进行换元，利用单调性即可求解．
解：依题意设∠PHG＝β，，延长EF与直角过道的边相交于M、N，
则∠OMH＝∠NGF＝β，
所以，，FN＝1.2tanβ，
又EF＝MN﹣ME﹣NF，
则，．
设，
因为，所以，
所以，
则，
再令m＝3t﹣2，，
则，
因为在上单调递增，且，
又在（0，+∞）上单调递减，
所以在上单调递减，
故当，即，时，EF取得最小值，
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的家具的高度的最大值为2.6米．
故2.6．
【点评】本题考查了三角函数在生活中的实际运用，考查了转化思想及三有恒等变换，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+3（a，b∈R）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，1），求a、b的值；
（2）若f（1）＝4，a＞0，b＞0，求的最小值；
【考点】二次函数的性质与图象；一元二次不等式及其应用；基本不等式及其应用．
【正确答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2．
（2）25．
【分析】（1）分析可知关于x的二次方程ax2+bx+3＝0的两根分别为﹣3、1，利用韦达定理可求得实数a、b的值；
（2）由已知可得出a+b＝1，将代数式与a+b相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
解：（1）由题意可知，关于x的二次方程ax2+bx+3＝0的两根分别为﹣3、1，且a＜0，
所以，解得．
（2）因为a＞0，b＞0，f（1）＝a+b+3＝4，可得a+b＝1，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为25．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了基本不等式应用问题，是基础题．
16．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【正确答案】（Ⅰ）f（x）＝2sin（2x﹣）；（Ⅱ）[]（k∈Z）．
【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的图象和性质的应用求出函数的关系式；
（Ⅱ）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调递减区间．
解：（Ⅰ）根据图象的性质，
所以A＝2；
，
整理得：T＝π，
故ω＝2；
当x＝时，f（）＝2sin（φ）＝0，
当x＝时，
由于|φ|＜π，
所以φ＝或；
故函数f（x）＝2sin（2x）或f（x）＝2sin（2x+）；
当x＝时，f（x）＝2sin（2x+）取不到最大值而是取得最小值，故舍去；
故f（x）＝2sin（2x）．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，得到y＝2sin（2x）的图象，y再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变得到g（x）＝2sin（）的图象，
令（k∈Z）；
整理得：（k∈Z）；
故函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的确定，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
17．（15分）函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝．
（Ⅰ）判断函数f（x）在[0，+∞）的单调性，并给出证明；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈[﹣1，1]，不等式f（k﹣t2）+f（2t﹣2t2﹣3）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；由函数的单调性求解函数或参数．
【正确答案】（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上单调递减，证明见解析；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
【分析】（Ⅰ）利用函数单调性的定义判断并证明即可；
（Ⅱ）利用奇函数的定义以及已知的函数解析式，先求出x＜0时的解析式，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅲ）先利用奇函数的定义将不等式进行变形，然后利用函数f（x）的单调性去掉“f”，转化为k＜3t2﹣2t+3对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，利用二次函数的性质求解最值，即可得到k的取值范围．
解：（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上单调递减．
证明如下：
当x≥0时，f（x）＝，
设0≤x1＜x2，
则＝，
因为0≤x1＜x2，
所以x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在[0，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）令x＜0，则﹣x＞0，
又当x≥0时，f（x）＝，
所以f（﹣x）＝，
因为f（x）为R上的奇函数，
所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝，
即x＜0时，f（x）＝，
所以；
（Ⅲ）因为对任意的t∈[﹣1，1]，不等式f（k﹣t2）+f（2t﹣2t2﹣3）＞0恒成立，
即f（k﹣t2）＞﹣f（2t﹣2t2﹣3）对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，
因为f（x）为奇函数，
则f（k﹣t2）＞f（﹣2t+2t2+3）对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，
因为f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（x）为奇函数，
则f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
故f（x）在R上单调递减，
所以k﹣t2＜﹣2t+2t2+3对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，
即k＜3t2﹣2t+3对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，
因为，
所以当t＝时，函数y＝3t2﹣2t+3取得最小值，
则k＜，
故实数k的取值范围为．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，奇函数定义的理解与应用，函数单调性的证明以及函数单调性定义的应用，函数与不等式的综合应用，不等式恒成立问题的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
18．（17分）某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax+b；②y＝ax2+bx+c；③；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（3）利用你选取的函数，若存在x∈（10，+∞），使得不等式成立，求实数k的取值范围．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数的单调性即可判断出结果；
（2）把三个点的坐标代入函数解析式，得到a，b，c的值，从而得到函数解析式，再利用二次函数的性质即可求出最值；
（3）把存在问题转化为最值问题，再利用导数分析出函数g（x）的最值即可．
解：（1）：随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax+b 和y＝ 显然都是单调函数，不满足题意，
∴选择y＝ax2+bx+c；
（2）把点（2，10，），（6，78），（20，120）代入y＝ax2+bx+c 中，
得，解得，
∴
∴当x＝10 时，y有最小值ymin＝70，
故当纪念章上市10天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为70元；
（3）由题意，令g'（x）＝，
若存在x∈（10，+∞） 使得不等式g（x）﹣k≤0 成立，则须k≥g（x）min，
又，当且仅当x＝10+2 时，等号成立，
所以 ．
【点评】本题主要考查了函数的实际运用，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．
19．（17分）定义函数．
（1）设函数，求函数y＝f（x）的值域；
（2）设函数，，当时，恒有f（x）＝f1（x）成立，求实常数P的取值范围；
（3）设函数为正常数，若关于x的方程f（x）＝m（m为实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数与方程的综合运用；函数的值域．
【正确答案】（1）（0，1）；
（2）p∈[﹣，]；
（3）p∈（lg23，+∞）；三个解的为p或 ．
【分析】（1）由题意可得f1（x），f2（x）在[0，+∞）上单调递增，且有f1（1）＝f2（1）＝1，分0≤x≤1和x＞1分别求出f（x）的解析式，再求出值域即可；
（2）由题意可得p≤g（x）min且p≥h（x）max，根据函数的单调性分别求出g（x）min，h（x）max即可；
（3）分x≤0、0＜x≤p、x＞p分别求出f（x）的解析式，结合函数的单调性及f（x）＝m（m为实常数）恰有三个不同的解，求解即可．
解：（1）因为f1（1）＝1，f2（1）＝1，
又因为f1（x）＝在[0，+∞）上单调递增，
f2（x）＝在[0，+∞）上单调递增，
所以当0≤x≤1，f1（x）≤f2（x），
此时f（x）＝f1（x）＝∈[0，1]，
当x＞1时，f1（x）＞f2（x）＝∈（0，1），
综上所述，函数y＝f（x）的值域为[0，1]；
（2）由题意可得0＜x≤时，f1（x）≤f2（x），
即lg（|p﹣x|+1）≤lg在0＜x恒成立，
等价于|p﹣x|≤﹣1⇔1﹣≤x﹣p≤﹣1⇔，在0＜x恒成立，
令g（x）＝x+﹣1（0＜x），h（x）＝x﹣+1（0＜x），
则问题等价于p≤g（x）min且p≥h（x）max，
因为g（x）min＝g（）＝，
h（x）max＝h（）＝﹣，
故﹣≤p≤，
所以实数p的取值范围为[﹣，]；
（3）由题意得f1（x）＝，f2（x）＝，其中p＞0，
所以f1（x）＞0，f2（x）＞0，2p＞1，
当x≤0时，
＝＝＜1，
所以f1（x）≤f2（x），
所以f（x）＝f1（x）＝2﹣x，
假设2p≤3，当0＜x≤p时，
＝＝•22x﹣p≤•2p≤1，
所以f1（x）≤f2（x），
所以f（x）＝f1（x）＝2x，
综上所可知，f（x）＝f1（x）＝2|x|，
此时f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
这与方程f（x）＝m恰有三个不同的解矛盾，不符合题意，
故2p＞3，
当0＜x≤p时，
＝＝•22x﹣p，
由•22x﹣p≤1，得x≤，
所以f（x）＝，
当x＞p时，
＝＝＞1，
f1（x）＞f2（x），
所以f（x）＝f2（x）＝3•2x﹣p，
由此可知，当p＞lg23时，
f（x）＝，
故f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，此时f（x）∈[1，+∞），
f（x）在（0，]上单调递增，此时f（x）∈（1，]；
f（x）在（，p]上单调递减，此时f（x）∈[3，）；
f（x）在（p，+∞）上单调递增，此时f（x）∈（3，+∞）；
因为关于x的方程f（x）＝m恰有三个不同的解，
所以m＝3或m＝，
当m＝3时，由f（x）＝3得x＝﹣lg23或x＝lg23或x＝p，三个解的和为p；
当m＝时，由f（x）＝，得x＝﹣或x＝或x＝，
所以三个解的和为，
综上所述，p＞lg23，三个解的为p或 ．
【点评】本题考查了分类讨论思想、指数函数、对数函数的性质，也考查了转化思想，属于难题．
上市时间x天
2
6
20
市场价y元
102
78
120
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