2024-2025学年江苏省镇江市高二上册期末考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省镇江市高二上册期末考试数学检测试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 45°B. 60°C. 135°D. 150°
2. 已知，则的值为（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
3. 已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在四面体中，点满足，若，则（ ）
A B. C. D. 1
6. 若是函数的极大值点，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 或
7. 某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（ ）
A. 6千台B. 7千台C. 8千台D. 9千台
8. 某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A 600种B. 1080种C. 1200种D. 1560种
二、多选题（每小题5分共20分：选错不得分，漏选得2分）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
11. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
12. 已知数列满足，则（ ）
A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为单调递减数列
D. 的前n项和
三、填空题（每小题5分共20分）
13 若，则_____________.
14. 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数__________.
15. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为___．
16. 若直线是曲线与曲线的公切线，则______．
四、解答题（17题10分，18-22每题12分）
17. 已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值和函数的极值；
（2）当时，求函数的最小值.
18. 已知圆
（1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线方程；
（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．
19. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式
（2）设，求数列的前项和
20 名男生和名女生站成一排．
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？
（4）男、女相间的站法有多少种？
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
21. 如图，在平行六面体中，，，，，设，，.
（1）用向量，，表示并求
（2）求的值和异面直线与的夹角余弦值.
22. 设函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若函数在区间内恰有两个零点，试求的取值范围．
2024-2025学年江苏省镇江市高二上学期期末考试数学检测试题
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.
一、单选题（每小题5分共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 45°B. 60°C. 135°D. 150°
【正确答案】C
【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率，利用即可算出所求的倾斜角大小．
【详解】根据题意：，
所以该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，且，
可得．
故选：C
2. 已知，则的值为（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【正确答案】B
分析】对求导代入求出得到，代入0可得答案.
【详解】根据题意,，
则其导数，
令可得：，解可得，
则有，
故.
故选：B.
3. 已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据已知条件可确定圆心和半径，写出圆的标准方程即可.
【详解】由已知圆心坐标为，半径为1，
所以圆的方程为.
故选.
4. 函数的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】对求导后，解不等式即可.
【详解】因为(),
所以,
令,解得：,
故函数()的单调增区间是 .
故选：B.
5. 在四面体中，点满足，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】B
【分析】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解.
【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则，
可得，
因为，可得，
所以.
故选：B.
6. 若是函数的极大值点，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【正确答案】B
【分析】根据已知条件可得a的值，运用导数分别计算与时函数的极大值点即可求得结果.
【详解】因为，且是的极值点．
所以，解得或．
①若，则．
当或时；当时，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以是的极小值点，
所以不合题意．
②若，则．
当或时；当时，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增．
所以是的极大值点，
所以符合题意．
综述：
故选：B．
7. 某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（ ）
A. 6千台B. 7千台C. 8千台D. 9千台
【正确答案】A
【分析】根据题意，得到利润，利用导数求得函数的单调区间与极大值（最大值），即可求解.
【详解】根据题意，设利润为万元，则，所以，
令，解得（舍去）或，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也为最大值，
所以应生产6千台该产品时，利润最大.
故选:A.
8. 某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A. 600种B. 1080种C. 1200种D. 1560种
【正确答案】D
【分析】分三类：用5种、4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不同的涂色方案.
【详解】若用5种颜色，从6种颜色任选5种再作全排，即种；
若用4种颜色，从6种颜色任选4种有种，
再任选一种颜色涂在其中一组对面上有种，其它3种颜色作全排有，
所以，共有种；
若用3种颜色，从6种颜色任选3种有种，
再任选两种颜色涂在两组对面上种，余下的一种颜色涂在底面有1种，
所以，共有种；
综上，不同的涂色方案有种.
故选：D
二、多选题（每小题5分共20分：选错不得分，漏选得2分）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BC
【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：BC
10. 已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BD
【分析】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可.
【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为，
当焦点为时，可知抛物线方程为：；
当焦点为时，可知抛物线方程为.
故选：BD
11. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
【正确答案】ABD
【分析】利用组合的概念进行计算即可判断A；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断B；利用间接法进行分析判断即可判断C，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断D.
【详解】对于A：若任意选择三门课程，选法总数为，故A错误；
对于B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法；
若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，而，故B错误；
对于C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确；
对于D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法；
②选化学，不选物理，有种选法；
③物理与化学都选，有种选法.
故总数，故D错误.
故选：ABD
12. 已知数列满足，则（ ）
A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为单调递减数列
D. 的前n项和
【正确答案】BCD
【分析】，则得到为等差数列，即可判断A，求出其通项，即可判断A，利用函数单调性即可判断C，利用等差数列的前和公式即可判断D.
【详解】因为，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；
，即，故选项B正确；
根据函数在上单调递增，且，则函数在上单调递减，
又因为，，则数列为单调递减数列，故选项C正确；
前项和，故选项D正确,
故选：BCD.
三、填空题（每小题5分共20分）
13. 若，则_____________.
【正确答案】
【分析】根据排列数、组合数公式计算可得.
【详解】因为，，且，
又，所以，即，
解得或（舍去）.
故
14. 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数__________.
【正确答案】22个
【分析】根据千位为1和不为1，由排列组合即可求解.
【详解】当千位和百位分别为1，3时，则十位和个位有个符合条件的,
当千位和百位分别为1，4时，则十位和个位有个符合条件的,
当千位为不为1时，共有个符合条件,
故共有个,
故答案为:22个
15. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为___．
【正确答案】18
【分析】根据给定条件，求出椭圆的长半轴长及半焦距即可得解.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，
因此，
所以的周长为.
故18
16. 若直线是曲线与曲线的公切线，则______．
【正确答案】5
【分析】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求．
【详解】由，得，由，解得，
则直线与曲线相切于点，
∴，得，
∴直线是曲线的切线，
由，得，设切点为，
则，且，联立可得，
解得，所以．
∴．
故5．
四、解答题（17题10分，18-22每题12分）
17. 已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值和函数的极值；
（2）当时，求函数的最小值.
【正确答案】（1），，
（2）
【分析】（1）由题意得，代入求值，再求出函数的单调性，即可求出函数的极值；
（2）结合（1）可得函数的单调性，求端点函数值，从而求出函数的最小值．
【小问1详解】
函数，则，
又函数在处取得极值，
所以有；
此时，则，
所以当或时，当时，
所以，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意，
所以，；
【小问2详解】
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为和中较小的一个，
又，，
故函数在上的最小值为.
18. 已知圆
（1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．
【正确答案】（1）或
（2）或
【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，
（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.
【小问1详解】
圆
化为标准方程为，
所以圆C的圆心为，半径为
①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为即
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，
所以，即，
解得，所以直线方程为
综上，所求直线的方程为或
【小问2详解】
依题意，设
又已知圆C的圆心为，半径为2，
由两圆外切，可知，
所以，
解得或所以或，
所以所求圆D的方程为或
本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题．
先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程．
设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D的方程．
19. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式
（2）设，求数列的前项和
【正确答案】（1）或；（2）见解析.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解；
（2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n项和公式即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得或，
所以或；
（2）当时，，
此时；
当时，，
此时.
20. 名男生和名女生站成一排．
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？
（4）男、女相间的站法有多少种？
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【正确答案】（1）种
（2）种
（3）种
（4）种
（5）种
【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（3）按捆绑法排列即可；
（4）按插空法排列即可；
（5）按部分均匀的排列方法求解即可.
【小问1详解】
先排甲有种，其余有种，
共有种排法.
【小问2详解】
先排甲、乙，再排其余人，
共有种排法.
【小问3详解】
把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，共种.
【小问4详解】
先排名男生有种方法，
再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，
故共有种排法.
【小问5详解】
人共有种排法，
其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法．
21. 如图，在平行六面体中，，，，，设，，.
（1）用向量，，表示并求
（2）求的值和异面直线与的夹角余弦值.
【正确答案】（1），；
（2）1，.
【分析】（1）利用空间向量的基底表示，再利用数量积的运算律计算得.
（2）利用向量数量积的运算律及夹角公式求解即得.
【小问1详解】
在平行六面体中，，
由，，得，，
所以.
【小问2详解】
依题意，，则，
，则，
所以异面直线与的夹角余弦值为.
22. 设函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若函数在区间内恰有两个零点，试求的取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）单调区间见解析，函数有极小值，无极大值．
（3）
【分析】（1）根据导数几何意义得曲线在点处的切线斜率为，因为，所以根据点斜式可得切线方程；
（2）先求函数导数，再讨论导函数在定义区间内零点：当时，无零点，在上单调递增，函数无极值；当时，一个零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，并根据导函数符号变化规律确定极值；
（3）由（2）知，再由零点存在定理解得的取值范围．
【小问1详解】
当时，，则，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
【小问2详解】
由，得（）．
①当时，，函数在上单调递增，函数既无极大值，也无极小值；
②当时，由，得或（舍去）．
于是，当变化时，与的变化情况如下表：
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
函数在处取得极小值，无极大值．
综上可知，当时，函数的单调递增区间为，函数既无极大值也无极小值；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间为，函数有极小值，无极大值．
【小问3详解】
当时，由（2）知函数在区间上单调递增，
故函数在区间上至多有一个零点，不合题意．
当时，由（2）知，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为．
若函数在区间内恰有两个零点，则需满足，
即，整理得，所以．
故所求的取值范围为．
方法点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
单调递减
单调递增