2024-2025学年辽宁省鞍山市高三上册12月联考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省鞍山市高三上册12月联考数学检测试卷（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设全集，集合，，则集合中的元素个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
2．已知，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．过圆上的两点分别作圆的切线，若两切线的交点恰好在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
7．某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥型边料，测得在此三棱锥中，侧面底面，且，该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，是的导函数，则下列说法错误的是（ ）
A．“”是“为奇函数”的充要条件
B．“”是“为增函数”的充要条件
C．若不等式的解集为且，则的极小值为
D．若、是方程的两个不同的根，且，则或
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，则（ ）
A．的虚部为B．是纯虚数
C．在复平面内所对应的点位于第一象限D．
10．已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为B．的长度为
C．的长度为D．的长度为
11．已知数列的首项为，且，则（ ）
A．存在使数列为常数列
B．存在使数列为递增数列
C．存在使数列为递减数列
D．存在使得恒成立
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，则 .
13．已知函数的部分图象如图所示，则 .
14．已知函数，若函数存在个零点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求的周长．
16．已知数列满足，.
(1)求证：为等比数列；
(2)求数列的前项和.
17．在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接.

(1)求证：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
18．已知的其中两个顶点为，点为的重心，边，上的两条中线的长度之和为，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率存在且不为0的直线与相交于两点，过原点且与直线垂直的直线与相交于两点，记四边形的面积为S，求的取值范围.
19．已知函数.
(1)求证：当时，；
(2)求证：（）.
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为全集，，
所以，，
又因为，故.
因此，集合中的元素个数为.
故选：B.
2．【正确答案】D
【详解】当时，，且，故，C项错误；
因为，，所以，故B项错误；
，故D项正确.
故选：D.
3．【正确答案】A
【详解】解：因为，
所以 ，
，
故选：A
4．【正确答案】C
【详解】令，因为且，则内层函数在上单调递减，
且，可得，
因为函数且在区间上单调递增，
则外层函数为减函数，所以，，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
5．【正确答案】D
【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案.
【详解】设的公差为，因为，，
可得 ，解得，所以，
可得，
所以当时，取得最小值.
故选D.
6．【正确答案】D
【详解】因为圆的方程为，所以圆心，半径.
因为是圆的两条切线，所以，
由圆的知识可知四点共圆，且，
所以，
又，所以当最小，即时，取得最小值，
此时，
所以.
故选D.
7．【正确答案】C
【分析】利用等体积法求得三棱锥内切球的直径，从而确定正确答案.
【详解】如图，设的中点为，连接，因为，
所以，所以，且，
又侧面底面且交线为，平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
又，所以，
因为，所以．
当球形玉珠为三棱锥的内切球时，球形玉珠的直径最大．
设三棱锥的表面积为，内切球的半径为，则，
又，
，故，
所以，
所以磨成的球形玉珠的直径的最大值为．
故选C.
8．【正确答案】B
【详解】对于A选项，若函数为奇函数，
则f−x=−fx，
且，
所以，，
即对任意的x∈R恒成立，则，可得，
所以，“”是“为奇函数”的充要条件，A对；
对于B选项，易得，
因为函数为增函数，则，可得，
所以，“”“”，
若取，则成立，即“”“”，
所以，“”是“为增函数”的充分不必要条件，B错；
对于C选项，因为不等式的解集为且，
则、为方程的两个根，设方程的第三个根为，
则，
若，则不等式的解集为，不合乎题意；
若，则不等式的解集为，合乎题意；
若，则不等式的解集为，不合乎题意；
若，则不等式的解集为，不合乎题意；
若，则不等式的解集为，不合乎题意.
所以，，则，
，列表如下：
所以，函数的极小值为，C对；
对于D选项，若、是方程的两个不同的根，
由韦达定理可得，，
所以，，可得，
由于，解得或，D对.
故选：B.
9．【正确答案】ABC
【详解】对于A选项，，所以，的虚部为，A对；
对于B选项，为纯虚数，B对；
对于C选项，，
所以，在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限，C对；
对于D选项，，所以，，
，所以，，D错.
故选：ABC.
10．【正确答案】AD
【详解】如图所示，
连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点，
交的延长线于点，连接，交于点，连接，
则即为，即为，
由，得，所以，，
由，得，则，
所以，故C错误，D项正确；
由，得，
又易知，得，所以，
所以，故A项正确，B项错，
故选：AD.
11．【正确答案】ABD
【详解】因为，所以，
又，则，设，其中，
所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，，
故当使数列为常数列，故A正确；
当时，由在上单调递增，
又，所以，故B正确；
当时，由在上单调递减，又，
所以，又在上单调递增且，
所以，所以存在使得恒成立，即D正确；
由上述分析可知，不存在使数列为递减数列，故C错误.
故选：ABD
12．【正确答案】
【详解】由题意可得：，
所以，
故
13．【正确答案】
【详解】由图可知：，
所以，可得：，
又，
所以，
可得：，
又，
可得：，
故
14．【正确答案】
【详解】当时，，则，
由f'x>0，可得；由f'x