2024-2025学年辽宁省鞍山市高三上册期末数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省鞍山市高三上册期末数学检测试卷（附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤﹣1}B．{a|﹣1＜a＜3}C．{a|﹣1≤a≤3}D．{a|﹣3＜a＜1}
3．（5分）青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现．某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：cm）近似服从正态分布N（172，σ2），且身高在168cm到176cm之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm的约有（ ）
A．150人B．300人C．600人D．900人
4．（5分）已知sin(α+π3)=13，则cs(2α−π3)=（ ）
A．−79B．79C．−29D．29
5．（5分）在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．224B．212C．26D．24
6．（5分）“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨．某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨．现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（ ）
A．15种B．18种C．19种D．36种
7．（5分）已知平行四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点M是线段BC上一点，则OM→•CM→的最小值为（ ）
A．−916B．916C．−12D．12
8．（5分）若F为双曲线C：x24−y25=1的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，则1|FA|−4|FB|的取值范围是（ ）
A．[14，15]B．[−15，15]C．(−14，0]D．[−14，15]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143．则（ ）
A．成绩的第60百分位数为122
B．成绩的极差为36
C．成绩的平均数为125
D．若增加一个成绩125，则成绩的方差变小
（多选）10．（6分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上、下两个顶点分别为B1、B2，B1F1的延长线交C于A，且AF1=12B1F1，则（ ）
A．椭圆C的离心率为33B．直线AB1的斜率为3
C．△AB1F2为等腰三角形D．AB2：AB1=11：33
（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），若函数f（2x﹣3）的图像关于点（2，1）对称，f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，且f（0）＝0，则（ ）
A．f（x）的图像关于点（1，1）对称
B．f（x+4）＝f（x）
C．f′（1026）＝2
D．i=150 f（i）＝2499
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{a，a2﹣1}，若A∪B＝A，则实数a的值为 ．
13．（5分）已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)=2sin(ωx+2π3)(ω＞0)的值域为[−2，3]，则ω的取值范围为 ．
14．（5分）已知实数x＞0，y＞0，则(x+1)2+(3y+1)2x2+9y2+2的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知{an}是等差数列，a1＝4，且a5﹣4，a5，a5+6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn−bn+1bnbn+1=an，且b1=12，求{bn}的前n项和Tn．
16．如图，已知四棱锥E﹣ABCD，底面ABCD是平行四边形，且∠DAB=π3，AD＝2AB＝2，BE＝PE，P是线段AD的中点，BE⊥PC．
（1）求证：PC⊥平面BPE；
（2）下列条件任选其一，求二面角P﹣EC﹣B的余弦值．
①AE与平面ABCD所成的角为π4；
②D到平面EPC的距离为34．
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分．
17．某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项、或是其中3个选项．该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分．甲、乙、丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为p．
（1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若p=12，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率；
（2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若p=13，试比较乙、丙两同学得分的数学期望的大小．
18．已知圆C过点P（4，1），M（2，3）和N（2，﹣1），且圆C与y轴交于点F，点F是抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点．
（1）求圆C和抛物线E的方程；
（2）过点P作直线l与抛物线交于不同的两点A，B，过点A，B分别作抛物线E的切线，两条切线交于点Q，试判断直线QM与圆C的另一个交点D是否为定点，如果是，求出D点的坐标；如果不是，说明理由．
19．定义：函数f（x）满足对于任意不同的x1，x2∈[a，b]，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|，则称f（x）为[a，b]上的“k类函数”．
（1）若f(x)=x23+1，判断f（x）是否为[1，3]上的“2类函数”；
（2）若f(x)=a(x−1)ex−x22−xlnx为[1，e]上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）为[1，2]上的“2类函数”，且f（1）＝f（2），证明：∀x1，x2∈[1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|＜1．
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由题意求出z，进而解出z，判断z在复平面内对应的点所在象限即可．
解：复数z满足（1﹣i）z＝3+i，
则z=3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i，
所以z=1−2i，
所以z在复平面内对应的点（1，﹣2）位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
2．（5分）已知命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤﹣1}B．{a|﹣1＜a＜3}C．{a|﹣1≤a≤3}D．{a|﹣3＜a＜1}
【分析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再用判别式Δ＜0列不等式求得a的取值范围．
解：命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+12≤0”是假命题，
则它的否定命题“∀x∈R，都有2x2+（a﹣1）x+12＞0”是真命题，
所以Δ＝（a﹣1）2﹣4×2×12＜0，
解得﹣1＜a＜3，
所以实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜3}．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与它的否定命题应用问题，是基础题．
3．（5分）青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现．某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：cm）近似服从正态分布N（172，σ2），且身高在168cm到176cm之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm的约有（ ）
A．150人B．300人C．600人D．900人
【分析】根据正态分布的对称性，求出样本中身高不低于176cm的人数占比，即可得解．
解：设样本中本市高三学生的身高为随机变量X，则X～N（172，σ2），
由题意知，P（168＜X＜176）＝75%＝0.75，
所以P（X≥176）＝0.5−12×0.75＝0.125，
所以样本中身高不低于176cm的约有0.125×1200＝150人．
故选：A．
【点评】本题考查正态分布的对称性，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4．（5分）已知sin(α+π3)=13，则cs(2α−π3)=（ ）
A．−79B．79C．−29D．29
【分析】根据诱导公式，找出所求角与已知角之间的关系，结合二倍角公式运算．
解：cs（2α+2π3）＝cs2（α+π3）＝1﹣2sin2（α+π3）＝1﹣2×19=79，
又2α−π3=（2α+2π3）﹣π，
所以cs（2α−π3）＝cs[（2α+2π3）﹣π]＝﹣cs（2α+2π3）=−79，
故选：A．
【点评】本题考查了二倍角公式，诱导公式等知识，属于基础题．
5．（5分）在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．224B．212C．26D．24
【分析】推导出AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，OB＝OC＝OD=22，BO⊥AD，BO⊥OC，从而BO⊥平面ACD，由此能求出四面体ABCD的体积．
解：在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，
四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，
∴AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，
OB＝OC＝OD=22，BO⊥AD，BO⊥OC，
∴BO⊥平面ACD，
∴四面体ABCD的体积为：
VB﹣ACD=13×S△ACD×BO=13×12×2×22×22=212．
故选：B．
【点评】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨．某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨．现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（ ）
A．15种B．18种C．19种D．36种
【分析】记A＝{只会划左桨的两人}，B＝{只会划右桨的两人}，C＝{既会划左桨又会划右桨的两人}，分三类，①从A中选择2人划左桨，划右桨的在B∪C中选两人，②从A中选择1人划左桨，则从C中选1人划左桨，再从B∪C剩下的3人中选2人划右桨，③从A中选择0人划左桨，则B中的两人划右桨，从C中选2人划左桨，结合分类加法计数原理可得结果．
解：根据题意，记A＝{只会划左桨的两人}，B＝{只会划右桨的两人}，C＝{既会划左桨又会划右桨的两人}，
①从A中选择2人划左桨，划右桨的在B∪C中选两人，共有C22C42=6种，
②从A中选择1人划左桨，则从C中选1人划左桨，再从B∪C剩下的3人中选2人划右桨，共有C21C21C32=12种；
③从A中选择0人划左桨，则B中的两人划右桨，从C中选2人划左桨，共有C22C22=1；
所以不同的选派方法共有6+12+1＝19种．
故选：C．
【点评】本题主要考查组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）已知平行四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点M是线段BC上一点，则OM→•CM→的最小值为（ ）
A．−916B．916C．−12D．12
【分析】根据条件建立坐标系，求出各点坐标，以及对应向量的坐标，代入数量积，结合二次函数的性质即可求解．
解：因为平行四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠DAB＝60°，
对角线AC与BD相交于点O，
故ABCD为菱形，建立如图坐标系；
则A（−3，0），B（0，﹣1），C（3，0），D（0，1）；
故直线BC的方程为：y=33x﹣1；
∵点M是线段BC上一点；
故M（x，33x﹣1）；且 0≤x≤3；
∴OM→=（x，33x﹣1）；CM→=（x−3，33x﹣1）；
故OM→•CM→=x（x−3）+（33x﹣1）2=43x2−533x+1；
对称轴x=538∈[0，3]
∴当x=538时，OM→•CM→取最小值为：43×（538）2−533×538+1=−916；
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于基础题．
8．（5分）若F为双曲线C：x24−y25=1的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，则1|FA|−4|FB|的取值范围是（ ）
A．[14，15]B．[−15，15]C．(−14，0]D．[−14，15]
【分析】求得双曲线的a，b，c，设|AF|＝m，|FB|＝n，F'为双曲线的右焦点，连接BF'，AF'，由对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，运用平行四边形的性质和函数的导数，判断单调性，可得极值、最值，进而得到所求范围．
解：双曲线C：x24−y25=1的a＝2，b=5，c＝3，
设|AF|＝m，|FB|＝n，F'为双曲线的右焦点，连接BF'，AF'，由对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，
可得|BF'|＝|AF|＝m，可得n﹣m＝2a＝4，n＝m+4，
且m≥c﹣a＝1，
则1|FA|−4|FB|=1m−44+m，设f（m）=1m−44+m，m≥1，
f′（m）=−1m2+4(4+m)2=(m−4)(3m+4)m2(4+m)2，
当m＞4时，f′（m）＞0，f（m）递增，1≤m＜4时，f′（m）＜0，f（m）递减，
可得f（m）在m＝4处取得极小值，且为最小值−14，
当m＝1时，f（1）=15，当m→+∞时，f（m）→0，
则f（m）∈[−14，15]，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质和函数的导数的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143．则（ ）
A．成绩的第60百分位数为122
B．成绩的极差为36
C．成绩的平均数为125
D．若增加一个成绩125，则成绩的方差变小
【分析】利用百分位数、极差、平均数、方差的定义可以判断每个选项．
解：将数据按照从小到大的顺序排列依次为：107，114，122，128，136，143，
对于A，6×60%＝3.6，故60百分位数可取第4个数据，即128，A选项错误；
对于B，极差为：143﹣107＝36，B选项正确；
对于C，x=107+114+122+128+136+1436=125，C选项正确；
对于D，设原数据的方差为s12，新数据的方差为s22，由于新增加的一个数据与原始数据的平均数相等，
所以i=16 (xi−x)2=i=17 (xi−x)2，所以s12=i=16 (xi−x)26＜s22=i=17 (xi−x)27，D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查样本的百分位数、极差、平均数、方差的定义，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上、下两个顶点分别为B1、B2，B1F1的延长线交C于A，且AF1=12B1F1，则（ ）
A．椭圆C的离心率为33B．直线AB1的斜率为3
C．△AB1F2为等腰三角形D．AB2：AB1=11：33
【分析】利用椭圆的对称性与定义，可证△AB1F2为等腰三角形，从而判断选项C；在△B1F1F2和△AB1F2中，均运用余弦定理，可求得a=3c，从而判断选项A；根据a，b，c的关系以及直线斜率的计算方法可判断选项B；在△AB1B2中，利用余弦定理求出AB2，可判断选项D．
解：设AF1=12B1F1=m，椭圆的焦距为2c（c＞0），
由椭圆的对称性知，B1F2＝B1F1＝2m，
由椭圆的定义知，B1F2+B1F1＝4m＝2a，即m=a2，
所以AF1=a2，AB1＝AF1+B1F1=32a，
由椭圆的定义知，AF1+AF2＝2a，所以AF2=32a＝AB1，即△AB1F2为等腰三角形，故选项C正确；
在△B1F1F2中，由余弦定理知，cs∠F1B1F2=B1F12+B1F22−F1F222B1F1⋅B1F2=a2+a2−4c22a2=a2−2c2a2，
在△AB1F2中，由余弦定理知，cs∠F1B1F2=AB12+B1F22−AF222AB1⋅B1F2=94a2+a2−94a22⋅32a⋅a=13，
所以a2−2c2a2=13，化简得a=3c，
所以离心率e=ca=33，即选项A正确；
因为b=a2−c2=2c，
所以直线AB1的斜率为bc=2，即选项B错误；
在Rt△OB1F1中，cs∠OB1F1=ba=23，
在△AB1B2中，由余弦定理知，AB22=AB12+B1B22−2AB1⋅B1B2cs∠OB1F1=94a2+4b2﹣2•32a•2b•23
=94a2+4⋅(23a)2−2•32a•2•23a•23=1112a2，
即AB2=1123a，
所以AB2：AB1=1123a：32a=11：33，即选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，熟练掌握椭圆的定义与几何性质，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），若函数f（2x﹣3）的图像关于点（2，1）对称，f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，且f（0）＝0，则（ ）
A．f（x）的图像关于点（1，1）对称
B．f（x+4）＝f（x）
C．f′（1026）＝2
D．i=150 f（i）＝2499
【分析】由函数的对称性和周期性，结合赋值法和导数的运算，对选项判断，可得结论．
解：对于A，因为f（2x﹣3）的图象关于点（2，1）对称，
所以f（2x﹣3）+f（2（4﹣x）﹣3）＝2，即f（2x﹣3）+f（5﹣2x）＝2，
所以f（x﹣3）+f（5﹣x）＝2，即f（x+1）+f（1﹣x）＝2，
所以f（x）的图象关于点（1，1）对称，选项A正确；
由f（0）＝0，2f（1）＝2，即f（1）＝1，f（2）+f（0）＝2，即有f（2）＝2，
又f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，可得f（3）﹣f（1）＝4，解得f（3）＝5，
f（4）﹣f（0）＝8，即有f（4）＝8，
由f（5）﹣f（﹣1）＝12，f（3）+f（﹣1）＝2，可得f（5）＝9≠f（1），故B错误；
由f（1+x）+f（1﹣x）＝2，即f（x）+f（2﹣x）＝2，f（﹣x）+f（2+x）＝2，
又f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，可得f（x）﹣f（﹣x）＝4x，
对上式两边取导数，可得f′（x）+f′（﹣x）＝4，
再对f（﹣x）+f（2+x）＝2求导数，可得f′（x+2）＝f′（﹣x），
即有f′（x）+f′（x+2）＝4，f′（x+2）+f′（x+4）＝4，
即为f′（x+4）＝f′（x），y＝f′（x）是最小正周期为4的函数，
可得f′（1026）＝f′（2）＝f′（0）＝2，故C正确；
对于D，由f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，得f（2+x）﹣2（2+x）＝f（2﹣x）﹣2（2﹣x），
设g（x）＝f（x）﹣2x，所以g（2+x）＝g（2﹣x），
g（1+x）+g（1﹣x）＝f（1+x）﹣2（1+x）+f（1﹣x）﹣2（1﹣x）＝f（1+x）+f（1﹣x）﹣4＝﹣2，
则g（x）的图象关于点（1，﹣1）对称，可得g（2+x）+g（﹣x）＝﹣2，
则g（2﹣x）+g（﹣x）＝﹣2，即g（x+2）+g（x）＝﹣2，g（x+4）+g（x+2）＝﹣2，则g（x+4）＝g（x），
所以g（x）是以4为周期的函数，
因为g（0）＝f（0）﹣2×0＝0，g（1）＝f（1）﹣2＝1﹣2＝﹣1，
g（2）＝﹣2﹣g（0）＝﹣2，g（3）＝g（1）＝﹣1，
所以f（1）+f（2）+…+f（50）＝g（1）+g（2）+…+g（50）+2（1+2+…+50）
＝﹣4×12﹣1﹣2+2550＝2499，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抽象函数的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{a，a2﹣1}，若A∪B＝A，则实数a的值为 1或2 ．
【分析】由题意可得B⊆A，由此可求出a的值，代入检验即可得出答案．
解：因为集合A＝{0，1，2，3}，B＝{a，a2﹣1}，若A∪B＝A，
所以B⊆A，所以a＝0或1或2或3，或a2﹣1＝0或1或2或3，
解得：a＝0或1或2或3或﹣1或3或−3或﹣2，
当a＝0时，B＝{0，﹣1}，不满足B⊆A；
当a＝1时，B＝{1，0}，满足B⊆A；
当a＝2时，B＝{2，3}，满足B⊆A；
当a＝3时，B＝{3，8}，不满足B⊆A；
当a＝﹣1时，B＝{﹣1，0}，不满足B⊆A；
当a=3时，B={3，2}，不满足B⊆A；
当a=−3时，B={−3，2}，不满足B⊆A；
当a＝﹣2时，B＝{﹣2，3}，不满足B⊆A；
综上：实数a的值为1或2．
故1或2．
【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
13．（5分）已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)=2sin(ωx+2π3)(ω＞0)的值域为[−2，3]，则ω的取值范围为 [56，53] ．
【分析】根据正弦函数的图象和性质列不等式组求解．
解：由题意，定义在区间[0，π]上的y＝sin（ωx+2π3）（ω＞0）的值域为[﹣1，32]，
∵0≤x≤π，且ω＞0，∴2π3≤ωx+2π3≤ωπ+2π3，
则3π2≤ωπ+2π3≤7π3，解得56≤ω≤53．
故[56，53]．
【点评】本题考查正弦函数的性质，属于中档题．
14．（5分）已知实数x＞0，y＞0，则(x+1)2+(3y+1)2x2+9y2+2的最大值为 2 ．
【分析】将分式化简，然后结合平方均值不等式与基本不等式的相关知识即可得到结论
解：因为(x+1)2+(3y+1)2x2+9y2+2=x2+9y2+2+2x+6yx2+9y2+2=1+2(x+3y)x2+9y2+2，
因为x＞0，y＞0，所以根据平方均值不等式得：
x2+9y22≥x+3y2，
当且仅当x＝3y时等号成立，
将上式化简得：1+2(x+3y)x2+9y2+2≤1+2(x+3y)(x+3y)22+2
=1+2(x+3y)2+2(x+3y)≤1+22x+3y2⋅2x+3y=2，
当且仅当：x+3y2=2x+3y时等号成立，即x+3y＝2，又因为x＝3y，
所以当x=1，y=13时取得最大值．
故2
【点评】本题主要考察了基本不等式的相关内容，根据条件化简可以知道，基本不等式的灵活运用是解题的关键
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知{an}是等差数列，a1＝4，且a5﹣4，a5，a5+6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn−bn+1bnbn+1=an，且b1=12，求{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）利用定义及性质列方程即可求解；
（2）由bn−bn+1bnbn+1=an，得1bn+1−1bn=an，然后利用累加法可得1bn=n(n+1)，然后通过裂项相消即可求解．
解：（1）因为{an}是等差数列，a1＝4，设公差为d，
由题可得a52=(a5−4)(a5+6)，
解得a5＝12，
则d=a5−a14=2，
故an＝a1+（n﹣1）d＝2n+2；
（2）由bn−bn+1bnbn+1=an，得1bn+1−1bn=an，
所以1bn−1bn−1=an−1(n≥2)，
所以当n≥2时，1bn=(1bn−1bn−1)+(1bn−1−1bn−2)+⋅⋅⋅+(1b2−1b1)+1b1
=an−1+an−2+⋅⋅⋅+a1+1b1=n(n+1)，
又b1=12，上式也成立，所以1bn=n(n+1)，
即bn=1n(n+1)=1n−1n+1，
所以Tn=(1−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)
=1−1n+1=nn+1．
【点评】本题考查了数列的通项的求解及裂项相消求前n项和，属于中档题．
16．如图，已知四棱锥E﹣ABCD，底面ABCD是平行四边形，且∠DAB=π3，AD＝2AB＝2，BE＝PE，P是线段AD的中点，BE⊥PC．
（1）求证：PC⊥平面BPE；
（2）下列条件任选其一，求二面角P﹣EC﹣B的余弦值．
①AE与平面ABCD所成的角为π4；
②D到平面EPC的距离为34．
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分．
【分析】（1）根据平行四边形中的几何关系可得PC=3再根据勾股定理可得BP⊥PC，利用线面垂直的判定定理即可证明结果；
（2）选①，取BP中点为O，连接EO，AO，根据几何关系可得AO⊥BP，EO⊥BP，根据（1）可得EO⊥PC，根据线面垂直的判定定理可得EO⊥平面ABCD，则AE与平面ABCD所成的角为∠EAO=π4，由此计算出EO，进而计算得BE，可得△EBP为等边三角形；
选②，取BP中点为O，连接EO，AO，计算长度及S△EPC，S△PCD，根据等体积法可求得EO，即可得△EBP为等边三角形，建立合适的空间直角坐标系，求得各个点的坐标，进而求得平面EPC的法向量及平面EBC的法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值绝对值即可求得结果．
（1）证明：因为∠DAB=π3，且AP＝AB＝1，故BP＝1，
在△PDC中，PD=DC=1，∠PDC=2π3，
由余弦定理可得：cs∠PDC=PD2+CD2−PC22PD⋅CD=−12，
解得PC=3，在△BPC中，BP=1，PC=3，BC=2，
所以BP2+PC2＝BC2，即BP⊥PC，
又因为BE⊥PC，BP∩BE＝E，BE⊂平面BPE，BP⊂平面BPE，
所以PC⊥平面BPE；
（2）解：选①，取BP中点为O，连接EO，AO，如图所示：
因为BE＝PE，故EO⊥BP，由（1）得PC⊥平面BPE，
因为EO⊂平面BPE，所以EO⊥PC，
因为BP∩PC＝P，BP⊂平面ABCD，PC⊂平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，所以∠EAO为AE与平面ABCD所成的角，
即∠EAO=π4，因为∠DAB=π3，AB＝AP，
所以△ABP为等边三角形，且边长为1，所以BP＝1，AO=32，
由∠EAO=π4可得EO=AO=32，
因为BO=PO=12BP=12，EO=32，
所以BE＝PE＝1＝BP，所以△EBP为等边三角形，
以O为原点，OA→，OP→，OE→为在x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系：
则P(0，12，0)，B(0，−12，0)，C(−3，12，0)，E(0，0，32)，
EP→=(0，12，−32)，PC→=(−3，0，0)，BC→=(−3，1，0)，BE→=(0，12，32)，
设n1→=(x1，y1，z1)是平面EPC的法向量，
则n1→⋅EP→=0n1→⋅PC→=0，即12y1−32z1=0−3x1=0，
取z1＝1，可得平面EPC的法向量n1→=(0，3，1)，
设n2→=(x2，y2，z2)为平面EBC的法向量，
则n2→⋅BE→=0n2→⋅BC→=0，即12y2+32z2=0−3x2+y2=0，
取z2＝﹣1，可得平面EBC的法向量n2→=(1，3，−1)，
设二面角P﹣EC﹣B所成的角为θ，则csθ=|cs〈n1→，n2→〉|=|n1→⋅n2→||n1→||n2→|=55，
所以二面角P﹣EC﹣B的余弦值为55．
选②，取BP中点为O，连接EO，AO，如图所示：
因为BE＝PE，故EO⊥BP，由（1）得PC⊥平面BPE，
因为EO⊂平面BPE，所以EO⊥PC，
因为BP∩PC＝P，BP⊂平面ABCD，PC⊂平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，
设D到平面EPC的距离为ℎ=34，
因为∠DAB=π3，AB＝AP，所以△ABP等边三角形，
所以BP＝1，OP=12，设EO＝x，则EP=x2+14，
因为PD=DC，∠PDC=2π3，所以∠CPD=π6，
因为∠DAB=π3，O为BP中点，所以∠PAO=π6，
所以AO∥PC，由AO⊥BP，AO⊥EO，BP∩EO＝O，BP⊂平面EBP，EO⊂平面EBP，所以AO⊥平面EBP，
因为EP⊂平面EBP，所以AO⊥EP，即PC⊥EP，
所以S△EPC=12×EP×PC，因为VE﹣PDC＝VD﹣EPC，
即13×S△PDC×EO=13×S△EPC×ℎ，
即13×12×PD×DC×sin120°×EO=13×12×EP×PC×ℎ，
解得x=32，即EO=32，所以BE＝PE＝1＝BP，所以△EBP为等边三角形，
以O为原点，OA→，OP→，OE→为在x，y，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系：
所以P(0，12，0)，B(0，−12，0)，C(−3，12，0)，E(0，0，32)，EP→=(0，12，−32)，PC→=(−3，0，0)，BC→=(−3，1，0)，BE→=(0，12，32)，
设n1→=(x1，y1，z1)是平面EPC的法向量，
则n1→⋅EP→=12y1−32z1=0n1→⋅PC→=−3x1=0，
取z1＝1，可得平面EPC的法向量n1→=(0，3，1)，
设n2→=(x2，y2，z2)为平面EBC的法向量，
则n2→⋅BE→=12y2+32z2=0n2→⋅BC→=−3x2+y2=0，
取z2＝﹣1，可得平面EBC的法向量n2→=(1，3，−1)，
设n1→，n2→所成的角为θ，则csθ=n1→⋅n2→|n1→||n2→|=55，
所以二面角P﹣EC﹣B的余弦值为55．
【点评】本题主要考查直线与平面垂直的证明，二面角的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
17．某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项、或是其中3个选项．该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分．甲、乙、丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为p．
（1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若p=12，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率；
（2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若p=13，试比较乙、丙两同学得分的数学期望的大小．
【分析】（1）根据已知条件，结合全概率公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合期望公式，依次求出二者的期望，再比较大小，即可求解．
解：事件A为该题的正确答案是2个选项，则A为该题的正确答案是3个选项，即P（A）＝p，P(A)=1−p，
（1）由p=12得，P(A)=12，P(A)=12，
设事件B为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，
则P(B|A)=C21C21C42=23，P(B|A)=C31C11C42=12，则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=23×12+12×12=712；
（2）由p=13得，P(A)=13，P(A)=23，
设X表示乙同学答题得分，
则X的取值范围为{0，2，3}，
则P(X=0)=C21C41×P(A)+C11C41×P(A)=12×13+14×23=13，
P(X=2)=C31C41×P(A)=34×23=12，
P（X＝3）=C21C41×P(A)=12×13=16，
所以E(X)=0×13+2×12+3×16=32，
设Y表示乙同学答题得分，
则Y的取值范围为{0，4，6}，
则P(Y=0)=C22+C21C21C42×P(A)+C31C11C42×P(A)=56×13+12×23=1118，
P(Y=4)=C32C42×P(A)=12×23=13，
P(Y=6)=C22C42×P(A)=16×13=118，
所以E(Y)=0×1118+4×13+6×118=53，即E（X）＜E（Y），
故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望．
【点评】本题主要考查数学期望公式，考查转化能力，属于中档题．
18．已知圆C过点P（4，1），M（2，3）和N（2，﹣1），且圆C与y轴交于点F，点F是抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点．
（1）求圆C和抛物线E的方程；
（2）过点P作直线l与抛物线交于不同的两点A，B，过点A，B分别作抛物线E的切线，两条切线交于点Q，试判断直线QM与圆C的另一个交点D是否为定点，如果是，求出D点的坐标；如果不是，说明理由．
【分析】（1）由圆C过的三点的坐标，可得线段PM，MN的中垂线的方程，进而求出圆心C的坐标，进而可得圆的半径r＝|PC|，求出圆的的方程，令x＝0，可得点F的坐标，进而求出p的值，即求出抛物线的方程；
（2）设直线l的方程，圆抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而可得过点A，B的切线方程，联立两个方程，可得点Q的坐标，求出直线QM的方程，代入圆C的方程，可得点D的坐标．
解（1）点P（4，1），M（2，3）和N（2，﹣1），
可得PM的中点（3，2），k=3−12−4=−1，
所以线段PM的中垂线的方程为y﹣2＝x﹣3，即y＝x﹣1，
线段MN的中垂线的方程为y=3−12=1，
联立y=x−1y=1，可得x＝2，y＝1，
所以圆心C（2，1），圆的半径r＝|PC|＝2，
所以圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
令x＝0，可得y＝1，
由题意可知抛物线的焦点坐标为（0，1），所以抛物线的方程为x2＝4y；
所以圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，抛物线的方程为x2＝4y；
（2）显然直线AB的方程的向量存在，设直线AB的方程为y＝k（x﹣4）+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立y=kx−4k+1x2=4y，整理可得x2﹣4kx+16k﹣4＝0，
Δ＝16k2﹣4×1×（16k﹣4）＞0，可得k2﹣4k+1＞0，
且x1+x2＝4k，x1x2＝16k﹣4，
因为抛物线的方程y=x24，则y'=x2，
则在点A处的斜率k1=x12，
所以在点A处的切线方程为y−x124=x12（x﹣x1），即y=x12x−x124，
同理在点B处的切线方程为y=x22x−x224，
联立y=x12x−x124y=x22x−x224，解得x=x1+x22=2k，y=x12•x1+x22−x124=x1x24=4k﹣1，
即Q（2k，4k﹣1），
所以QM的方程为y=4k−1−32k−2（x﹣2）+3，
即y＝2x﹣1，
联立y=2x−1(x−2)2+(y−1)2=4，整理可得：5x2﹣12x+4＝0，
解得x=25或x＝2，
可得x=25y=−15或x=2y=3，
所以直线QM与圆C的交点D（25，−15）．
【点评】本题考查圆的方程及抛物线的方程的求法，直线与抛物线的综合应用，过抛物线上的点的切线的方程，直线与圆的交点的求法，属于中档题．
19．定义：函数f（x）满足对于任意不同的x1，x2∈[a，b]，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|，则称f（x）为[a，b]上的“k类函数”．
（1）若f(x)=x23+1，判断f（x）是否为[1，3]上的“2类函数”；
（2）若f(x)=a(x−1)ex−x22−xlnx为[1，e]上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）为[1，2]上的“2类函数”，且f（1）＝f（2），证明：∀x1，x2∈[1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|＜1．
【分析】（1）根据题意结合“k类函数”定义分析判断；
（2）根据题意分析可知f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2，f（x2）﹣3x2＜f（x1）﹣3x1均恒成立，根据函数单调性结合导数可知﹣3≤f′（x）≤3在[1，e]内恒成立，利用参变分类结合恒成立问题分析求解；
（3）分类讨论x1，x2的大小关系，根据“k类函数”定义结合绝对值不等式分析证明．
解：（1）对于任意不同的x1，x2∈[1，3]，不妨设x1＜x2，即1≤x1＜x2≤3，
则|f(x1)−f(x2)|=|(x123+1)−(x223+1)|=x1+x23|x1−x2|＜2|x1−x2|，
所以f（x）为[1，3]上的“2类函数”；
（2）因为f（x）为[1，e]上的“3类函数”，
对于任意不同的x1，x2∈[1，e]，不妨设x1＜x2，
则|f（x1）﹣f（x2）|＜3|x1﹣x2|＝3（x2﹣x1）恒成立，
可得3x1﹣3x2＜f（x1）﹣f（x2）＜3x2﹣3x1，
即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2，f（x2）﹣3x2＜f（x1）﹣3x1均恒成立，
构建g（x）＝f（x）+3x，x∈[1，e]，则g′（x）＝f′（x）+3，
由f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2可知g（x）在[1，e]内单调递增，
可知g′（x）＝f′（x）+3≥0在[1，e]内恒成立，即f′（x）≥﹣3在[1，e]内恒成立；
同理可得：f′（x）≤3[1，e]内恒成立；
即﹣3≤f′（x）≤3在[1，e]内恒成立，
又因为f′（x）＝axex﹣x﹣1﹣lnx，即﹣3≤axex﹣x﹣1﹣lnx≤3，
整理得x+lnx−2xex≤a≤x+lnx+4xex，可得x+lnx−2ex+lnx≤a≤x+lnx+4ex+lnx，
即x+lnx−2ex+lnx≤a≤x+lnx+4ex+lnx在[1，e]内恒成立，
令t＝x+lnx，
因为y＝x，y＝lnx在[1，e]内单调递增，则t＝x+lnx在[1，e]内单调递增，
当x＝1，t＝1；当x＝e，t＝e+1；可知t＝x+lnx∈[1，e+1]，
可得t−2et≤a≤t+4et在[1，e+1]内恒成立，
构建F(t)=t−2et，t∈[1，e+1]，则F′(t)=3−tet，
当1≤t＜3时，F′（t）＞0；当3＜t≤e+1时，F′（t）＜0；
可知F（t）在[1，3）内单调递增，在（3，e+1]内单调递减，则F(t)≤F(3)=1e3，
构建G(t)=t+4et，t∈[1，e+1]，则G′(t)=−3−tet＜0在[1，e+1]内恒成立，
可知G（t）在[1，e+1]内单调递减，则G(t)≥G(e+1)=e+5ee+1；
可得1e3≤a≤e+5ee+1，所以实数a的取值范围为[1e3，e+5ee+1]；
（3）证明：（i）当x1＝x2，可得|f（x1）﹣f（x2）|＝0＜1，符合题意，
（ⅱ）当x1≠x2，因为f（x）为[1，2]上的“2类函数”，不妨设1≤x1＜x2≤2，
①若0＜x2−x1≤12，则|f（x1）﹣f（x2）|＜2|x1﹣x2|≤1，
②若12＜x2−x1≤1，则|f（x1）﹣f（x2）|＝|f（x1）﹣f（1）+f（1）﹣f（x2）|＝|f（x1）﹣f（1）+f（2）﹣f（x2）|
≤|f（x1）﹣f（1）|+|f（2）﹣f（x2）|≤2（x1﹣1）+2（2﹣x2）
＝2﹣2（x2﹣x1）＜1，
综上所述：∀x1，x2∈[1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|＜1．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，属于难题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
A
B
C
A
D