2024-2025学年山东省青岛市高二上册12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市高二上册12月月考数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．+=4B．C．D．
4．已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．设是等比数列，且，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
7．已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线与，则（ ）
A．若，则两直线垂直B．直线恒过定点
C．直线在两坐标轴上的截距相等D．若两直线平行，则与的距离是
10．已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．B．的最大面积为
C．存在点，使得D．的周长最大值是
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列的前项和为，且满足，则该数列的通项公式为 .
13．圆与圆的公共弦长为 ．
14．已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，（1）若，则的面积为 ；（2）的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线和的交点为，
(1)求过点且在两坐标轴截距互为相反数的直线的一般式方程；
(2)求过点且垂直于直线的直线的一般式方程.
16．已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
(2)求数列的前n项和．
17．已知圆.
(1)过点作圆的切线，求的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，点，求的面积.
18．已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若为点轨迹上任一点，求到直线距离最小值
(3)设直线与点的轨迹交于两点，求面积的最大值.
19．已知点，是平面内不同的两点，若点满足(，且)，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的—阿波罗尼斯圆.若点满足()，则点的轨迹是以为“稳点”的—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，(）.
(1)当，时，若点的轨迹是以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆，求点的轨迹方程；
(2)在(1)的条件下，若点在以为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求(为原点）的取值范围；
(3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，试判断是否存在实数，，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】A
【详解】的斜率为，故倾斜角为，
故选：A
2．【正确答案】C
【详解】由题意，
在中，椭圆的焦点在轴上,且,
∴，
∴椭圆焦点的坐标为.
故选：C.
3．【正确答案】C
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2，
设关于直线：的对称点为，
则，解得．
所以，则圆关于直线对称的圆的方程为．
故选：C．
4．【正确答案】C
【详解】设点，根据中点的坐标公式可得，代入椭圆方程得，其中.
故选：C
5．【正确答案】A
【详解】因为，可知点在椭圆内部，
设该弦与椭圆的两个交点分别为，，则，
且点为中点，则，
因为，两式作差可得，
则，即，可得，
所以直线的方程为，即.
故选：A.
6．【正确答案】D
【详解】由题意，，
在等比数列中，设公比为，
，解得：，
∴，
故选：D.
7．【正确答案】B
【详解】由椭圆的对称性可得，
则，
则不妨取，
将点的坐标代入得：，
所以，
所以的离心率.
故选：B.
8．【正确答案】A
【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，

则椭圆方程为，
则，且，解得，，
故该卫星远地点离地面的距离为，
又，所以.
故选：A.
9．【正确答案】ABD
【详解】对于选项A，当时，，斜率为，
又直线的的斜率为，所以，故两直线垂直，所以选项A正确，
对于选项B，由，得到，
由，得到，所以直线过定点，故选B正确，
对于选项C，令，得到，令，得到，所以直线在两坐标轴上的截距不相等，故选项C错误，
对于选项D，当时，，得到，此时，
所以两平行线间的距离为，故选项D正确，
故选：ABD.
10．【正确答案】AD
【详解】对A，由题知，，则，
设，，
则，A正确；
对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B错误；
对C，，
则，C错误；
对D，由椭圆定义可知，，所以，
又，
所以，
当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确.
故选：AD
11．【正确答案】ACD
【分析】利用给定定义逐个选项分析数列性质求解即可.
【详解】依题意可得，A正确；
由，B错误；
，C正确；
，累加得，D正确．
故选ACD.
12．【正确答案】
【详解】当时，.
当时，.
因为，
所以，.
故答案为.
13．【正确答案】
【分析】两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算圆的圆心到公共弦所在直线的距离，再利用圆的弦长公式即可得出答案.
【详解】解：由圆与圆，
两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为，
圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以公共弦长为.
故答案为.
14．【正确答案】 / 5
【详解】空1：由已知得，，
所以，
从而，
在中，，
即①，
由椭圆的定义得，
即②，
由①②得，
所以.
空2：设，，且，而，
则，，
所以，
因为，则，当时，等号成立.
故；5.
15．【正确答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由题意，
直线和的交点为，
∴，解得：，
∴,
在直线中，直线过点且两坐标轴截距互为相反数，
∴当直线过原点时直线斜率为，直线的方程为：，即.
当直线过原点时直线斜率为，直线的方程为：，
∴直线的方程为：或.
（2）由题意及（1）得，，
在直线中，直线过点且垂直于直线（即），
∴直线斜率为，
∴直线的方程为：，
即.
16．【正确答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）根据题意由易知，
即可得为定值，
由此可得数列是以为首项，公差的等差数列，
所以，可得；
即数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
所以
，
所以
17．【正确答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由题意，
在圆中，
，圆心,半径,
由,可得点在圆外,
当过点的直线斜率存在时，
设直线方程为，
即,
则圆心到直线的距离为,解得：,
∴的方程为,即,
当过点的直线斜率不存在时,
的方程为,此时与圆相切,
∴的方程为或；
综上，的方程为：或
（2）由题意及（1）得，
设点到直线的距离为，中点为，
，
在中，，
由几何知识得，,
，
由勾股定理得，，
∴，
∴
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由已知圆，则，
又线段的垂直平分线交于点，
所以，
则，
所以动点到定点，的距离之和为定值，
即动点的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且，，即，，
椭圆方程为.
（2）设与直线平行的直线方程为，
将其与椭圆方程联立得，即，
即，当该直线与椭圆相切时，
则，解得，
显然当时，到直线距离最小，即求两平行线之间距离，
则距离最小值.
（3）设直线与椭圆的交点为，，
联立直线与椭圆，得，
即，
且，，
则，
又点到直线的距离，
则的面积，
设，则，，
又函数在上单调递增，
即当，即时，取得最小值为，
此时取得最大值为.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）由已知，且，设：，则：，
∴，整理得：，
∴点的轨迹方程为.
（2）由(1)知，，设，由，
得，所以，
，整理得，即，
所以，，由，得，
即的取值范围是.
（3）若，则以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，
整理得，该圆关于点对称.
由点，关于点对称及，
可得—卡西尼卵形线关于点对称，
令，解得，与矛盾，
所以不存在实数，，使得以为稳点的一阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.