2024-2025学年山东省日照市高一上册月考数学检测试卷（12月份）附解析

这是一份2024-2025学年山东省日照市高一上册月考数学检测试卷（12月份）附解析，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x∉Q，则￢p为（ ）
A．∀x∉R，都有x∉QB．∃x∉R，使得x∈Q
C．∀x∈R，都有x∈QD．∃x∈R，使得x∈Q
2．（5分）函数f(x)=ex+x13的零点所在区间为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，0）D．（0，1）
3．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则ab＝（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
4．（5分）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝135°，OA＝3OC＝3，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是（ ）
A．43πB．83πC．3πD．6π
5．（5分）下列大小关系正确的是（ ）
①(25)12＞(25)13
②(25)12＜(12)25
③(12)15＞(13)15
④(25)−15＞(13)−25
A．①②B．③④C．②③D．①③
6．（5分）已知函数f(x)=2−2xx2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（5分）“a∈(12，23]”是“f(x)=(13−a)x+1，(x＜1)ax，(x≥1)满足对任意x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜0成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（5分）定义：对于f（x）定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得f（x1）f（x2）＝4成立，则称函数f（x）为“联盟函数”．下列函数是“联盟函数”的是（ ）
A．f（x）＝lnxB．f（x）＝x2+1C．f（x）＝exD．f(x)=x+4x
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设集合A＝{x∈R|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x∈R|ax+1＝0}，若满足B⊆A，则实数a可以是（ ）
A．0B．−13C．−15D．3
（多选）10．（6分）下列选项中正确的是（ ）
A．若a＞0，则a+4a的最小值为4
B．若ab＜0，则ab+ba的最大值为﹣2
C．若x∈R，则x2+5x2+4的最小值为2
D．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，则1a(12+2b)的最大值是916
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣a﹣1），下列说法不正确的有（ ）
A．存在实数a，使f（x）的定义域为R
B．函数f（x）一定有最小值
C．对任意正实数a，f（x）的值域为R
D．若函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数f（x）＝lgax（a＞0，且a≠1）过点（9，2），若﹣1≤f（x）≤2，f（x）的反函数为g（x），则g（x）的值域为 ．
13．（5分）定义max{a，b}=a，a≥bb，a＜b，如max{1，﹣2}＝1，则函数f（x）＝max{x﹣3，x2﹣2x﹣3}的最小值为 ．
14．（5分）若正实数x0是关于x的方程2x+x＝ax+lg2（ax）的根，则2x0−ax0= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。
15．已知幂函数f（x）＝（m2+4m+4）xm+2在（0，+∞）上单调递减．
（1）求m的值；
（2）若（2a+1）﹣m＜（a+3）﹣m，求a的取值范围；
（3）设ℎ(x)=x4+m2，求h（x﹣3）+h（5﹣x）的最大值．
16．已知定义域为[﹣2a，4a﹣2]的偶函数f（x），当0≤x≤4a﹣2时，f(x)=−x+3−x．
（1）求实数a的值及f（x）的解析式；
（2）解关于t的不等式f（t+1）＜f（1﹣2t）．
17．美国政府一边嘴上说着“一个中国”，一边源源不断地向中华台北输出武器，中国的抗议早已习以为常．是的，抗议过，反对过，但最后总被无视．既然如此，那就来点“硬核”的．2024年11月，中国商务部出手，《两用物项出口管制清单》横空出世，对稀土金属和核心民用科技和军用科技关键金属进行全面出口管制．
镓是一种具有重要应用价值的金属元素，被广泛应用于制造各种电子元件，应用于计算机、通讯、自动化等领域，用于医学诊断和治疗，用于制作精密仪器零部件等．镓金属不是多么贵重的金属，世界上并不存在所谓的镓矿石，镓是伴生矿，而且含量很低，一般常见于铝矿石中．所以要想提炼镓金属，就得大搞特搞氧化铝工厂．某地有一处可提炼金属镓的铝矿石基地，探明的铝矿石储存量为m吨，计划每年开采一些铝矿石，且每年的开采率（即当年开采量占该年年初储存量的比率）保持不变，到今年底为止，该矿已经开采了12年，在此期间铝矿石开采的总量为(1−55)m吨．
（1）求该铝矿石基地每年的矿石开采率；
（2）为了避免破坏当地的生态环境，也为子孙后代留下足够的矿产资源，铝矿石基地的矿石至少要保留m25吨不进行开采，则该矿今后最多还能开采多少年？
18．已知定义在R上的函数f（x）＝ax+（2k﹣1）a﹣x（a＞0，且a≠1）是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数f（x）满足f（1）＞0，且存在x≥4，不等式f（lg2x+2）+f（t﹣2lgx2）＜0有解，求实数t的取值范围．
19．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（LEruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f（x），存在点x0，使f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点函数”，x0为函数的不动点．
（1）若定义在R上仅有一个不动点的函数f（x）满足f（f（x）﹣2x2+x）＝f（x）﹣2x2+x，试求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的实数b，若函数g(x)=ax2−(3b−1)x−2b+13(a≠0)恒有两个不动点，且满足如下条件：
①y＝g（x）图象上两个不同点M，N的横坐标是函数g（x）的不动点；
②点M，N关于函数ℎ(x)=−x+a3a2+4a+2的图象对称．
试求b的取值范围．
（注：两个点M（x1，y1），N（x2，y2）的中点C的坐标公式为C(x1+x22，y1+y22)）．
答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x∉Q，则￢p为（ ）
A．∀x∉R，都有x∉QB．∃x∉R，使得x∈Q
C．∀x∈R，都有x∈QD．∃x∈R，使得x∈Q
【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
解；因为命题p：∃x∈R，使得x∉Q，
所以￢p：∀x∈R，都有x∈Q．
故选：C．
【点评】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
2．（5分）函数f(x)=ex+x13的零点所在区间为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，0）D．（0，1）
【分析】由函数单调性结合零点存在定理法计算各区间端点值即可判断得解．
解：因为y＝ex与y=x13均为R上单调递增且连续的函数，
所以f(x)=ex+x13在R上单调递增且连续．
又f（1）＝e+1＞0，f（0）＝1＞0，f(−1)=1e−1＜0，f(−2)=1e2−213＜1−213＜0，f(−3)=1e3−313＜1−313＜0，
所以函数f(x)=ex+x13的零点所在区间为（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点所在区间的判断，属于基础题．
3．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则ab＝（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
【分析】由不等式解集与方程根的关系解得a＝﹣1，b＝﹣1，相乘可得结果．
解：因为不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，
所以﹣2和1是方程ax2+bx+2＝0的两个实数根，
所以−2+1=−ba−2×1=2a，解得a＝﹣1，b＝﹣1，
所以ab＝1．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的根与一元二次不等式的关系，属于基础题．
4．（5分）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝135°，OA＝3OC＝3，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是（ ）
A．43πB．83πC．3πD．6π
【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB、COD的面积即可得解．
解：由题意可得，扇形COD的面积是12×3π4×12=38π，
扇形AOB的面积是12×3π4×32=278π，
则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是278π−38π=3π．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积公式的应用，属于基础题．
5．（5分）下列大小关系正确的是（ ）
①(25)12＞(25)13
②(25)12＜(12)25
③(12)15＞(13)15
④(25)−15＞(13)−25
A．①②B．③④C．②③D．①③
【分析】利用指数函数、幂函数的性质比较大小．
解：对①，因为函数y=(25)x单调递减，所以(25)12＜(25)13，①错误；
对②，由①知(25)12＜(25)25，
又因为幂函数y=x25在（0，+∞）单调递增，所以(25)25＜(12)25，
所以(25)12＜(12)25，②正确；
对③，因为函数y=x15在（0，+∞）单调递增，所以(12)15＞(13)15，③正确；
对④，因为函数y=x−15在（0，+∞）单调递减，所以(25)−15＜(19)−15，
即(25)−15＜(13)−25，④错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的性质应用，属于基础题．
6．（5分）已知函数f(x)=2−2xx2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】构造g(x)=−2xx2+1，确定函数为奇函数，f（x）＝g（x）+2，根据奇函数性质计算得到答案．
解：设g(x)=−2xx2+1，函数定义域为R，则g(−x)=2xx2+1=−g(x)，
所以g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则g（x）的最大值与最小值之和为0，
因为f（x）＝g（x）+2，所以M+m＝g（x）max+2+g（x）min+2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查奇函数最值的性质，属于基础题．
7．（5分）“a∈(12，23]”是“f(x)=(13−a)x+1，(x＜1)ax，(x≥1)满足对任意x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜0成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．
解：由题意得f（x）在R上单调递减，
故13−a＜00＜a＜113−a+1≥a，解得：13＜a≤23，
故“a∈(12，23]”是“f(x)=(13−a)x+1，(x＜1)ax，(x≥1)满足对任意x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜0成立”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查充分必要条件以及集合的包含关系，是基础题．
8．（5分）定义：对于f（x）定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得f（x1）f（x2）＝4成立，则称函数f（x）为“联盟函数”．下列函数是“联盟函数”的是（ ）
A．f（x）＝lnxB．f（x）＝x2+1C．f（x）＝exD．f(x)=x+4x
【分析】根据“联盟函数”的定义验证每个选项中的函数即可．
解：对于f（x）定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得f（x1）f（x2）＝4成立，则称函数f（x）为“联盟函数”．
对于A，f（x）＝lnx，定义域为（0，+∞），取x1＝1，f（x1）＝ln1＝0，
此时不存在x2使得f（x1）f（x2）＝4成立，则f（x）＝lnx不是“联盟函数”，故A错误；
对于B，f（x）＝x2+1，定义域为R，取x1＝2，则f（x1）＝5，
由f（x1）f（x2）＝4得f(x2)=45，即x22+1=45，即x22=−15，此方程无解，
此时不存在x2使得f（x1）f（x2）＝4成立，则f（x）＝x2+1不是“联盟函数”，故B错误；
对于C，f（x）＝ex，定义域为R，
由f（x1）f（x2）＝4得ex1⋅ex2=4，即ex1+x2=4，可得x2＝﹣x1+ln4，
即定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2＝﹣x1+ln4使得f（x1）f（x2）＝4成立，
则f（x）＝ex是“联盟函数”，故C正确；
对于D，f(x)=x+4x，定义域为{x|x≠0}，取x1＝2，则f（x1）＝4，
由f（x1）f（x2）＝4得f（x2）＝1，即x2+4x2=1，即x22−x2+4=0，
因Δ＝（﹣1）2﹣4×4＝﹣15＜0，则此方程无解，
此时不存在x2使得f（x1）f（x2）＝4成立，则f(x)=x+4x不是“联盟函数”，故D错误．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设集合A＝{x∈R|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x∈R|ax+1＝0}，若满足B⊆A，则实数a可以是（ ）
A．0B．−13C．−15D．3
【分析】求出A＝{3，5}，分B＝∅，B＝{3}和B＝{5}三种情况，得到实数a的值．
解：A＝{x∈R|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，
当a＝0时，B＝∅，符合题意，
当a≠0时，B＝{−1a}，
则−1a=3或−1a=5，
解得a=−13或−15，
综上所述，a＝0或−13或−15．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列选项中正确的是（ ）
A．若a＞0，则a+4a的最小值为4
B．若ab＜0，则ab+ba的最大值为﹣2
C．若x∈R，则x2+5x2+4的最小值为2
D．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，则1a(12+2b)的最大值是916
【分析】利用基本不等式可判断ABD；根据基本不等式取等号的条件可判断C．
解：对于A，当a＞0时，a+4a≥2a×4a=4，当且仅当a=4a，即a＝2时等号成立，故A正确；
对于B，若ab＜0，则ab与ba均小于0，
所以ab+ba=−[(−ab)+(−ba)]≤−[2(−ab)×(−ba)]=−2，
当且仅当a＝﹣b时等号成立，所以ab+ba的最大值为﹣2，故B正确；
对于C，x2+5x2+4=x2+4+1x2+4≥2，
因为x2+4=1x2+4，即x2＝﹣3无实数解，
所以等号不成立，所以x2+5x2+4的最小值不是2，故C错误；
对于D，因为a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，所以1a+2b=1，
所以1a(12+2b)=1a(32−1a)≤[1a+(32−1a)2]2=916，
当且仅当1a=32−1a，即a=43，b=8时取等号，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣a﹣1），下列说法不正确的有（ ）
A．存在实数a，使f（x）的定义域为R
B．函数f（x）一定有最小值
C．对任意正实数a，f（x）的值域为R
D．若函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）
【分析】根据函数f（x）定义域为R得x2﹣ax﹣a﹣1＞0对x∈R恒成立，利用判别式法求解判断A；根据函数f（x）值域为R求出a∈R，判断BC；结合对数函数的单调性和复合函数单调性的法则得，y＝x2﹣ax﹣a﹣1在区间（2，+∞）上单调递增且x2﹣ax﹣a﹣1＞0在区间（2，+∞）上恒成立，列不等式组求解判断D．
解：对于A，当函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣a﹣1）的定义域为R时，即x2﹣ax﹣a﹣1＞0对x∈R恒成立．
所以Δ＝a2+4a+4＝（a+2）2＜0，无解，故A错误；
对于C，要使f（x）＝ln（x2﹣ax﹣a﹣1）的值域为R，
则需函数y＝x2﹣ax﹣a﹣1的值域M满足（0，+∞）⊆M，
所以Δ＝a2+4a+4＝（a+2）2≥0，解得a∈R，
所以对任意正实数a，f（x）的值域为R，故C正确；
对于B，由C可知，a＞0时，f（x）的值域为R，不存在最小值，故B错误；
对于D，因为y＝lnt是增函数，函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，
则x2﹣ax﹣a﹣1＞0在（2，+∞）上恒成立且y＝x2﹣ax﹣a﹣1在区间（2，+∞）上单调递增，
所以22−2a−a−1≥0a2≤2，解得a≤1，故D错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查对数型复合函数的性质，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数f（x）＝lgax（a＞0，且a≠1）过点（9，2），若﹣1≤f（x）≤2，f（x）的反函数为g（x），则g（x）的值域为 [13，9] ．
【分析】由条件求得a，解不等式﹣1≤f（x）≤2可得x的范围，根据函数与其反函数的定义域，值域的关系可得答案．
解：因为函数f（x）＝lgax（a＞0，且a≠1）过点（9，2），
所以2＝lga9，即a2＝9，又因为a＞0，且a≠1，所以a＝3，即f（x）＝lg3x，
因为﹣1≤f（x）≤2，即﹣1≤lg3x≤2，解得13≤x≤9，
因为f（x）的反函数为g（x），所以g（x）的值域为[13，9]．
故[13，9]．
【点评】本题考查函数的值域及反函数的性质，属于基础题．
13．（5分）定义max{a，b}=a，a≥bb，a＜b，如max{1，﹣2}＝1，则函数f（x）＝max{x﹣3，x2﹣2x﹣3}的最小值为 ﹣3 ．
【分析】根据题中条件及一次函数，二次函数的性质求解．
解：当x﹣3＜x2﹣2x﹣3，即x＜0或x＞3时，f（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
此时，由二次函数的性质可得f（x）＞﹣3；
当x﹣3≥x2﹣2x﹣3，即0≤x≤3时，f（x）＝x﹣3，
此时f（x）min＝f（0）＝﹣3；
所以f（x）的最小值为﹣3．
故﹣3．
【点评】本题考查函数最值的求法，属于基础题．
14．（5分）若正实数x0是关于x的方程2x+x＝ax+lg2（ax）的根，则2x0−ax0= 0 ．
【分析】令f（x）＝2x+x，由条件可得f（x）＝f（lg2（ax）），从而f（x0）＝f（lg2（ax0）），根据f（x）的单调性可求得结果．
解：令f（x）＝2x+x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
方程2x+x＝ax+lg2（ax），即2x+x=2lg2(ax)+lg2(ax)，故f（x）＝f（lg2（ax）），
因为正实数x0是关于x的方程2x+x＝ax+lg2（ax）的根，所以f（x0）＝f（lg2（ax0）），
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x0＝lg2（ax0），
即2x0=ax0，2x0−ax0=0．
故0．
【点评】本题考查了函数与方程的综合，考查了方程思想及函数思想，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。
15．已知幂函数f（x）＝（m2+4m+4）xm+2在（0，+∞）上单调递减．
（1）求m的值；
（2）若（2a+1）﹣m＜（a+3）﹣m，求a的取值范围；
（3）设ℎ(x)=x4+m2，求h（x﹣3）+h（5﹣x）的最大值．
【分析】（1）由幂函数的定义及单调性得出m的值；
（2）根据y＝x3的单调性解不等式即可；
（3）利用基本不等式求解．
解：（1）因为f（x）＝（m2+4m+4）xm+2是幂函数，
所以m2+4m+4＝1，解得m＝﹣1或m＝﹣3，
当m＝﹣1时，f（x）＝x，在（0，+∞）上单调递增，不合题意；
当m＝﹣3时，f（x）＝x﹣1，在（0，+∞）上单调递减，符合题意，
所以m＝﹣3．
（2）若（2a+1）﹣m＜（a+3）﹣m，即（2a+1）3＜（a+3）3，
因为函数y＝x3在R上单调递增，所以2a+1＜a+3，解得a＜2，
所以a的取值范围为（﹣∞，2）；
（3）ℎ(x)=x12=x，则ℎ(x−3)+ℎ(5−x)=x−3+5−x，3≤x≤5，
因为x−3+5−x2≤(x−3)2+(5−x)22=1，当且仅当x＝4取等号，
所以x−3+5−x≤2，
所以h（x﹣3）+h（5﹣x）的最大值为2．
【点评】本题考查幂函数的概念及性质，函数的值域求法，属于中档题．
16．已知定义域为[﹣2a，4a﹣2]的偶函数f（x），当0≤x≤4a﹣2时，f(x)=−x+3−x．
（1）求实数a的值及f（x）的解析式；
（2）解关于t的不等式f（t+1）＜f（1﹣2t）．
【分析】（1）根据偶函数的定义域关于原点对称可求出a，利用偶函数的性质可求得函数的解析式；（2）判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可．
解：（1）因为f（x）为定义域为[﹣2a，4a﹣2]的偶函数，
所以﹣2a+4a﹣2＝0，解得a＝1，则函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，
又当0≤x≤4a﹣2时，f(x)=−x+3−x，
即当0≤x≤2时，f(x)=−x+3−x，
令﹣2≤x＜0，则0＜﹣x≤2，f(−x)=x+3+x，
因为f（x）是偶函数，所以f(x)=f(−x)=x+3+x，
所以f（x）的解析式为f(x)=−x+3−x，0≤x≤2x+3+x，−2≤x＜0；
（2）当0≤x≤2时，f(x)=−x+3−x在[0，2]上是减函数，
又函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，
则f（﹣x）＝f（x）＝f（|x|），
所以f（t+1）＜f（1﹣2t），
即f（|t+1|）＜f（|1﹣2t|），
所以−2≤t+1≤2−2≤1−2t≤2|t+1|＞|1−2t|，即−3≤t≤1−12≤t≤32(t+1)2＞(1−2t)2，即−3≤t≤1−12≤t≤32t2−2t≤0，即−3≤t≤1−12≤t≤320＜t＜2，解得0＜t≤1，
所以关于t的不等式f（t+1）＜f（1﹣2t）的解集为（0，1]．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
17．美国政府一边嘴上说着“一个中国”，一边源源不断地向中华台北输出武器，中国的抗议早已习以为常．是的，抗议过，反对过，但最后总被无视．既然如此，那就来点“硬核”的．2024年11月，中国商务部出手，《两用物项出口管制清单》横空出世，对稀土金属和核心民用科技和军用科技关键金属进行全面出口管制．
镓是一种具有重要应用价值的金属元素，被广泛应用于制造各种电子元件，应用于计算机、通讯、自动化等领域，用于医学诊断和治疗，用于制作精密仪器零部件等．镓金属不是多么贵重的金属，世界上并不存在所谓的镓矿石，镓是伴生矿，而且含量很低，一般常见于铝矿石中．所以要想提炼镓金属，就得大搞特搞氧化铝工厂．某地有一处可提炼金属镓的铝矿石基地，探明的铝矿石储存量为m吨，计划每年开采一些铝矿石，且每年的开采率（即当年开采量占该年年初储存量的比率）保持不变，到今年底为止，该矿已经开采了12年，在此期间铝矿石开采的总量为(1−55)m吨．
（1）求该铝矿石基地每年的矿石开采率；
（2）为了避免破坏当地的生态环境，也为子孙后代留下足够的矿产资源，铝矿石基地的矿石至少要保留m25吨不进行开采，则该矿今后最多还能开采多少年？
【分析】（1）设该铝矿每年的开采率为a（0＜a＜1），根据题意列方程m（1﹣a）12=55m，即可求出a的值；
（2）设该铝矿今后继续开采n年后，剩余的铝矿石55（1﹣a）nm≥125m，把a的值代入求解即可．
解：（1）该铝矿已经开采了12年，在此期间铝矿石开采的总量为（1−55）m吨，
设该铝矿每年的开采率为a（0＜a＜1），铝矿石开采的总量为（1−55）m吨，
则剩余的铝矿石为55m吨，所以m（1﹣a）12=55m，
即（1﹣a）12=55，解得a＝1−(15)124，
所以该铝矿每年的开采率为1−(15)124；
（2）为了避免破坏当地的生态环境，铝矿石至少要保留m25吨不进行开采，
设该铝矿今后继续开采n年后，剩余的铝矿石为55（1﹣a）nm吨，
由题意知，55（1﹣a）n≥125，得（1﹣a）n≥525，
即(15)n24≥(15)32，
因为y=(15)x是减函数，所以n24≤32，
解得n≤36，所以该铝矿今后最多还能开采36年．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
18．已知定义在R上的函数f（x）＝ax+（2k﹣1）a﹣x（a＞0，且a≠1）是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数f（x）满足f（1）＞0，且存在x≥4，不等式f（lg2x+2）+f（t﹣2lgx2）＜0有解，求实数t的取值范围．
【分析】（1）由已知结合奇函数的性质f（0）＝0可求k；
（2）由f（1）＞可求a的范围，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．
解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即a0+（2k﹣1）a﹣0＝0，
则k＝0，
检验：k＝0时f（x）＝ax﹣a﹣x，
f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，满足题意，
∴实数k的值为0；
（2）由（1）知f（x）＝ax﹣a﹣x，因为f（1）＝a﹣a﹣1＞0，又a＞0且a≠1，所以a＞1；
所以f（x）＝ax﹣a﹣x在R上递增，且f（x）为奇函数，
所以不等式f（lg2x+2）+f（t﹣2lgx2）＜0可化为f（lg2x+2）＜﹣f（t﹣2lgx2），
即f（lg2x+2）＜f（2lgx2﹣t），
∴lg2x+2＜2lgx2﹣t，
∴lg2x﹣2lgx2+2＜﹣t，
即lg2x−2lg2x+2＜−t对x≥4有解，
−t＞(lg2x−2lg2x+2)min，
由x≥4时lg2x≥2，令m＝lg2x，则m≥2，lg2x−2lg2x+2=m−2m+2在m≥2时为增函数，
当m＝2时取最小值2−22+2=3，
所以﹣t＞3，即t＜﹣3，
故实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3）．
【点评】本题主要考查了奇偶性及单调性的综合应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
19．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（LEruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f（x），存在点x0，使f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点函数”，x0为函数的不动点．
（1）若定义在R上仅有一个不动点的函数f（x）满足f（f（x）﹣2x2+x）＝f（x）﹣2x2+x，试求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的实数b，若函数g(x)=ax2−(3b−1)x−2b+13(a≠0)恒有两个不动点，且满足如下条件：
①y＝g（x）图象上两个不同点M，N的横坐标是函数g（x）的不动点；
②点M，N关于函数ℎ(x)=−x+a3a2+4a+2的图象对称．
试求b的取值范围．
（注：两个点M（x1，y1），N（x2，y2）的中点C的坐标公式为C(x1+x22，y1+y22)）．
【分析】（1）设函数f（x）的唯一不动点为t，即f（t）＝t，由条件推出t﹣2t2+t＝t，解出t，进而可得f（x）的解析式；
（2）利用不动点定义求出a的范围，再利用中点坐标公式及韦达定理，求出b与a的函数关系，利用二次函数的性质求出答案．
解：（1）设函数f（x）的唯一不动点为t，即f（t）＝t，
因为f（f（x）﹣2x2+x）＝f（x）﹣2x2+x，
所以f（x）﹣2x2+x＝t，
所以f（t）﹣2t2+t＝t，
得t﹣2t2+t＝t，
解得t＝0或t=12；
当t＝0时，f（x）＝2x2﹣x；
由f（x）＝x，得2x2﹣x＝x，解得x＝0或x＝1，
此时f（x）有两个不动点，不合题意；
当t=12时，f(x)=2x2−x+12，
由f（x）＝x，
得2x2−x+12=x，
解得x=12，
此时f（x）只有一个不动点，符合题意；
综上，函数f（x）的解析式为f(x)=2x2−x+12；
（2）由g（x）＝x，得ax2−3bx−2b+13=0，
因为对任意的实数b，函数g（x）恒有两个不动点，
所以对任意的实数b，Δ=9b2+8ab−4a3＞0恒成立，
于是Δ1=(8a)2−4×9×(−4a3)＜0，
即4a2+3a＜0，
又a≠0，解得−34＜a＜0；
设函数g（x）的两个不动点为x1，x2，
则M（x1，x1），N（x2，x2），
又x1+x2=3ba，
于是线段MN的中点C（x1+x22，x1+x22），即C（3b2a，3b2a），
由题意，点C在函数ℎ(x)=−x+a3a2+4a+2的图象上，
得−3b2a+a3a2+4a+2=3b2a，
整理得b=13⋅a23a2+4a+2，
所以b=13⋅12(1a)2+4a+3=13⋅12(1a+1)2+1，
因为−34＜a＜0，
所以1a＜−43，1a+1＜−13，
所以(1a+1)2＞19，2(1a+1)2+1＞119，0＜12(1a+1)2+1＜911，
所以0＜b＜311．
所以实数b的取值范围为（0，311）．
【点评】本题属于新概念题，考查了“不动点函数”的定义及性质，考查了逻辑推理能力，属于难题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
C
C
C
B
A
C