2024-2025学年山东省枣庄市滕州市高一上册1月期末质量检测数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省枣庄市滕州市高一上册1月期末质量检测数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知全集，集合，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
2．“x＝” 是 “sinx＝” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x是正整数，用表示不超过x的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x充分大时，，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为（ ）
A．1086B．1229C．980D．1060
5．古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417－公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，，，…，则（ ）.
A．B．C．D．
6．已知，，．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知a，b，c满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．D．
11．以下运算中正确的有（ ）
A．若，则
B．
C．
D．
12．已知函数，有下列四个结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．的值域为
C．在上单调递减D．在上恰有8个零点
三、填空题（本大题共4小题）
13．函数的定义域是 ．
14．关于的不等式的解集为，则 .
15．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.
16．函数的所有零点之和为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．已知幂函数的图象过点
（1）求出函数的解析式
（2）判断在上的单调性并用定义法证明．
19．已知是定义在上的偶函数，且时，.
(1)求函数在上的解析式，并判断其单调性（无需证明）；
(2)若，求实数的取值范围.
20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数的图象，若，，求的值．
21．如图，ABCD是边长为80米的正方形菜园，计划在矩形ECFG区域种植蔬菜．E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，米，设矩形ECFG的面积为S（单位：平方米）
(1)若，请写出S（单位：平方米）关于的函数关系式；
(2)求S的最小值．
22．已知函数， .
（1）证明：为偶函数；
（2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围；
（3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
答案
1．【正确答案】A
【分析】先求，然后由交集运算可得.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A
2．【正确答案】A
根据充分不必要条件的定义可得答案.
【详解】当时，成立；而时得（），
故选：A．
本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
3．【正确答案】C
【分析】
根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【详解】
对：容易知是偶函数，且在单调递减，故错误；
对：容易知是偶函数，当时，，
其在单调递增，在单调递减，故错误；
对：容易知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；
对：容易知是奇函数，故错误；
故选：C.
4．【正确答案】A
【分析】由题中的定义，可知是计算，再根据对数的运算法则及性质求解即可.
【详解】由题意，可知.
故选:A
5．【正确答案】C
【分析】根据题意结合两角和的正弦公式运算求解.
【详解】由题意可知：，
可得
，
所以.
故选：C.
6．【正确答案】B
【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.
【详解】∵，∴，
又，∴，
∴．
故选：B．
7．【正确答案】A
【分析】化简可得，再根据求解即可.
【详解】由题意，即，即.
故.
故选：A
8．【正确答案】A
求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解
【详解】由函数单调性性质得：，在R上单调递增
所以在R上单调递增，
令函数，
则函数为奇函数，且在R上单调递增，
故．
故选:A
构造奇函数利用单调性是解题关键.
9．【正确答案】ABD
【分析】首先利用放缩法证明出，，从而可以判断ABC，对于D则需要使用基本不等式.
【详解】因为，所以，即，，即，
所以，故AB正确C错误；
对于D：，故D正确.
故选：ABD
10．【正确答案】ABD
【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D.
【详解】对于A：，所以A正确
对于B：，所以B正确
对于C：，所以C不正确
对于D：，所以D正确，
故选：ABD.
11．【正确答案】AC
【分析】由指数与对数的运算性质和换底公式逐一判定即可．
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误，
故选：AC．
12．【正确答案】AC
【分析】A项，根据已知函数即可得出函数的奇偶性；B项，化简函数，即可求出函数的值域；C项，求出的单调性，即可求出函数的单调性；D项，求出的解，即可求出函数在上的零点个数.
【详解】由题意，
故为偶函数，A正确;
设，则，
当 时, 取得最大值 2 , 当 时, 取得最小值为 ,
即的值域为,
所以 的值域为，B错误；
在 上的单调性与它在 上的单调性刚好相反,
当 时, 单调递增, 且 ,
而在时单调递减, 故 在 上单调递减,
又此时, 故函数 在 上单调递增,
于是得 在单调递减，C正确；
令 , 得 或 ,
而当 时, 及 恰有 3个不等的实根 ,
即 在区间 上恰有 3 个零点,
结合奇偶性可知,即 在区间 上恰有 6 个零点，D错误.
故选：AC.
关键点点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性，三角函数的化简和三角函数的相关性质，函数的零点，考查学生分类讨论的能力，逻辑思维的能力，具有很强的综合性.
13．【正确答案】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以该函数的定义域为，
故
14．【正确答案】/
【分析】分析可知，、是关于的方程的两根，利用韦达定理可得出的值.
【详解】因为关于的不等式的解集为，则，
且、是关于的方程的两根，
由韦达定理可得，，解得，所以，.
故答案为.
15．【正确答案】
【分析】由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减
所以在上为增函数，
由，得，
，当时，，
有，解得；
当时，，
有，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为.
16．【正确答案】9
【分析】根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.
【详解】由，令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，

观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零点之和为9.
故9
17．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和正切公式展开计算即可；
（2）根据诱导公式化简式子，然后利用“1”的代换及弦化切求解即可.
【详解】（1）由题意，解得.
（2）.
18．【正确答案】（1）；（2）单调递增，证明见解析.
（1）设，代入点即可求出；
（2）任取，计算化简并判断正负，即可判断.
【详解】（1）设，过点，
，解得，
；
（2）单调递增，证明如下：
任取，
，
，，
，
在上单调递增.
思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：
（1）在定义域内任取；
（2）计算并化简整理；
（3）判断的正负；
（4）得出结论，若，则单调递增；若，则单调递减.
19．【正确答案】(1)函数在上的解析式为，
函数在上单调递减，在上单调递增；
(2)
【分析】(1)设，则，根据题意得出，然后利用函数为偶函数即可求解；
(2)结合（1）的结论，求出，将不等式等价转化为，解之即可求解.
【详解】（1）设，则，所以，
又因为是定义在上的偶函数，所以，
则函数在上的解析式为，
函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知：，所以不等式可化为，结合函数的单调性可知：，
解得：，所以实数的取值范围为.
20．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简解析式，根据的对称轴求出周期从而求出，进而求得的解析式.
（2）根据三角函数图象变换求得，由，求得，，
然后构造方程组结合余弦的二倍角公式，即可求解.
【详解】（1）由题意知：，
且可得的周期，得：，
所以：，
故.
（2）由题意得：，
因为：，所以：，得：，
因为：，所以：，由，
所以：，
所以：
故.
21．【正确答案】(1)
(2)1400平方米
【分析】（1）由题意用的三角函数表示出，的长，即可求得答案；
（2）将化简，利用三角代换，即令，即可将转化为关于t的二次函数，结合二次函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）延长FG交AB于H，
则米，米，
则米，米，
故．
（2）由（1）得：．
令，则．
因为，
所以．
所以，
因为，
所以当时，．
即当时，矩形ECFG面积的最小值为1400平方米．
22．【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；
（2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法；
（3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可.
【详解】解：（1）证明：因为，又
，
即，
所以为偶函数.
（2）原题意等价于方程无解，
即方程无解.
令，
因为，
显然，
于是，即函数的值域是.
因此当时满足题意.
所以a的取值范围是.
（3）由题意，.
令，则.
则，.
①当时，，
，解得；
②当时，
，解得（舍去）；
③当时，
，解得（舍去）.
综上，存在，使得最小值为0.
方法点睛：
（1）对函数奇偶性的证明用定义：或；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.