2024-2025学年山西省朔州市怀仁市高一上册期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山西省朔州市怀仁市高一上册期末数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
7．已知，，，则大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．设函数，当为增函数时，实数的值可能是（ ）
A．2B． C．D．1
10．下列各式中值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则；
B．若正数a、b满足，则；
C．若，则的最大值是；
D．若，，，则的最小值是9；
12．已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则
C．的最小正周期为4D．在上的零点个数最少为1012个
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则
14．函数的值域为 .
15．若，且，，则 .
16．设函数的定义域为R，且对任意实数恒有：①；②；③当时，.若在上恰有三个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．计算下列各式的值.
(1)；
(2).
18．已知函数过点.
(1)求解析式；
(2)若，求的值域及单调增区间.
19．已知函数，且的最小正周期为.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围.
20．（1）已知，求的值.
（2）已知函数，其中表示不超过的最大整数.例如.若对任意都成立，求实数的取值范围.
21．如图，风景区的形状是如图所示的扇形OAB区域，其半径为4千米，圆心角为60°，点C在弧AB上．现在风景区中规划三条商业街道DE、CD、CE，要求街道DC与OA平行，交OB于点D，街道DE与OA垂直（垂足E在OA上）．
(1)如果弧BC的长为弧CA长的三分之一，求三条商业街道围成的△CDE的面积；
(2)试求街道CE长度的最小值．
22．已知函数.
(1)若函数在为增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，且对于，都有成立，求实数的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
【分析】根据二次函数不等式求得，再求得即可.
【详解】由题意，，又
故
故选：A
2．【正确答案】B
【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.
【详解】由可得或，推不出，
当时，一定成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
3．【正确答案】B
【分析】利用两角和与差的正弦公式结合三角函数的值域求解.
【详解】设，又，则有
由三角函数的有界性，知
，
所以．
故选：B．
4．【正确答案】D
【分析】利用诱导公式可得，再由二倍角余弦公式求.
【详解】由，即，
又.
故选：D
5．【正确答案】D
【分析】分、两种情况对函数的解析式进行化简，然后可得答案.
【详解】当时，，
当，，
所以函数的图像大致是选项D，
故选：D
6．【正确答案】B
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．
【详解】根据已知函数
其中，的图象过点，，
可得，，
解得：．
再根据五点法作图可得，
可得：，
可得函数解析式为：
故把的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
故选B．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
7．【正确答案】B
【分析】因为，，，故只需比较，，的大小，结合指数幂的运算性质及幂函数的单调性即可得出结果．
【详解】因为，，，故只需比较，，的大小，
∵，，∴，即；
∵，，∴，即；
∴，又在上递增．
∴，即．
故选：B．
8．【正确答案】B
【分析】利用三角函数的单调性与周期性的关系及周期公式，结合三角函数的最值即可求解.
【详解】因为在上单调，所以，即,则，
由此可得．
因为当，即时，函数取得最值，
欲满足在上存在极最点，
因为周期，故在上有且只有一个最值，
故第一个最值点，得，
又第二个最值点，
要使在上单调，必须，得．
综上可得，的取值范围是．
故选：B．
9．【正确答案】CD
【分析】由题知，且，进而解不等式即可得,再结合选项即可得答案.
【详解】解：当时，为增函数，则，
当时，为增函数，
故为增函数，则，且，解得，
所以，实数的值可能是内的任意实数.
故选：CD.
10．【正确答案】ABC
【分析】利用诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式即特殊角的三角函数计算可得.
【详解】解：对于A：，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：ABC
11．【正确答案】BC
【分析】A选项用作差法即可，B，C，D选项都是利用基本不等式判断.
【详解】对于选项A，，
因为，，所以，
,即，故，所以A错误；
对于选项B，因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于选项C，因为，，当且仅当即 时，等号成立，所以，故C正确；
对于选项D，因为，所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是8，故D错误.
故选：BC.
12．【正确答案】AC
【分析】根据题设及正弦型函数的对称性有，假设B中解析式成立，由得，进而验证解析式，令，，，作差求，进而求最小正周期，根据所得周期及正弦型函数的零点性质判断区间零点个数.
【详解】A，由题意在的区间中点处取得最大值，即，正确；
B，假设若，则成立，由A知，
而，故假设不成立，则错误；
C，，且在上有最大值，无最小值，
令，，，
则两式相减，得，即函数的最小正周期，故正确；
D，因为，所以函数在区间上的长度恰好为506个周期，
当，即，时，在区间上的零点个数至少为个，故错误.
故选：AC.
13．【正确答案】
【分析】利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值.
【详解】若函数在上递减，则.
当时，函数为偶函数，合乎题意；
当时，函数为奇函数，不合乎题意.
综上所述，.
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】在含有根号的函数中求值域，运用换元法来求解
【详解】令，则
,，
函数的值域为
本题主要考查了求函数的值域，在求值域时的方法较多，当含有根号时可以运用换元法来求解，注意换元后的定义域．
15．【正确答案】
【分析】由题意求出的范围，，的值，而，由两角差的余弦公式代入即可得出答案.
【详解】因为，所以，
，所以，所以，
所以，，
所以，
因为，，则，
，，所以
所以
，
所以.
故答案为.
16．【正确答案】(3，5)
【分析】根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象，根据交点个数列出不等式解出.
【详解】因为，所以是偶函数， 由得，所以的周期是，
结合时，，得到函数在上的图象，
因为在上恰有三个零点，
所以，解得
所以的取值范围为．
故答案为.
17．【正确答案】(1)125
(2)0
【分析】（1）按照指数运算进行计算即可；
（2）按照对数运算进行计算即可；
【详解】（1）；
（2）.
18．【正确答案】(1)
(2)值域为，单调增区间为
【分析】（1）将代入，解得，即可得解析式；
（2）求得，令，利用二次函数与对数函数的性质求解即可.
【详解】（1）将代入，得，解得，
所以，其中；
（2），
由，解得，
令，
，
由二次函数的性质可知，在时，，
又在上单调递减，
所以的值域为，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性知函数的单调增区间为.
19．【正确答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）先由三角恒等变换化简解析式，根据最小正周期公式求出ω，再由正弦函数的性质得出单调区间；
（2）由的单调性结合函数零点存在定理求出实数的取值范围.
【详解】（1）函数
因为，所以，解得
所以.
由得
故函数的单调递增区间为，
由得
故函数的单调递减区间为.
（2）由（1）可知，
在上为增函数；在上为减函数
由题意可知：，即
解得，故实数的取值范围为.
20．【正确答案】（1）（2）
【分析】（1）根据求出，据此即可求出的值；
（2）讨论的取值范围，求出，根据不等式恒成立，只需即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
所以或，因为，
所以，所以，所以
；
（2），当时，，
当时，，
当时，
，
又对任意都成立，
即恒成立，，
所以，所以实数的取值范围是.
21．【正确答案】(1)平方千米
(2)千米
【分析】（1）结合已知角及线段长，利用三角形的面积公式可求；
（2）由已知结合解三角形的知识，利用三角函数恒等变换可表示，然后结合正弦函数性质可求．
【详解】（1）如下图，连接，过作，垂足为．当弧的长为弧长的三分之一时，，在中，，，故，．在中，，，所以，则，所以，可得的面积（平方千米）；
（2）设，则，，，
又，则，所以．在直角三角形中，，其中．因为，所以，又，所以当时，有最小值为，即．综上，街道长度的最小值为千米．
22．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据函数单调性定义得到对恒成立，再根据时，的取值范围为，即可得到答案.
（2）当时，的最小值为0，将题意转化为对任意恒成立，根据对数函数的定义得到，从而将题意转化为对任意恒成立，再根据指数函数的单调性求解即可.
【详解】（1）设，且，则
因为函数在上为增函数，所以恒成立
又因为，所以，，
所以恒成立，即对恒成立.
当时，的取值范围为，
故，即实数取值范围为.
（2）因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为0，
所以由题意，可得对任意恒成立，
所以对任意恒成立.
①由有意义，得，即，.
又有意义，得，即，.
②由，
得，
即，
得对任意恒成立，
又，所以为减函数，
即：当，的最大值为，
所以，解得.
由①②得，实数的取值范围为.