2024-2025学年山西省太原市高一上册期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山西省太原市高一上册期末数学检测试题（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
8．若实数，，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共1小题）
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期
B．的定义域为
C．的值域为
D．是奇函数
三、单选题（本大题共1小题）
10．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在上是增函数
B．不等式的解集是
C．的图象过定点
D．当时，的图象与的图象有且只有一个公共点
四、多选题（本大题共2小题）
11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期
B．函数图象关于直线对称
C．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象
D．在上恰有3个零点，则实数的取值范围是
12．已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
五、填空题（本大题共4小题）
13．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是 .
14．已知函数与互为反函数，则 .
15．已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为 .
16．已知实数满足，则 .
六、解答题（本大题共5小题）
17．（1）求的值；
（2）已知，试用表示.
18．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
19．已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．已知函数.
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)判断在上的单调性，并证明你的判断；
(3)对任意，若恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数，其中.
(1)求使成立的取值范围；
(2)若函数，且对任意的，当时，都有成立，求实数的最小值.
答案
1．【正确答案】D
【分析】由终边相同的角的定义计算即可得.
【详解】与角终边相同的角为，
当时，有，其他选项检验均不成立.
故选：D.
2．【正确答案】A
【分析】由条件得到判断.
【详解】解：因为，且，
所以，
所以是第一象限角，
故选：A
3．【正确答案】C
【分析】根据具体函数的特征，列式求函数的定义域.
【详解】函数的定义域需满足不等式，即，
即，所以函数的定义域为.
故选：C
4．【正确答案】D
【分析】结合充分条件与必要条件的定义举出反例即可得.
【详解】当时，如，有，
当时，如，
故是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5．【正确答案】C
【分析】得出函数的单调性后借助零点的存在性定理即可得.
【详解】由，故在上单调递增，
又，，
故函数的零点所在的区间为.
故选：C.
6．【正确答案】B
【分析】先由，且，判断出，再利用平方关系求解.
【详解】解：因为，且，
所以，
则，
故选：B
7．【正确答案】C
【分析】求得，然后结合角范围可得．
【详解】由已知，
，∴．
故选：C．
8．【正确答案】A
【分析】利用对数函数的性质可判定，构造函数，利用导数研究其单调性可判定.
【详解】因为，利用换底公式可知，
构造函数，
显然时，，则在上单调递增，
时，，则在上单调递减，
所以由，即，
所以，综上.
故选：A
难点点睛：观察式子发现利用对数函数的性质可判定，即底数大于1时，底数越大图象在第一象限内越平缓，步骤上可以由换底公式计算；对于后两项对比可以构造，通过其单调性进行对比即可.
9．【正确答案】BD
【分析】结合正切函数的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由，故的最小正周期，故A错误；
对B：由题意得：，即，
故的定义域为，故B正确；
对C：由，故的值域为，故C错误；
对D：的定义域为，
，
故是奇函数，故D正确.
故选：BD.
10．【正确答案】AC
【分析】对A、B、C，结合对数函数性质逐项判断即可得，对D，将函数图象交点个数转化为研究函数的零点个数，借助零点的存在性定理即可判断.
【详解】对A：当时，在上是增函数，故A正确；
对B：当时，，则，当时，，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：当时，，令，
有，，
，
故在及上都至少有一根，
即的图象与的图象在及上都至少有一个交点，
故D错误.
故选：AC.
11．【正确答案】BC
【分析】由图象可得函数解析式，借助正弦型函数的性质逐项分析即可得.
【详解】由图可得，，则，
有，即，
由，故，即，
对A：由，故A错误；
对B：令，解得，故B正确；
对C：把函数的图象向左平移个单位长度，
可得，故C正确；
对D：当时，，
则有，即，故D错误.
故选：BC.
12．【正确答案】ACD
【分析】作出函数的图象和直线后直接判断A，由图象确定的关系及范围，然后利用对勾函数性质判断BC，结合二次函数性质判断D．
【详解】作出函数的图象，，再作出直线，如图，由得，
由对称性得，且，，
，因此，A正确；
，当且仅当时等号成立，
又时，，时，，
因此由对勾函数性质可得，B错；
同理由对勾函数性质得，因此，C正确；
因为，则，D正确．
故选：ACD．
13．【正确答案】
【分析】先将角度转化成弧度制，再利用扇形面积公式计算即可.
【详解】扇形的圆心角为120°，即，故扇形面积.
故答案为.
14．【正确答案】9
【详解】由反函数的性质可得，即，
故.
故9.
15．【正确答案】
【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得.
【详解】令，则，
当时，，
由题意可得，
解得，即实数的取值范围为.
故答案为.
16．【正确答案】/
【分析】原等式可分别变形为，， 可构造函数，结合函数单调性可得，即可得解.
【详解】由，即，即，
由，即，
令，则在定义域内单调递增，
有，，
故，故.
故答案为.
关键点睛：本题关键在于构造函数，结合单调性从而得出.
17．【正确答案】（1）；（2）
【分析】借助对数的运算性质计算即可得.
【详解】（1）原式
；
（2）
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助三角函数的定义计算即可得；
（2）借助辅助角公式计算即可得.
【详解】（1）角终边经过点，，
；
（2）原式.
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助二倍角公式与三角函数基本关系将弦化为切计算即可得；
（2）结合三角函数基本关系与三角恒等变换计算即可得.
【详解】（1），且，
则；
（2），
，
，，，
则，即，，
.
20．【正确答案】(1)偶函数，理由见解析
(2)单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）借助奇函数的定义判断即可得；
（2）由符合函数的性质可直接判断，借助函数单调性的定义即可证明；
（3）结合函数的单调性与奇偶性计算即可得.
【详解】（1）函数为偶函数，理由如下：
由题意得，，
函数的定义域为，关于原点对称，
又为偶函数；
（2）函数在上单调递减，理由如下：
取，且，
，
，
函数在上单调递减；
（3）由题意得，
当时，则，
当时，则，
（当且仅当时等号成立），；
综上，实数的取值范围为.
21．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合正弦函数的图象计算即可得；
（2）结合题意构造函数，可将原不等式转化为恒成立，结合函数单调性与正弦型函数的性质计算即可得.
【详解】（1）由得，
解得，
原不等式的解集为；
（2）令，
则，
对任意的，都有成立，
所以恒成立，即恒成立，
函数在单调递增：
由得，
，即实数的最小值为.