2024-2025学年陕西宝鸡金台区高二上册期末质量检测数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西宝鸡金台区高二上册期末质量检测数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，，以下结论中错误的是（ ）
A．若三个数成等差数列，则
B．若五个数成等差数列，则
C．若三个数成等比数列，则
D．若三个数成等比数列，则
2．已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则实数 的值是（ ）
A．B．或C．D．或
3．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在四面体中，，，，点M、 N分别在线段、上，且，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
5．已知直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．若直线，则
C．点到直线的距离是1
D．过与直线平行的直线方程是
6．已知等比数列的前n项和为.且，，则（ ）
A．16B．19
C．28D．36
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．若方程所表示的曲线为C，则（ ）
A．曲线C可能是圆
B．若，则C不一定是椭圆
C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则
10．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若点到焦点的距离为3，则的坐标为.
C．若，则的最小值为.
D．过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则
12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本大题共4小题）
13．焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为 .
14．等比数列中，，，则 .
15．曲线在点处的切线方程为 .
16．已知双曲线与直线相交于M、N两点，且M、N两点的纵坐标之积为，则该双曲线的离心率为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知等差数列的前3项和是24，前5项和是30.
(1)求这个等差数列的通项公式；
(2)若是的前n项和，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
18．在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆．
(1)若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程；
(2)若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值.
19．已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和
20．如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于点B，E点是线段OA上任意一点，EC⊥AB于点C，ED⊥x轴于点D，OC与ED相交于点F，求点F的轨迹方程.
21．已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
22．在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.
（1）证明：AB⊥PD．
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
答案
1．【正确答案】C
【分析】由等差中项、等比中项的定义逐一验证每一选项即可求解.
【详解】对于A，若三个数成等差数列，则，故A不符合题意；
对于B，若五个数成等差数列，则，
且当时，即成等差数列，故B不符合题意；
对于CD，若三个数成等比数列，则，即，故C符合题意，D不符合题意.
故选：C.
2．【正确答案】B
【分析】化为标准方程形式，然后代值计算即可.
【详解】由椭圆，即，
所以或，所以或，
解得或．
选：B．
3．【正确答案】A
【分析】根据抛物线的性质得出准线方程.
【详解】抛物线方程可化为，则，故抛物线的准线方程为.
故选：A
4．【正确答案】A
【分析】由空间向量基本定理结合线段比例关系分解向量即可.
【详解】由题意
.
故选：A.
5．【正确答案】D
【分析】求解直线的倾斜角判断A；利用直线的斜率乘积判断B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D．
【详解】直线，直线的斜率为：，所以直线的倾斜角为：，所以A不正确；
直线的斜率为：，两条直线不垂直，所以B不正确；
点到直线的距离是：，所以C不正确；
过与直线平行的直线方程是，正确，所以D正确；
故选：D．
6．【正确答案】C
【分析】利用，，成等比数列求解.
【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.
故选：C.
本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题.
7．【正确答案】D
【分析】列举法判断AB,根据数列裂项消项求和判断CD选项．
【详解】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确；
由题意
则可得：
，所以选项C正确，D错误；
故选：D
8．【正确答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9．【正确答案】ABC
【分析】令即可判断AB；由方程表示椭圆、双曲线的条件即可判断CD.
【详解】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确；
对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确；
对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误.
故选：ABC.
10．【正确答案】AD
【分析】由导数四则运算以及复合函数的导数逐一验算即可求解.
【详解】由题意，，
，.
故选：AD.
11．【正确答案】AC
【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.
【详解】抛物线，.
对于A，，，A正确；
对于B，设，，，的坐标为.B错误；
对于C,,C正确；
对于D，直线，联立，得：，,,D错误.
故选：AC.
12．【正确答案】ABD
【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；
在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；
在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；
在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.
【详解】在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
13．【正确答案】
【分析】结合椭圆的性质，即可求解．
【详解】焦点在x轴上，，，
则，解得，
故
故所求椭圆的方程为：．
故．
14．【正确答案】
【分析】由基本量法列方程求出即可求解.
【详解】设的公比为，因为，，
所以,解得,故.
故答案为.
15．【正确答案】
【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得所求切线方程．
【详解】的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
则切线的方程为，即.
故．
16．【正确答案】/
【分析】联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理即可求出，即可得到双曲线C的离心率．
【详解】联立方程组，消去，得，
由题意， ,得，
即双曲线，
故双曲线C的离心率.
故．
17．【正确答案】(1)
(2)当或时，的最大值为.
【分析】（1）由等差数列求和公式基本量的计算即可求解.
（2）由等差数列求和公式结合二次函数性质即可求解.
【详解】（1）由题意设等差数列的首项、公差分别为，
则由题意，解得，
所以这个等差数列的通项公式为.
（2）由（1），所以，
而二次函数的对称轴为，开口向下，
所以当或时，的最大值为.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意所求直线方程即公共弦方程，两个圆方程相减即可求解.
（2）将原问题转换为圆心到直线的距离等于1，由点到直线的距离公式即可得解.
【详解】（1）由题意圆O：和圆即关于直线l对称．
两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为.
（2）圆O：的圆心为，半径为，
若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，
则圆心到直线的距离等于1，
所以，解得.
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列基本量的计算即可得解.
（2）由错位相减法结合等比数列求和公式即可得解.
【详解】（1）由题意设等比数列的首项为，公比为，且
所以，
又，所以解得，
所以数列的通项公式为.
（2）若，则，
数列的前n项和，
，
两式相减得
，
所以数列的前n项和.
20．【正确答案】
【分析】求解直线OA的方程，设出F的坐标，转化求解C的坐标，由向量共线，求解即可．
【详解】OA的方程为：，
设，所以，
可得，F在线段OC上，
所以，,得，整理得
F的轨迹方程为.
21．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用渐近线方程、实轴长求出可得答案；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2，
所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知，
若线段的中点为，则直线的斜率存在，
设为，且，，
可得直线的方程为，
与双曲线方程联立，
可得，
设，
则，
解得，经检验符合题意.
22．【正确答案】（1）证明见解析（2）
（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可；
（2）由AD2+BD2＝AB2，可得AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）证明：连结BD，
∵在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，
底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.
∴BD＝AD，
∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，
∴AD⊥PD，BD⊥PD，
∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，
∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD.
（2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（，0，0），B（0，，0），C（，0），P（0，0，），
（），（0，，），（，，），
设平面ABP的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，1），
设平面PBC的法向量，
则，取，得（﹣1，1，1），
设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，
则二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：csθ.
本题考查了线面垂直判定定理和性质的应用，考查了利用空间向量求二面角问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.