2024-2025学年陕西省汉中市汉台区高一上册月考数学检测试卷（12月份）附解析

这是一份2024-2025学年陕西省汉中市汉台区高一上册月考数学检测试卷（12月份）附解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）−55π12是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜5}，N＝{x|x＝2k，k∈N}，则M∩N＝（ ）
A．{2，4}B．{0，2，4}C．{﹣2，0，2，4}D．{0，1，2，3，4}
3．（5分）函数f(x)=2x−14+2024x−3的定义域为（ ）
A．（2，3）∪（3，+∞）B．[2，3）∪（3，+∞）
C．（﹣2，3）∪（3，+∞）D．[﹣2，3）∪（3，+∞）
4．（5分）已知函数f（x）＝lga（4x﹣7）﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（m，n），则m+n＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
5．（5分）已知函数f（x）的图象在R上连续不断，则“f（1）f（3）＜0”是“f（x）在区间（1，3）上有零点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
6．（5分）设a＝lg30.8，b＝5﹣0.1，c＝lg23，则（ ）
A．b＞c＞aB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．c＞b＞a
7．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt．若当空气温度为20℃时，某物体的温度从80℃下降到50℃用时18分钟，则再经过36分钟后，该物体的温度为（ ）
A．22.5℃B．25℃C．27.5℃D．30℃
8．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g(x)=(12)x−m，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[﹣1，4]，使得g（x1）≤f（x2）成立，则m的取值范围是（ ）
A．[−152，+∞)B．[12，+∞)C．[﹣7，+∞）D．[2，+∞）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，OB＝OA＝4，则（ ）
A．∠AOB=π6
B．弧AB的长为4π3
C．扇形OAB的周长为4π3+4
D．扇形OAB的面积为8π3
（多选）10．（6分）若a＞1，函数f（x）＝|lga（x+2）|，则下列说法正确的是（ ）
A．f(−74)=f(2)
B．函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减
C．函数f（x）在区间[−32，0]上的最小值为0
D．若f（x1）＝f（x2）（x1＜x2），则（x1+2）（x2+2）＝1
（多选）11．（6分）已知实数a，b满足a2+2b2＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为43B．a2+4b的最大值为6
C．b2+2ab的最大值为4D．b2﹣2ab的最大值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数f(x)=lg2(1−x)，x＜0，2x，x≥0，则f（﹣3）+f（lg25）＝ ．
13．（5分）已知函数f（x），给出两个性质：①f（x）在R上单调递减；②对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）．写出一个同时满足性质①和性质②的函数f（x）＝ ．
14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝x2，且对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜x1+x22，则不等式f(2x)−f(1−2x)＞2x−12的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．求下列各式的值：
（1）(12)−12+(278)−23+(π−3)0−(1−2)2；
（2）3lg5+lg8﹣lg32•lg43．
16．已知集合A＝{x|2x2﹣2＜3x}，B＝{x|2a﹣3＜x＜a+1}．
（1）若a=12，求A∪B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求a的取值范围．
17．已知函数f(x)=lg12(ax2+4x+a−3)(a∈R)．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝ax﹣m•a﹣x（a＞1）是奇函数，且f(1)=32．
（1）求m和a的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若a2x+a﹣2x﹣4f（x）+3λ﹣1≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，求λ的取值范围．
19．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若函数y＝f（x）满足：∀x∈[a﹣1，a+1]，都有y∈[b﹣1，b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．
（1）判断函数y＝lg2x是否为点A（3，2）的“界函数”？并说明理由；
（2）若函数y＝x是点A（a，b）的“界函数”，求证：a＝b；
（3）若函数y=x−12x2是点A(m，m−12m2)的“界函数”，求m的取值范围．
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）−55π12是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【分析】根据终边判断角的象限即可．
解：−55π12=−7π12−4π，−7π12是第三象限角，
−55π12与−7π12终边相同，
所以−55π12是第三象限角．
故选：C．
【点评】本题考查终边相同角的判断，属于基础题．
2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜5}，N＝{x|x＝2k，k∈N}，则M∩N＝（ ）
A．{2，4}B．{0，2，4}C．{﹣2，0，2，4}D．{0，1，2，3，4}
【分析】根据交集的定义即可求解．
解：因为N＝{x|x＝2k，k∈N}＝{0，2，4，6，8，⋯，}，M＝{x|﹣3＜x＜5}，
所以M∩N＝{0，2，4}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
3．（5分）函数f(x)=2x−14+2024x−3的定义域为（ ）
A．（2，3）∪（3，+∞）B．[2，3）∪（3，+∞）
C．（﹣2，3）∪（3，+∞）D．[﹣2，3）∪（3，+∞）
【分析】根据偶次根式被开方数非负，分式的分母不等于0，列出不等式组，解不等式组即可求出定义域．
解：要使函数f(x)=2x−14+2024x−3有意义，
则2x−14≥0x−3≠0，解得x≥﹣2且x≠3，
∴f（x）的定义域为[﹣2，3）∪（3，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4．（5分）已知函数f（x）＝lga（4x﹣7）﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（m，n），则m+n＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据对数函数性质确定P的坐标，可得m，n，再求结论．
解：函数f（x）＝lga（4x﹣7）﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（m，n），
令4x﹣7＝1，解得x＝2，
又f（2）＝lga（4×2﹣7）﹣3＝﹣3，
∴函数f（x）＝lga（4x﹣7）﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（2，﹣3），
即m＝2，n＝﹣3，
∴m+n＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查对数函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知函数f（x）的图象在R上连续不断，则“f（1）f（3）＜0”是“f（x）在区间（1，3）上有零点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断．
解：函数f（x）的图象在R上连续不断，若f（1）f（3）＜0，则f（x）在区间（1，3）上有零点，
则“f（1）f（3）＜0”是“f（x）在区间（1，3）上有零点”的充分条件；
对于函数y＝f（x），若满足f（1）f（3）＞0，f（x）在区间（1，3）上也可能有零点，如f（x）＝（x﹣2）2，
所以“f（1）f（3）＜0”不是“f（x）在区间（1，3）上有零点”的必要条件，
则“f（1）f（3）＜0”是“f（x）在区间（1，3）上有零点”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查函数零点的判定，考查充分必要条件的应用，是基础题．
6．（5分）设a＝lg30.8，b＝5﹣0.1，c＝lg23，则（ ）
A．b＞c＞aB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．c＞b＞a
【分析】结合对数函数和指数函数性质证明a＜0，0＜b＜1，c＞1，由此比较a，b，c的大小．
解：y＝lg3x在（0，+∞）上单调递增，
a＝lg30.8＜lg31＝0，
y＝5x在（﹣∞，+∞）上单调递增，
则0＜b＝5﹣0.1＜50＝1，
y＝lg2x在（0，+∞）上单调递增，
1＝lg22＜lg23＝c，
所以c＞b＞a．
故选：D．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt．若当空气温度为20℃时，某物体的温度从80℃下降到50℃用时18分钟，则再经过36分钟后，该物体的温度为（ ）
A．22.5℃B．25℃C．27.5℃D．30℃
【分析】由已知得到50＝20+（80﹣20）e﹣18k，解得e−18k=12，再代入θ＝20+（80﹣20）e﹣54k结合指数的运算计算即可．
解：因为t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，
当空气温度为20℃时，某物体的温度从80℃下降到50℃用时18分钟，
所以θ0＝20，θ1＝80，θ＝50，
所以50＝20+（80﹣20）e﹣18k，可得e−18k=12，
再经过36分钟后，该物体的温度为：
θ＝20+（80﹣20）e﹣54k＝20+（80﹣20）（e﹣18k）3＝27.5，即该物体的温度为27.5℃．
故选：C．
【点评】本题考查函数的实际应用，属中档题．
8．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g(x)=(12)x−m，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[﹣1，4]，使得g（x1）≤f（x2）成立，则m的取值范围是（ ）
A．[−152，+∞)B．[12，+∞)C．[﹣7，+∞）D．[2，+∞）
【分析】若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[﹣1，4]，使得g（x1）≤f（x2）成立，等价于g（x1）max≤f（x2）max，利用函数的单调性求得在固定区间的最值，即可求得参数范围．
解：若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[﹣1，4]，使得g（x1）≤f（x2）成立，即g（x1）max≤f（x2）max，
又g(x)=(12)x−m在[0，1]上单调递减，
所以g(x)max=g(0)=(12)0−m=1−m．
且f（x）＝x2﹣2x在[﹣1，1]上单调递减，在[1，4]上单调递增，
又f（﹣1）＝3，f（4）＝8，
所以f（x）max＝8，所以1﹣m≤8，解得m≥﹣7，
即m的取值范围是[﹣7，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，OB＝OA＝4，则（ ）
A．∠AOB=π6
B．弧AB的长为4π3
C．扇形OAB的周长为4π3+4
D．扇形OAB的面积为8π3
【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案．
解：在扇形OAB中，∠AOB＝60°，OB＝OA＝4，
对于A，∠AOB=π3，故A错误；
对于B，弧长l=αr=π3×4=4π3，故B正确；
对于C，扇形OAB的周长为4π3+8，故C错误；
对于D，扇形OAB的面积S=12lr=12×4π3×4=8π3，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
（多选）10．（6分）若a＞1，函数f（x）＝|lga（x+2）|，则下列说法正确的是（ ）
A．f(−74)=f(2)
B．函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减
C．函数f（x）在区间[−32，0]上的最小值为0
D．若f（x1）＝f（x2）（x1＜x2），则（x1+2）（x2+2）＝1
【分析】计算对数式判断A；根据已知范围化简函数再结合函数的单调性判断B，根据函数的单调性得出函数的最小值判断C；应用对数函数的正负去绝对值得出对数式运算即可得出选项D．
解：a＞1，函数f（x）＝|lga（x+2）|，
因为f（−74）＝|lga4|，又f（2）＝|lga4|，所以f(−74)=f（2），故A正确；
当x∈（﹣1，+∞），a＞1，所以f（x）＝|lga（x+2）|＝lga（x+2）在区间（﹣1，+∞）上单调递增，故B错误；
当x∈[−32，0]时，lga(x+2)∈[lga12，lga2]，f(x)=|lga(x+2)|≥lga1=0，故C正确；
当x∈（﹣2，﹣1）时，x+2∈（0，1），又a＞1，所以f（x）＝|lga（x+2）|＝﹣lga（x+2），
所以函数f（x）在区间（﹣2，﹣1）上单调递减，又函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递增，若f（x1）＝f（x2）（x1＜x2），则﹣2＜x1＜﹣1＜x2，
所以|lga（x1+2）|＝|lga（x2+2）|，即﹣lga（x1+2）＝lga（x2+2），所以lga[（x1+2）（x2+2）]＝0，所以（x1+2）（x2+2）＝1，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了对数函数性质的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知实数a，b满足a2+2b2＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为43B．a2+4b的最大值为6
C．b2+2ab的最大值为4D．b2﹣2ab的最大值为4
【分析】利用基本不等式判断ACD，利用不等式的性质判断B．
解：已知实数a，b满足a2+2b2＝4，
因为ab=22⋅a⋅2b≤22⋅a2+(2b)22=2，当且仅当a=2b，即a=2，b＝1或a=−2，b＝﹣1时等号成立，
则ab的最大值为2，故A错误；
因为a2+2b2＝4，所以a2＝4﹣2b2，−2≤b≤2，
所以a2+4b＝4﹣2b2+4b＝﹣2（b﹣1）2+6≤6，当且仅当b＝1时等号成立，
则a2+4b的最大值为6，故B正确；
因为b2+2ab≤b2+a2+b2＝4，当且仅当a＝b=233或a=b=−233时等号成立，
则b2+2ab的最大值为4，故C正确；
因为b2﹣2ab≤b2+a2+b2＝4，当且仅当a=233，b=−233或a=−233，b=233时等号成立，
则b2﹣2ab的最大值为4，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数f(x)=lg2(1−x)，x＜0，2x，x≥0，则f（﹣3）+f（lg25）＝ 7 ．
【分析】利用分段函数和指对数运算，按段落求值，即可．
解：由题意可得f（﹣3）＝lg2（1+3）＝lg24＝2，f(lg25)=2lg25=5，
所以f（﹣3）+f（lg25）＝2+5＝7．
故7．
【点评】本题考查了分段函数和指对数运算，属于基础题．
13．（5分）已知函数f（x），给出两个性质：①f（x）在R上单调递减；②对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）．写出一个同时满足性质①和性质②的函数f（x）＝ (12)x（答案不唯一） ．
【分析】根据指数函数的单调性得出符合性质①再根据指数运算律得出符合性质②即可得出函数．
解：①f（x）在R上单调递减；②对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）f（x2）＝f（x1+x2），
取函数f(x)=(12)x，由指数函数的单调性可知，函数f(x)=(12)x在R上单调递减，满足性质①；
因为f(x1)f(x2)=(12)x1⋅(12)x2=(12)x1+x2=f(x1+x2)，满足性质②；所以f(x)=(12)x符合题意．
故(12)x．
【点评】本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝x2，且对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜x1+x22，则不等式f(2x)−f(1−2x)＞2x−12的解集为 (−∞，14) ．
【分析】设g(x)=f(x)−12x2，由f（x）+f（﹣x）＝x2，化简得到g（x）是奇函数，根据f(x1)−f(x2)x1−x2＜x1+x22化简可得g（x）在[0，+∞）上单调递减，进而根据函数单调性解不等式即可．
解：因为定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝x2，
设g(x)=f(x)−12x2，
则f（x）−12x2=12x2﹣f（﹣x）＝﹣[f（﹣x）−12（﹣x）2]，
故g（x）＝﹣g（﹣x），
所以g（x）＝f（x）−12x2为奇函数．
又对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜x1+x22，
设x1＞x2，则f(x1)−f(x2)＜(x1+x2)(x1−x2)2，
即f(x1)−x122＜f(x2)−x222⇔g（x1）＜g（x2），
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减⇒g（x）在R上单调递减，
因为f(2x)−f(1−2x)＞2x−12，所以g（2x）＞g（1﹣2x），
所以2x＜1﹣2x，解得x＜14，
即不等式f(2x)−f(1−2x)＞2x−12的解集为(−∞，14)．
故(−∞，14)．
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．求下列各式的值：
（1）(12)−12+(278)−23+(π−3)0−(1−2)2；
（2）3lg5+lg8﹣lg32•lg43．
【分析】（1）根据分数指数幂与根式的转化及指数运算计算化简求值即可；
（2）根据对数运算律计算求值．
解：（1）(12)−12+(278)−23+(π−3)0−(1−2)2
=(2−1)−12+[(32)3]−23+1−|1−2|
=(2−1)−12+[(32)3]−23+1−(2−1)
=212+(32)−2+1−2+1=2+49+2−2=229；
（2）3lg5+lg8−lg32⋅lg43=3lg5+3lg2−lg2lg3⋅lg3lg4
=3(lg5+lg2)−12=3−12=52．
【点评】本题考查了有理数指数幂和对数运算律，属于基础题．
16．已知集合A＝{x|2x2﹣2＜3x}，B＝{x|2a﹣3＜x＜a+1}．
（1）若a=12，求A∪B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【分析】（1）解不等式化简集合A，把a=12代入，再利用并集的定义求解．
（2）由（1）的信息，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解．
解：（1）依题意，A＝{x|2x2﹣2＜3x}＝{x|−12＜x＜2}，
当a=12时，B=(−2，32)，所以A∪B＝（﹣2，2）．
（2）由“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，得A⫋B，
因此2a−3＜−12a+1≥2或2a−3≤−12a+1＞2，解得1≤a＜54或1＜a≤54，
则1≤a≤54，所以a的取值范围是[1，54]．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了充分必要条件的应用，属于基础题．
17．已知函数f(x)=lg12(ax2+4x+a−3)(a∈R)．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围．
【分析】（1）若函数的定义域为R，则对数函数的真数大于零恒成立，对a分类讨论解不等式即可求出的范围；
（2）若函数在区间[1，2]上单调递减，根据同增异减法则可知，内函数单调递增，且真数大于零恒成立，分类讨论求解即可．
解：（1）根据题意，函数f(x)=lg12(ax2+4x+a−3)(a∈R)．
若f（x）的定义域为R，则不等式ax2+4x+a﹣3＞0对任意的x∈R恒成立，
当a＝0时，4x﹣3＞0，解得x＞34，不符合题意；
当a≠0时，a＞0，Δ=42−4a(a−3)＜0，解得a＞4．
综上，a的取值范围是（4，+∞）．
（2）当a＝0时，f(x)=lg12(4x−3)在区间[1，2]上单调递减，符合题意；
当a＞0时，若f（x）在区间[1，2]上单调递减，则−42a≤1，a+4+a−3＞0，
所以a＞0；
当a＜0时，若f（x）在区间[1，2]上单调递减，则−42a≥2，a+4+a−3＞0，
所以−12＜a＜0．
综上，a的取值范围是(−12，+∞)．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及不等式的恒成立问题，属于中档题．
18．已知函数f（x）＝ax﹣m•a﹣x（a＞1）是奇函数，且f(1)=32．
（1）求m和a的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若a2x+a﹣2x﹣4f（x）+3λ﹣1≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，求λ的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数f（0）＝0和f(1)=32即可求得m和a的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数单调性；
（3）运用函数f（x）的单调性和奇函数的性质，结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可．
解：（1）由题意知f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）＝1﹣m＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，f（x）＝ax﹣a﹣x，
所以f（﹣x）＝a﹣x﹣a﹣（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣（ax﹣a﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数，满足题意．
又f(1)=a−a−1=32，
即2a2﹣3a﹣2＝0，（a﹣2）（a+12）＝0，
解得a=−12（舍去）或a＝2，
综上，m＝1，a＝2；
（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，证明如下：
设∀x1，x2∈R且x1＜x2，
则f(x1)−f(x2)=2x1−2−x1−(2x2−2−x2)
=2x1−2x2−12x1+12x2
=2x1−2x2+2x1−2x22x1+x2
=(2x1−2x2)(2x1+x2+1)2x1+x2，
又x1＜x2，所以2x1−2x2＜0，2x1+x2+1＞0，2x1+x2＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
（3）若a2x+a﹣2x﹣4f（x）+3λ﹣1≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，
即22x+2﹣2x﹣4（2x﹣2﹣x）≥1﹣3λ对任意的x∈[1，2]恒成立，
令g（x）＝22x+2﹣2x﹣4（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣4（2x﹣2﹣x）+2，
令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，由（2）可知f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数，
又1≤x≤2，f(1)=32，f(2)=154，
所以32≤t≤154，
所以y=t2−4t+2=(t−2)2−2，t∈[32，154]，
所以g（x）min＝﹣2，t＝2时等号成立，
所以﹣2≥1﹣3λ，
解得λ≥1，
即λ的取值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查了奇函数、幂函数的性质，考查了转化思想及函数单调性的证明，属于中档题．
19．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若函数y＝f（x）满足：∀x∈[a﹣1，a+1]，都有y∈[b﹣1，b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．
（1）判断函数y＝lg2x是否为点A（3，2）的“界函数”？并说明理由；
（2）若函数y＝x是点A（a，b）的“界函数”，求证：a＝b；
（3）若函数y=x−12x2是点A(m，m−12m2)的“界函数”，求m的取值范围．
【分析】（1）根据“界函数”的定义判断；
（2）根据“界函数”的定义得到[a﹣1，a+1]⊆[b﹣1，b+1]，然后列不等式得到b≤aa≤b，即可得到a＝b；
（3）根据“界函数”的定义得到函数y=x−12x2的定义域，然后分m≤0、0＜m≤1、1＜m＜2和m≥2四种情况讨论函数的值域，列不等式求解即可．
解：（1）当x∈[3﹣1，3+1]，即x∈[2，4]时，y＝lg2x∈[1，2]，
又[1，2]⊆[2﹣1，2+1]＝[1，3]，
所以函数y＝lg2x是点A（3，2）的“界函数”；
（2）证明：由函数y＝x是点A（a，b）的“界函数”，且函数y＝x为增函数，
当x∈[a﹣1，a+1]时，函数y＝x的值域为[a﹣1，a+1]，
因为y∈[b﹣1，b+1]，
所以[a﹣1，a+1]⊆[b﹣1，b+1]，
所以a−1≥b−1a+1≤b+1，解得a≥ba≤b，
所以a＝b；
（3）因为函数y=x−12x2是点A(m，m−12m2)的“界函数”，
所以∀x∈[m﹣1，m+1]，都有y∈[m−12m2−1，m−12m2+1]．
又因为y=x−12x2的开口向下，对称轴为x＝1，
所以函数y=x−12x2在（﹣∞，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当m+1≤1，即m≤0时，y=x−12x2在[m﹣1，m+1]上单调递增，
又当x＝m﹣1时，y＝（m﹣1）−12(m−1)2=2m−12m2−32；
当x＝m+1时，y=(m+1)−12(m+1)2=12−12m2，
所以y=x−12x2在[m﹣1，m+1]上的值域为[2m−12m2−32，12−12m2]，
所以[2m−12m2−32，12−12m2]⊆[m−12m2−1，m−12m2+1]，
所以2m−12m2−32≥m−12m2−112−12m2≤m−12m2+1，即m≥12m≥−12，
解得m≥12，与m≤0矛盾，
所以这种情况不符合题意；
当m+1＞1m−1＜1，即0＜m＜2时，
y=x−12x2在[m﹣1，1]上单调递增，在[1，m+1]上单调递减，
所以ymax=1−12×12=12，
又当x＝m﹣1时，y=(m−1)−12(m−1)2=2m−12m2−32；
当x＝m+1时，y=(m+1)−12(m+1)2=12−12m2．
若2m−12m2−32≤12−12m2，
即0＜m≤1时，y=x−12x2在[m﹣1，m+1]上的值域为[2m−12m2−32，12]，
所以[2m−12m2−32，12]⊆[m−12m2−1，m−12m2+1]，
所以2m−12m2−32≥m−12m2−112≤m−12m2+1，即m≥121−2≤m≤1+2，
解得12≤m≤2+1，又0＜m≤1，
所以12≤m≤1；
若2m−12m2−32＞12−12m2，
即1＜m＜2时，
y=x−12x2在[m﹣1，m+1]上的值域为[12−12m2，12]，
所以[12−12m2，12]⊆[m−12m2−1，m−12m2+1]，
所以12−12m2≥m−12m2−112≤m−12m2+1，
解得1−2≤m≤32，
又1＜m＜2，所以1＜m≤32；
当m﹣1≥1，即m≥2时，y=x−12x2在[m﹣1，m+1]上单调递减，
又当x＝m﹣1时，y=(m−1)−12(m−1)2=2m−12m2−32；
当x＝m+1时，y=(m+1)−12(m+1)2=12−12m2，
所以y=x−12x2在[m﹣1，m+1]上的值域为[12−12m2，2m−12m2−32]，
所以[12−12m2，2m−12m2−32]⊆[m−12m2−1，m−12m2+1]，
所以12−12m2≥m−12m2−12m−12m2−32≤m−12m2+1，
解得m≤32，又m≥2，
所以这种情况不符合题意．
综上，m的取值范围是[12，32]．
【点评】本题属于新概念题，考查函数恒成立问题、转化思想、分类讨论思想及基合间的包含关系，属于难题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
A
D
C
C