2024-2025学年陕西省武功县高二上册期末考试数学模拟检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西省武功县高二上册期末考试数学模拟检测试题（附解析），共9页。试卷主要包含了直线的倾斜角是，向量，，若，则，若数列满足，则数列的通项公式为，设是等比数列的前项和，若，，则，已知为椭圆C，已知直线等内容，欢迎下载使用。
单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
直线，即，则直线的斜率，所以倾斜角为.
故选：C【正确答案】C
2．向量，，若，则（ ）
A．， B．， C．， D．
由题设，故.故选：B【正确答案】B
3．已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（ ）
A．160B．253C．180D．190
设数列的首项为，公差为，因为，所以，解得，
所以，故选：B.【正确答案】B
4．已知表示的曲线是圆，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
由方程可得，
所以当时表示圆，解得.故选：C.【正确答案】C
5．若数列满足，则数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
因为①，当时，，当时②，
①②得，所以，当时也成立，所以；
故选：D【正确答案】D
6．设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
设等比数列的公比为，若，则，矛盾.
所以，，故，则，
所以，，
，因此，.故选：B.【正确答案】B
7．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
∵抛物线的方程为，∴焦点，准线的方程为.
∵直线的斜率，∴直线的方程为，当时，，即.
∵为垂足，∴点的纵坐标为，代入到抛物线方程得，点的坐标为.
∴.故选：C.【正确答案】C
8．已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得.过F且垂直于x轴直线与C交于M，N两点，
.等于的最小值的3倍，.
椭圆中，，即，
则.，，解得或（舍）.故选：B.【正确答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线：，为坐标原点，则（ ）
A．直线的倾斜角为 B．若到直线的距离为，则c＝2
C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为
直线可化为：，所以斜率，得倾斜角为，故错误；
由点到直线的距离公式得，得，所以，故错误；
设与直线平行的直线方程为，因为平行直线方程经过原点，所以，
即平行直线方程为，故正确；设与直线垂直的直线方程为,因为垂直直线方程经过原点，所以，即垂直直线方程为，故正确.故选.【正确答案】CD
10．已知在等比数列中，满足，，是的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递增数列
C．数列是等差数列D．数列中，，，仍成等比数列
依题意可知，
所以，所以数列是等比数列，A选项正确.
，所以，且，所以数列是递减数列，B选项错误.
设，则，所以数列是等差数列，C选项正确.
，因为，
故数列{}中，不成等比数列，所以D选项错误.故选：AC.【正确答案】AC
11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 点B到直线的距离为
B. 直线CF到平面的距离为
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 直线与直线所成角的余弦值为
在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
,2,，,0,，,2,，,2,，,2,，
则点到直线的距离为：
，故A正确；
,0,，,1,，,1,，,2,，,,，,1,，,2,，,1,，设平面的法向量,,，则，
取，得,2,，由于分别为的中点，所以 且，
因此四边形为平行四边形，故,又平面, 平面,所以平面，直线到平面的距离为，故B正确；
设直线与平面所成角，则，故C错误；
,2,，,,，设直线与直线所成角为，则，故D正确．故选：ABD．【正确答案】ABD
填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知正项数列的前项和为，且满足，若，，
则 ．
因为，所以数列为等比数列，设公比为，
则，得，解得（舍去），
所以．【正确答案】
13．以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是 ．
圆心到切线的距离，所以圆的半径，所以圆的标准方程为.【正确答案】
14．设数列满足，且(), 则数列前10项的和为 ．
由题意得：
所以【正确答案】
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15．（13分）已知直线l的方程为，直线l1的方程为．
（1）当时，求过点且与l平行的直线方程；（2）当直线l⊥l1时，求实数m的值．
（1）时，直线l的方程为，即.∵所求直线与l平行，.
故过点与l平行的直线方程是即．
（2）l：，l1：∵l⊥l1，
∴，解得或2．
16．（15分）已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点．
（1）求C的方程；（2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程．
（1）依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得，
所以C的方程为．
（2）由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为，
由消去y得，则，有，，即，因此线段AB的中垂线方程为，即，令，得，设所求圆的圆心为E，则，又AB过C的焦点F，则有，
设所求圆的半径为r，则，
故所求圆的方程为．
17．（15分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由已知，得，而，所以.
又因为，解得.所以，.由，可得.
由，可得，联立①②，解得，由此可得.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（2）设数列的前项和为，由，有，
，
上述两式相减，得
.
得.所以，数列的前项和为.
18．（17分）设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
(Ⅰ)，解得
(Ⅱ)依据题意，原点为的中点，与轴垂直，所以直线
与轴的交点是线段的中点，故，即
由，得，设，且，易知，则
，代入椭圆方程得，
又代入上式，解得．
19．（17分）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．
（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，
求出的值；若不存在，说明理由．
（1）取中点，连接，如图，又为的中点，，由，则，
又为等腰直角三角形，，,，
又，平面，
平面，又平面，
（2）由（1）知，，又平面平面，是交线，平面，所以平面，即两两互相垂直，故以为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，设，则，
，，，
设为平面的一个法向量，
则，令，即，
设与平面所成角为，，
即与平面所成角的正弦值为．
（3）若存在N使得平面平面，且，，
则，解得 ，又，则，，
设是平面CNM的一个法向量，
则，令b=l，则，
，解得，故存在N使得平面平面，此时．