2024-2025学年四川省成都市高二上册第二次段考数学检测试卷（12月份）附解析

这是一份2024-2025学年四川省成都市高二上册第二次段考数学检测试卷（12月份）附解析，共22页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）抛物线y2＝﹣2x的焦点坐标是（ ）
A．（﹣1，0）B．（−12，0）C．（0，﹣1）D．（0，12）
2．（5分）掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现偶数点”，B＝“第二枚出现奇数点”，则A与B的关系为（ ）
A．互斥B．互为对立C．相互独立D．相等
3．（5分）已知方程x22+m−y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）
C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，﹣1）
4．（5分）从甲、乙、丙、丁4位同学中选2名代表，假设每个人当选的可能性相等，则甲被选上的概率为（ ）
A．12B．13C．14D．16
5．（5分）如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M为棱BC的中点，则DB→⋅AM→的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．2
6．（5分）若椭圆x29+y2k+8=1的离心率为22，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．32C．3或32D．6或62
7．（5分）已知直线x+y＝a与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，且∠AOB＝120°，其中O为坐标原点，则实数a的值为（ ）
A．2B．6C．2或−2D．6或−6
8．（5分）已知A，B两点的坐标分别是（2，0），（4，4），动点M到A的距离比到直线x＝﹣3的距离小1，则|MA|+|MB|的最小值为（ ）
A．4B．5C．25D．6
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）某同学参加数学竞赛培训，现从该同学在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽6次的成绩（单位：分）分别为84，95，91，95，98，100，则关于这6次成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数为95B．中位数为93
C．平均成绩低于93分D．极差为16
（多选）10．（6分）双曲线x29−y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的渐近线方程为y=±34x
B．双曲线的离心率为53
C．若M为双曲线上一点，且|MF1|＝7，则|MF2|＝13．
D．若A，B为双曲线上两点，则点P（1，1）可以为线段AB的中点．
（多选）11．（6分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M是侧面B1C1CB内的一个动点，下列说法正确的有（ ）
A．若M在线段BC1上，则三棱锥A1﹣AD1M的体积为定值
B．若M在线段BC1上，则DM⊥B1C
C．若O为底面ABCD的中心且D1O⊥OM，则M到底面ABCD的距离与它到点B的距离之和的最小值是85
D．若AM⊥MC，则A1M与平面B1C1CB所成角的正切的最大值为5+12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=23，则直线BD1与直线DC所成角的余弦值为 ．
13．（5分）直线y＝k（x﹣1）与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，且|AB|＝6，则k＝ ．
14．（5分）在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：x﹣2y＝0在第一象限内的点，B（0，5），以AB为直径的圆C与直线l交于另外一点D．若AB⊥CD，则A的纵坐标为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]，得到如下的频率分布直方图．
（1）求图中m的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第75百分位数；
（2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．
16．（15分）已知点A（1，1），B（0，2），C（﹣3，3），圆M为△ABC的外接圆．
（1）求圆M的标准方程，
（2）过点（2，8）作圆的切线l，求l的方程．
17．（15分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=3，AD=2，DC=23，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求平面DEB与平面DEC夹角的余弦值．
18．（17分）甲、乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲射击一次击中的概率为13，乙射击一次击中的概率为14，且第一次由甲开始射击．
（1）求前3次射击中甲恰好击中2次的概率；
（2）求第4次由甲射击的概率．
19．（17分）设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C为线段OB的中点，离心率e=32，S△ABC=12．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上求一点P，使得点P到直线3x−2y+6=0的距离最短；
（3）若直线l与椭圆相交于E，F两点，直线OE，l，OF的斜率分别为k1，k，k2其中（k＞0），△OEF的面积为S，以OE，OF为直径的圆的面积分别为S1，S2．若k2＝k1•k2，求S1+S2S的范围．
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）抛物线y2＝﹣2x的焦点坐标是（ ）
A．（﹣1，0）B．（−12，0）C．（0，﹣1）D．（0，12）
【分析】利用抛物线的标准方程，写出焦点坐标即可．
解：抛物线y2＝﹣2x，可得p＝1，所以抛物线的焦点坐标（−12，0）．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，焦点坐标的求法，是基础题．
2．（5分）掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现偶数点”，B＝“第二枚出现奇数点”，则A与B的关系为（ ）
A．互斥B．互为对立C．相互独立D．相等
【分析】根据题意，求出P（A）、P（B）和P（AB），由相互独立事件的判断方法分析可得答案．
解：根据题意，P（A）=36=12，P（B）=36=12，P（AB）=3×36×6=14，
故P（A）P（B）＝P（AB），则事件A、B相互独立．
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件的判断，涉及古典概型的概率计算，属于基础题．
3．（5分）已知方程x22+m−y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）
C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据双曲线的焦点在x轴或在y轴进行讨论，分别建立关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围．
解：∵方程x22+m−y2m+1=1表示双曲线，
∴当双曲线的焦点在x轴上时，2+m＞0m+1＞0，解之得m＞﹣1；
当双曲线的焦点在y轴上时，2+m＜0m+1＜0，解之得m＜﹣2
因此，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）
故选：A．
【点评】本题给出含有参数m的二次曲线方程，在已知方程表示双曲线时求参数m的取值范围，着重考查了双曲线的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．
4．（5分）从甲、乙、丙、丁4位同学中选2名代表，假设每个人当选的可能性相等，则甲被选上的概率为（ ）
A．12B．13C．14D．16
【分析】根据题意，由组合数公式计算“从甲、乙、丙、丁4位同学中选2名代表”和“甲被选上”的选法，由古典概型公式计算可得答案．
解：根据题意，从甲、乙、丙、丁4位同学中选2名代表，有C42=6种选法，
其中，甲被选上的选法有C31=3种，
则甲被选上的概率P=36=12．
故选：A．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及组合数公式的应用，属于基础题．
5．（5分）如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M为棱BC的中点，则DB→⋅AM→的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．2
【分析】直接利用向量的数量积运算求出结果．
解：由于在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M为棱BC的中点，
故AM→=12(AB→+AC→)，
故DB→⋅AM→=12(AB→−AD→)⋅(AB→+AC→)=12AB→2+12AB→⋅AC→−AD→⋅AB→−AD→⋅AC→=12×4+12×2×2×12−2×2×12−2×2×12=−1．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6．（5分）若椭圆x29+y2k+8=1的离心率为22，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．32C．3或32D．6或62
【分析】根据椭圆的焦点在x轴或y轴上，分两种情况讨论，利用椭圆的离心率的公式算出k值，得到椭圆的标准方程，进而求出椭圆的长轴长，可得答案．
解：①当椭圆的焦点在x轴上时，9＞k+8＞0，即﹣8＜k＜1．
根据椭圆的离心率e=22，得ca=1−b2a2=1−k+89=22，解得k=−72，
此时椭圆的方程为x29+y292=1，椭圆的长轴2a＝6．
②当椭圆的焦点在y轴上时，9＜k+8，即k＞1．
根据椭圆的离心率e=22，得ca=1−b2a2=1−9k+8=22，解得k＝10．
此时椭圆的方程为y218+x29=1，椭圆的长轴2a=218=62．
综上所述，椭圆的长轴长等于6或62．
故选：D．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．
7．（5分）已知直线x+y＝a与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，且∠AOB＝120°，其中O为坐标原点，则实数a的值为（ ）
A．2B．6C．2或−2D．6或−6
【分析】根据题意知圆心到直线的距离为d=12r，列方程求解即可．
解：直线x+y＝a与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，且∠AOB＝120°，
所以圆心O到直线x+y﹣a＝0的距离为d=12r＝1，
即|−a|12+12=1，解得a＝±2．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，是基础题．
8．（5分）已知A，B两点的坐标分别是（2，0），（4，4），动点M到A的距离比到直线x＝﹣3的距离小1，则|MA|+|MB|的最小值为（ ）
A．4B．5C．25D．6
【分析】由题意，根据抛物线的定义得到动点M的轨迹方程，再进行求解即可．
解：因为动点M到A（2，0）的距离比到直线x＝﹣3的距离小1，
所以点M到直线x＝﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，
所以点P在以A（2，0）为焦点，x＝﹣2为准线的抛物线上，
此时p2=2，
解得p＝2，
则动点M的轨迹方程为y2＝8x，
要求|MA|+|MB|的最小值，
即求点M到直线x＝﹣2的距离与|MB|之和的最小值，
易知当M、B、准线x＝﹣2上的点三点共线时距离之和最小，
所以|MA|+|MB|的最小值为点B（4，4）到直线x＝﹣2的距离，
此时d＝4﹣（﹣2）＝6，
则|MA|+|MB|的最小值为6．
故选：D．
【点评】本题考查轨迹方程以及抛物线的定义，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）某同学参加数学竞赛培训，现从该同学在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽6次的成绩（单位：分）分别为84，95，91，95，98，100，则关于这6次成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数为95B．中位数为93
C．平均成绩低于93分D．极差为16
【分析】根据题意，由众数、中位数、平均数和极差的计算公式依次分析选项，综合可得答案．
解：根据题意，6次的成绩从小到大排列为：84，91，95，95，98，100．
依次分选项：
对于A，6次的成绩的众数为95，A正确；
对于B，6次成绩的中位数为12（95+95）＝95，B错误；
对于C，平均成绩为16（84+91+95+95+98+100）≈93.8，C错误；
对于D，6次的成绩的极差为100﹣84＝16，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查数据平均数、众数、中位数和极差的计算，注意平均数、众数、中位数和极差的计算公式，属于基础题．
（多选）10．（6分）双曲线x29−y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的渐近线方程为y=±34x
B．双曲线的离心率为53
C．若M为双曲线上一点，且|MF1|＝7，则|MF2|＝13．
D．若A，B为双曲线上两点，则点P（1，1）可以为线段AB的中点．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析A和B，由双曲线的定义分析C，由反证法分析D，综合可得答案．
解：根据题意，双曲线x29−y216=1，其焦点在x轴上，其中a＝3，b＝4，则c=9+16=5，
依次分析选项：
对于A，该双曲线的焦点在x轴上，其中a＝3，b＝4，则其渐近线方程为y＝±43x，A错误；
对于B，该双曲线中，a＝3，c＝5，则其离心率e=ca=53，B正确；
对于C，若M为双曲线上一点，且|MF1|＝7，则有||MF1|﹣|MF2||＝2a＝6，
解可得：|MF2|＝13或|MF2|＝1，
又由c﹣a＝2，则|MF2|＝1不符合题意，故|MF2|＝13，C正确；
对于D，假设点P（1，1）为线段AB的中点，则A（x1，y1），B（x2，y2），
双曲线x29−y216=1，两个顶点为（﹣3，0）和（3，0），而P（1，1），
若过点P的直线与双曲线有两个交点，双曲线渐近线方程为y＝±43x，
则有−43＜kAB＜43，
则有x129−y1216=1①x229−y2216=1②，①﹣②可得：(x1−x2)(x1+x2)9=(y1−y2)(y1+y2)16，
又由点P（1，1）为线段AB的中点，则x1+x2＝2，y1+y2＝2，
则有x1−x29=y1−y216，变形可得kAB=y1−y2x1−x2=169，
与−43＜kAB＜43相矛盾，故假设点P（1，1）为线段AB的中点不成立，
即点P（1，1）不会是线段AB的中点，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于中档题．
（多选）11．（6分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M是侧面B1C1CB内的一个动点，下列说法正确的有（ ）
A．若M在线段BC1上，则三棱锥A1﹣AD1M的体积为定值
B．若M在线段BC1上，则DM⊥B1C
C．若O为底面ABCD的中心且D1O⊥OM，则M到底面ABCD的距离与它到点B的距离之和的最小值是85
D．若AM⊥MC，则A1M与平面B1C1CB所成角的正切的最大值为5+12
【分析】根据正方体的性质，三棱柱的体积公式，坐标法，线面角的概念，化归转化思想，针对各个选项分别求解即可．
解：对于A，由题意M在线段BC1上，且BC1∥平面ADD1A1，
所以点M到平面ADD1A1的距离不变，且△A1AD的面积不变，
因为VM−A1AD=VA1−ADM1，所以三棱锥A1﹣AD1M的体积为定值，选项A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得B（2，2，0），C1（0，2，2），D（0，0，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），
则BC1→=（﹣2，0，2），CB1→=（2，0，2），
设BM→=λBC1→=（﹣2λ，0，2λ），λ∈[0，1]，
可得M（﹣2λ+2，2，2λ），可得DM→=（﹣2λ+2，2，2λ），
因为DM→•CB1→=2（﹣2λ+2）+0×2+2×2λ＝4≠0，所以MD与B1C不垂直，选项B错误；
对于C，由B选项分析可得O（1，1，0），设M（x，2，z），D1O→=（1，1，﹣2），OM→=（x﹣1，1，z），
因为D1O⊥OM，所以D1O→•OM→=0，
即x﹣1+1﹣2z＝0，即x＝2z，设B1B的中点为N，
则M在线段CN上，作出右侧面的平面图形如下：
过作B关于NC的对称点B′，再过B′作B′H⊥BC于点H，且B′H∩NC＝M，
则M到底面ABCD的距离与它到点B的距离之和的最小值即为B′H，
易知cs∠BB′H＝cs∠BCN＝csθ=25，BB′=2×1×25=45，
所以最小值B′H＝BB′csθ=45×25=85，所以C选项正确；
对于D，因为AM⊥MC，设O为底面ABCD的中心，BC中点为E，连接OE，
所以OM=12AC=2，OE⊥EM，OE＝1，
所以ME=OM2−OE2=2−1=1，
所以M为以E为圆心，1为半径的半圆弧如图：
又易知A1B1⊥平面B1C1CB，
所以A1M与平面B1C1CB所成角为∠A1MB1，
又tan∠A1MB1=A1B1B1M=2B1M，又B1M≥B1E﹣1=5−1，
所以tan∠A1MB1的最大值为25−1=5+12，所以D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，坐标法的应用，线面角的求解，化归转化思想，属难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=23，则直线BD1与直线DC所成角的余弦值为 55 ．
【分析】以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空是直角坐标系，利用向量法能求出直线BD1与直线DC所成角的余弦值．
解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=23，
以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空是直角坐标系，
B（2，2，0），D1（0，0，23），D（0，0，0），C（0，1，0），
BD1→=（﹣2，﹣2，23），DC→=（0，1，0），
设直线BD1与直线DC所成角为θ，
则csθ=|BD1→⋅DC→||BD1→|⋅|DC→|=220=55，
∴直线BD1与直线DC所成角的余弦值为55．
故55．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13．（5分）直线y＝k（x﹣1）与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，且|AB|＝6，则k＝ ±2 ．
【分析】由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立y=k(x−1)y2=4x，消去y并整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得x1+x2=2k2+4k2，x1x2＝1，
所以|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2
=1+k2⋅(2k2+4k2)2−4=6，
整理得5k4﹣8k2﹣4＝0，
解得k2＝2，
则k=±2．
故±2．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
14．（5分）在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：x﹣2y＝0在第一象限内的点，B（0，5），以AB为直径的圆C与直线l交于另外一点D．若AB⊥CD，则A的纵坐标为 3 ．
【分析】设A（2a，a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合AB⊥CD，列式求解即可．
解：设A（2a，a），a＞0，∵B（0，5），∴C（a，5+a2），
则圆C的方程为x（x﹣2a）+（y﹣5）（y﹣a）＝0．
联立x−2y=0x(x−2a)+(y−5)(y−a)=0，
解得x=2y=1，即D（2，1）．
∵AB⊥CD，
∴AB→•CD→=−2a（2﹣a）+（5﹣a）（1−5+a2）＝0，
解得a＝3或a＝﹣1（不合题意，舍去）；
∴A的纵坐标为3．
故3．
【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，是基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]，得到如下的频率分布直方图．
（1）求图中m的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第75百分位数；
（2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，结合中位数的性质进行求解即可；
（2）根据平均数的定义，结合频率分布直方图进行求解即可．
解：（1）由频率分布直方图知（0.01+m+0.04+0.02）×10＝1，
解得m＝0.03，
设此次竞赛活动学生得分的第75百分位数为x0分，
因数据落在[60，80）内的频率为0.4，落在[60，90）内的频率为0.8，
从而可得80＜x0＜90，
所以0.01×10+0.03×10+（x0﹣80）×0.04＝0.75，
解得x0＝88.75，
估计此次竞赛活动学生得分的第75百分位数为88.75分；
（2）由频率分布直方图及（1）知数据落在[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
所以x=65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82（分），
此次竞赛活动学生得分不低于82分的频率为0.2+10−210×0.4=0.52，
所以500×0.52＝260，
所以估计此次竞赛活动学生得分的平均值为82分，在参赛的500名学生中估计有260名学生获奖．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数和平均数的定义，属于中档题．
16．（15分）已知点A（1，1），B（0，2），C（﹣3，3），圆M为△ABC的外接圆．
（1）求圆M的标准方程，
（2）过点（2，8）作圆的切线l，求l的方程．
【分析】（1）设圆的标准方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，代入点A、B、C的坐标求解即可；
（2）讨论直线l的斜率不存在时和斜率存在时，由圆心到直线的距离d＝r求解即可．
解：（1）设圆的标准方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
因为圆过点A（1，1），B（0，2），C（﹣3，3），
所以(1−a)2+(1−b)2=r2(0−a)2+(2−b)2=r2(−3−a)2+(3−b)2=r2，
解得a＝﹣3，b＝﹣2，r2＝25，
所以圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2＝25；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，圆心M（﹣3，﹣2）到直线l的距离为5，满足条件；
当直线l的斜率存在时，设l：y﹣8＝k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k+8＝0，
则|−3k+2−2k+8|k2+1=5，
两边平方并化简得4k﹣3＝0，解得k=34，
直线l的方程为3x﹣4y+26＝0；
综上，直线l的方程为x＝2或3x﹣4y+26＝0．
【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
17．（15分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=3，AD=2，DC=23，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求平面DEB与平面DEC夹角的余弦值．
【分析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，先证PA∥OE，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面DEB和平面DEC的一个法向量，利用向量法求解即可．
解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，
因为ABCD是矩形，所以O是AC的中点，
又因为E是PC的中点，所以PA∥OE，
因为PA⊄平面BDE，OE⊄平面BDE，
所以PA∥平面BDE
（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2，23，0)，D(0，0，0)，E(0，3，32)，C(0，23，0)，
DB→=(2，23，0)，DE→=(0，3，32)，
设平面DEB的一个法向量n→=(x，y，z)，
则n→⊥DB→n→⊥DE→，则n→⋅DB→=2x+23y=0n→⋅DE→=3y+32z=0，
设z＝2，则y=−3，x=3，
则n→=(3，−3，2)，
平面DEC的一个法向量为m→=(1，0，0)，
设平面DEB与平面DEC的夹角为θ，
则csθ=|m→⋅n→|m→||n→|=34，
所以平面DEB与平面DEC的夹角的余弦值为34．
【点评】本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
18．（17分）甲、乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲射击一次击中的概率为13，乙射击一次击中的概率为14，且第一次由甲开始射击．
（1）求前3次射击中甲恰好击中2次的概率；
（2）求第4次由甲射击的概率．
【分析】（1）根据题意，前3次射击中甲恰好击中2次，则前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，由相互独立事件的概率公式计算可得答案；
（2）根据题意，设事件E＝“第4次由甲射击”，事件B＝“第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中”，事件C＝“第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中”，事件D＝“第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”，易得事件“第4次由甲射击”＝A∪B∪C∪D，由互斥事件的概率公式计算可得答案．
解：（1）根据题意，由比赛的规则，
若前3次射击中甲恰好击中2次，则前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，
故要求概率为13×13×23=227；
（2）根据题意，设事件E＝“第4次由甲射击”，
设事件A＝“甲连续射击3次且都击中”；
事件B＝“第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中”；
事件C＝“第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中”；
事件D＝“第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”；
P(A)=13×13×13=127，P(B)=23×14×34=18，P(C)=23×34×13=16，P(D)=13×23×34=16
则E＝A∪B∪C∪D，其事件A，B，C，D两两互斥，
所以第4次由甲射击的概率为P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=107216．
【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
19．（17分）设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C为线段OB的中点，离心率e=32，S△ABC=12．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上求一点P，使得点P到直线3x−2y+6=0的距离最短；
（3）若直线l与椭圆相交于E，F两点，直线OE，l，OF的斜率分别为k1，k，k2其中（k＞0），△OEF的面积为S，以OE，OF为直径的圆的面积分别为S1，S2．若k2＝k1•k2，求S1+S2S的范围．
【分析】（1）根据题意可得a，b，c的方程组，求解即可；
（2）先设出直线方程，与椭圆方程联立，由Δ＝0，可求出直线方程，从而可得点P的坐标；
（3）设直线，联立方程组，可得韦达定理，将面积和表示出来，算出为定值，然后求出△OEF的面积为S的范围，即可得出答案．
解：（1）由题意知ca=32a2−b2=c214ab=12，解得a=2b=1c=3，
故椭圆的方程为x24+y2=1；
（2）设与直线3x−2y+6=0平行且与椭圆x24+y2=1相切的直线方程为3x−2y+m=0，
由3x−2y+m=0x24+y2=1，消去x得4x2+23mx+m2−4=0，
Δ=(23m)2−16(m2−4)=−4m2+64=0，解得m＝4或m＝﹣4，
因此与直线3x−2y+6=0平行且与椭圆x24+y2=1相切的直线方程为3x−2y+4=0或3x−2y−4=0，
其中直线3x−2y+4=0与直线3x−2y+6=0的距离最短，
由3x−2y+4=0x24+y2=1，解得x=−3y=12，
故P的坐标为(−3，12)；
（3）设直线l的方程为y＝kx+t（t≠0，且t≠±1），E（x1，y1），F（x2，y2），
由y=kx+tx24+y2=1，消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4（t2﹣1）＝0，
Δ＝16（1+4k2﹣t2）＞0，
x1+x2=−8kt1+4k2，x1x2=4t2−41+4k2，
所以k2=k1k2=(kx1+t)(kx2+t)x1x2，即kt(x1+x2)+t2=0，
即kt•（−8kt1+4k2）+t2＝0，化简得k2=14，又k＞0，t≠0，所以k=12，
此时Δ＝16（2﹣t2）＞0，即t∈(−2，2)且t≠0，
故S1+S2=π4(x12+y12+x22+y22)=5π4，
|EF|=21+k2⋅2−t2，O到EF的距离d=|t|1+k2，
则S=2−t2|t|，
所以S1+S2S=5π4×1(2−t2)t2＞5π4，
故S1+S2S的取值范围是(5π4，+∞)．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
A
B
D
C
D