2023~2024学年福建省福州市福清市九年级上学期期末数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年福建省福州市福清市九年级上学期期末数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题4分，共48分）
1. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵点A（a，b）在双曲线上，
∴ab=-2；
又∵点A与点B关于y轴对称，
∴B（-a，b）
∵点B在双曲线上，
∴k=-ab=2；
∴=2-2=0
故选：B
2. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. B.
C. 且D. 且且
【答案】B
【解析】∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，即，
故选：B．
3. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】抛物线y=-3x2向右平移1个单位的解析式为：y=-3（x-1）2；
再向下平移2个单位，得：y=-3（x-1）2-2.
故选：A．
4. 将抛物线向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将抛物线向右平移一个单位所得直线解析式为：；
再向上平移2个单位为：，即．
故选B．
5. 下列方程式属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、是一元三次方程，故不符合题意；
B、是分式方程，故不符合题意；
C、是二元二次方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意.
故选：D.
6. 如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∵，，
∴的面积的面积为，
∴的面积的面积，
∵的面积为，
∴的面积为，
故选．
7. 平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ）
A. （3，-2）B. （2，3）
C. （-2，3）D. （2，-3）
【答案】C
8. 如图是二次函数的图象，使成立的 的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-3，0）和（1，0），
∴时，x的取值范围为．
故选：A．
9. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°
【答案】B
【解析】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠FOC＝40°，AO＝OD＝OC＝OF，∠AOC＝90°
∴∠AOF＝130°，且AO＝OF，
∴∠OFA＝25°
故选B．
10. 某学习小组在研究函数y＝x3﹣2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”x3﹣2x＝2实数根的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由图象可得直线y=2与yx3﹣2x有三个交点，所以x3﹣2x=2实数根的个数为3．
故选C．
11. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意得：， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A.
12. 已知，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴==，
故选D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13. 如图，点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为_____．
【答案】2
【解析】∵将线段平移至，， ，
∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
∴，∴，故答案为：2．
14. 因式分解：______．
【答案】x（x-5）
【解析】，故答案：.
15. x台拖拉机，每天工作x小时，x天耕地x亩，则y台拖拉机，每天工作y小时，y天耕____亩．
【答案】
【解析】一台拖拉机1小时的工作效率为：，
∴y台拖拉机，y天，每天y小时的工作量=.
16. 如图，为正五边形的一条对角线，则__________．
【答案】36°
【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=，AB=AE，
∴∠ABE=．
17. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__．
【答案】3
【解析】连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM= =30°，
∴OM=OB•cs∠BOM=6× =3，
故答案为3．
18. 如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为_____．
【答案】12
【解析】∵OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（2，4），∴OB=2,AB=4
∵将△AOB绕点A逆时针旋转90°，∴AD=4CD=2,且AD//x轴
∴点C的坐标为（6，2），
∵点O的对应点C恰好落在反比例函数y=的图象上，
∴k=2，
故答案为12．
三、解答题（共78分）
19. 某食品代理商向超市供货，原定供货价为元/件，超市售价为元/件.为打开市场超市决定在第一季度对产品打八折促销，第二季度再回升个百分点，为保证超市利润，代理商承诺在供货价基础上向超市返点试问平均每季度返多少个百分点，半年后超市的销售利润回到开始供货时的水平?
解：设代理商平均每个季度向超市返个百分点，
由题意得：，
解得：(舍去).
∴代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平.
20. 如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE，求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
解：（1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得，解得，
抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PE，
∴．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．
∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．
∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
21. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2>0，求a的取值范围．
解：该一元二次方程有两个实数根，
△，
解得：，
由韦达定理可得，，
，，解得：，．
22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．
解：(1)∵AB=AC，
∴=，
∴∠ABC=∠ACB，
∵D为的中点，
∴=，
∴∠CAD=∠ACD，
∴=2，
∴∠ACB=2∠ACD，
又∵∠DAE=105°，
∴∠BCD=105°，
∴∠ACD=×105°=35°，
∴∠CAD=35°；
(2)∵∠DAE=105°，∠CAD=35°，
∴∠BAC=180°-∠DAE-∠CAD=40°，
连接OB，OC，
∴∠BOC=80°，
∴弧BC的长==．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积；
（3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集．
解：（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵点，
∴设直线AB的解析式为，
∵直线AB过点，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为；
（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为，
∴，
∴，
联立，解得或，
∴，，
连接AC，则的面积，
由平行线间的距离处处相等可得与面积相等，
∴的面积为18．
（3）∵，，
∴不等式的解集是：或．
24. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
解：设该单位这次共有名员工去天水湾风景区旅游，
因为，所以员工人数一定超过25人，
可得方程，
整理，得，
解得：，
当时，，故舍去，
当时，，符合题意 ，
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．
25. 如图，在平行四边形中，．
（1）求与的周长之比；
（2）若求．
解：（1）∵
∴，
∵是平行四边形，
∴，，
∴,
，
∴
∴与周长的比等于相似比等于．
（2）由（1）得，
∴
∵
∴．
26. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF.
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径为1，求EF的长.
解：(1)连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC， ∴四边形AOCD是菱形，
∴△OAD和△OCD都是等边三角形， ∴∠AOD=∠COD=60°， ∴∠FOB=60°， ∵EF为切线， ∴OD⊥EF，
∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中，
∴△FDO≌△FBO，∴∠ODF=∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切线；
(2)在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，而tan∠FOB=，∴BF=1×tan60°=．
∵∠E=30°，
∴EF=2BF=2．