2024~2025学年福建省厦门市多校高二上学期12月联考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年福建省厦门市多校高二上学期12月联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 数列的一个通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】观察数字规律可知：每项的符号是交替出现，
故有，除去符号则为一个以为公比，
首项为的等比数列，所以通项公式为：，
故整个数列的通项为：，
故选：B.
2. 在等差数列中，，且，则等于（ ）
A. －3B. －2C. 0D. 1
【答案】A
【解析】根据题意,设等差数列的公差为d,首项为a1，
若,则有+4d=9，
又由,则2(+2d)=(+d)+6，
解可得d=3,=−3；故选A.
3. 设是等差数列的前项和且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为是等差数列，，
所以，则，
则，即.
故选：A.
4. 如图，正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角是（ ）
A.45°B. 90°C. 30°D. 60°
【答案】C
【解析】如图，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz．
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），
S（0， 0 ，a） ，P（，0，），
则（0，﹣2a， 0），（，a， ），（﹣a，﹣a，0），
设平面PAC的一个法向量为，
则，，
∴，可取（1，0，1），
设直线与平面的夹角为，
则，
由，，
故选：C
5. 若双曲线的渐近线与已知圆相切，则（ ）
A. B. 3C. 2D.
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，
所以圆心为，半径r=1，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）.
所以
故选：A.
6. 若抛物线过焦点的弦被焦点分成长为m和n两部分，则m与n的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令过焦点的弦为，与抛物线交点分别为A、B，
联立抛物线整理得：，
则，，
故，，
若，，
所以，，
故.
故选：C
7. 过点的直线交抛物线于两点(异于坐标原点),若，则该直线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设直线的方程为
联立 整理化简可得：，
，也即（*）

因为，所以，则，
或 满足（*）
但是当直线方程为时，与抛物线的交点其中一个为坐标原点，
不满足 ，故舍去．
∴，该直线的方程为 即，
故选：.
8. 在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列,且，，公积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，则对任意的，，
则，，
由，得，，，
，因此，.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，在正方体中，分别是中点．下列结论正确的是（ ）
A. 与垂直B. 与平面
C. 与所成的角为D. 平面
【答案】ABD
【解析】对A：连接，，则交于，又为中点，
可得，由平面，平面，
可得，故，故A正确；
对B：连接，，由正方体性质可知平面，
可得平面，故B正确；
对C：与所成角就是，连接，
由正方体性质可知，即为等边三角形，
故，即与所成的角为，故C错误；
对D：由，平面，平面，
故平面，故D正确．
故选：ABD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 过点且垂直于直线的直线方程为
B. 过点且在x、y轴截距相等的直线方程为
C. 曲线过点的最短弦长为；
D. 直线与曲线有两个不同交点，则实数的取值范围
【答案】AC
【解析】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为，
即，对；
B：若截距不为0时，令直线为，则，
此时直线方程为，错；
C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对；
D：由过定点，圆上半部分，如下图，
当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得，
当动直线过半圆左侧端点时，即，
结合图知，，D错.
故选：AC
11. 若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且，则（ ）
A. 是等差数列B. 是等比数列
C. 是“平方递推数列”D. 是“平方递推数列”
【答案】BC
【解析】对A，因为是“平方递推数列”，所以.又，
所以，则，所以不是等差数列，A不正确.
对B，因为，所以是等比数列，B正确.
对C，因为，所以以是“平方递推数列”，C正确.
对D，因为，所以不是“平方递推数列”，D不正确.
故选：BC.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若数列{}的前n项和为，则=___________．
【答案】8
【解析】=
故答案为8
13. 已知双曲线左右焦点分别为，，过的直线在第一象限与双曲线相交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】因为且，可设，
则，由双曲线的定义，可得，所以，
所以，，，分别在和中，
可得，整理得：，
所以双曲线的离心率为.故答案为：.

14. 已知为正方体外接球的球心，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】如图，在正方体中，为棱的中点，为的中点，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系

设正方体的棱长为2，
则
所以
设异面直线与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：
四、解答题（共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图所示，三个正方形的边AB、BC、CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2.
（1）求AB、BC、CD的长；
（2）以AB、BC、CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：（1）设公差为，，则，.
由题意得，解得或(舍去)．
所以，，．
（2）正方形的边长组成首项是，公差是的等差数列，
所以，
所求正方形的面积为.
16. 已知椭圆，焦距为2，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积.
解：（1）由题意得，解得，
故，
故椭圆方程为；
（2）由题意得F1-1,0，
椭圆的长轴长为，短轴长为，

将代入中得，，
不妨设，
显然⊥轴，故.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面ABCD.
（1）求证：；
（2）直线PB与平面APD所成角的正弦值；
（3）求平面APD与平面PCD夹角的余弦值.
解：（1）如图，取CD的中点，连接OP，，
因为是边长为2的正三角形，所以，
在菱形ABCD中，，则为等边三角形，所以，
又，，平面OPB，所以平面OPB，
又平面OPB，所以；
（2）由（1）得，，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，
所以平面ABCD，
如图，以点为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.
因，则，，，
设平面PAD的法向量为，则有，
令，则，，所以，
所以PB与平面APD所成角的正弦值为
；
（3）因为轴平面PCD，
所以可取平面PCD的法向量为，
由（2）得平面PAD的法向量为，
则，
所以平面APD与平面PCD夹角的余弦值为.
18. 等差数列{an}的前项和为，，其中成等比数列，且数列{an}为非常数数列.
（1）求数列通项；
（2）设，的前项和记为，求证：.
解：（1）因为成等比数列，所以， 即，
解得或（舍去），所以.
（2）由（1）知：.
则，
.
19. 已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
解：（1）由题意有 解得,
所以椭圆C的方程为.
（2）设直线,,
把代入得
故 于是直线OM的斜率 即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.