2023~2024学年湖南省长沙市长沙县高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年湖南省长沙市长沙县高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A=｛1，6｝，B=｛5，6，7，8｝，则A∪B=（ ）
A. ｛1，5，6，7，8｝B. ｛1，5，6，8｝C. ｛6，6｝D. ｛6｝
【答案】A
【解析】由题.
故选：A.
2. 函数的零点是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】令，即函数的零点是.
故选：C.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由题意得，解得.
故选：B.
5. 已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时，，则在上单调递增，
在定义域上单调递减，对应的函数图像为B.
故选：B.
6. 已知正数满足，则的最小值为（ ）
A 5B. C. 4D.
【答案】B
【解析】因为，
则，
当且仅当，即时取等号.
故选：．
7. 若函数在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在单调递增，
所以，解得，即.
故选：B.
8. 已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 的解集为或
【答案】D
【解析】不等式的解集为或，
则函数开口向下，故，A正确；
不等式的解集为或，则对于函数，
有，，B，C正确；
不等式的解集为或，即方程的解为，
则，且，即为，
，解得，故D错误.
故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列各式正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】A：，正确；
B：，正确；
C：由，即，错误；
D：由，即，正确.
故选：ABD.
10. 下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确；
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，
所以B错误；
对于C，定义域为，，最小正周期为，
因为，所以函数为偶函数，所以C正确；
对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误.
故选：AC.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”否定是“，”
B. 函数与的图象关于对称
C. 为奇函数
D. 函数单调递增区间为，
【答案】BCD
【解析】因为命题“，”的否定是“，”，故A错误；
函数与互为反函数，
故其图象关于对称，故B正确；
因为，可求得定义域为关于原点对称，
又，故函数为奇函数，故C正确；
因为，
所以函数的单调递增区间为，和，故D正确．
故选：BCD．
12. 已知函数，则下述结论正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 的图象关于对称
C. 在内是单调增函数
D. 关于的不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】由题意得：
对于选项A：因为，所以，
故可知：，故函数不是奇函数，故A错误；
对于选项B：因为，所以，
故可知：，所以根据函数的对称性可知对称点为，故B正确；
对于选项C：当时，，故在上单调递增，
有根据函数的对称性可知在内是单调增函数，故C正确；
对于选项D： ，，
设，因为的图象关于对称，故关于原点对称，
即为奇函数，
所以，
因为在内是单调增函数，所以在内也是单调增函数，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. _____________．
【答案】
【解析】由诱导公式可得．
14. 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】根据条件可以转化为，
不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，
只需满足，，解得，
综上可得，的取值范围为.
15. 当且时，函数的图象一定经过定点___________.
【答案】
【解析】令，可得当时，，所以图象一定经过定点.
16. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是______．
【答案】
【解析】由题意可得，扇形AOB的面积是，
扇形COD面积是．
则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
解：（1）原式.
（2）原式.
18. 集合.
（1）当时，求；
（2）已知，求的取值范围.
解：（1）由题知，，
因为，即，解得，
所以，
当时，，
所以.
（2）由题知，
由（1）得，，
由题得，，
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得
综上，或.
19. 已知函数．
（1）求的最小正周期T；
（2）求的最小值以及取得最小值时的集合．
解：（1）由得，
所以.
（2）由（1）知，此时，即，
故x的集合为.
20. 某地为助力乡村振兴，把特色养殖确定为特色主导产业，现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，如下图所示．
（1）用x表示两个养殖池的总面积y，并求出x的取值范围；
（2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？
解：（1）依题意设温室的一边长度为x米，得温室的另一边长为米，
则矩形养殖池长为米，宽为米，
因此养殖池的总面积，
因为，
所以，所以取值范围为．
（2）
，
当且仅当，即时上式等号成立，
当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．
21. 如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过分别作于，于.
（1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示两点的坐标；
（2）求四边形的面积的最大值.
解：（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，
，圆的半径为，点坐标为，
点的坐标为，
坐标为.
（2）四边形的面积
，
，，
当时，即时，，
四边形的面积的最大值为.
22. 已知函数 (其中a，b为常数，且，)的图象经过点，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题意得，
.
（2）设，
，在上是减函数，
在上的最小值，
因为在上恒成立，
即，得，
所以实数取值范围.