2024~2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二上学期12月联考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二上学期12月联考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为直线的方向向量为，
所以直线的斜率为，即，
又倾斜角，所以.
故选：D
2. 已知直线与,则“”是“”的（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】当直线与垂直时，，
即，
解得或，
所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】连接，因为为的重心，则，如下图所示：
因为为的中点，则，
所以，，
所以，
.
故选：D.
4. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由两点间距离公式，条件表示的几何意义为点到与的距离之和：，
又，根据椭圆的定义，点在以和为焦点的椭圆上，
可设标准方程为：,
由，，根据,求出,
得到轨迹方程为：.
故选：B
5. 已知，若点在线段上，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，因为表示点Px,y和点连线的斜率，
又，所以，，
由图知，的最小值为，

故选：C.
6. 若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为圆的圆心为，半径为，
设动圆圆心的坐标为，半径为，则，
又动圆与直线相切，即到直线的距离为，
所以到直线的距离为，
所以到的距离与到直线的距离相等，
所以的轨迹为抛物线，其焦点为，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故选：D．
7. 已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，如下图所示：

由题意可得，；
又，由可得，
即，解得；
所以；
因为，所以；
即，可得，
即，解得.
故选：D
8. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线,点在直线上,且，结合上述观点，的最小值为（ ）
A B. C. D. 5
【答案】D
【解析】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，
过点作，垂足为，
因为直线的方程为，，
所以，
又直线与直线平行，，
所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
又，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，
所以点的坐标为，
所以，
所以的最小值为，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法命题正确的是（ ）
A. 已知，，则在上的投影向量为
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
D. 若向量（，，是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
【答案】ACD
【解析】A选项，在上的投影向量为
，A正确；
B选项，，故，
或，B错误；
C选项，点为平面上的一点，设，
即，
所以，
又，
故，故，C正确；
D选项，由题意得，
设，
则，解得，
则在基底下的坐标为，D正确.
故选：ACD
10. 已知圆与圆交于，两点，则（ ）
A. 两圆的公切线有2条
B. 直线方程为
C.
D. 动点在圆上，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】由题意可知，，
故，故两圆相交，公切线有2条，A正确，
与圆相减可得，
故直线方程为，B正确，
到直线的距离为，故，故C错误，
可看作是圆上的一个点到点的距离的平方，
故最大值为，D正确，
故选：ABD
11. 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（ ）
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线经过点，其方程为
C. 曲线围成的图形面积小于
D. 存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
【答案】ACD
【解析】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（），
由已知，即.
若点在曲线上，则也满足曲线方程，
所以曲线关于直线对称，A选项正确.
对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误.
对于C，，则，
所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确.
对于D，由于，所以，
由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点，
则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，，
此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意;
当整点为时，，此时整点均在曲线上，
且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 圆心在直线上，且经过原点和点的圆的方程为______
【答案】
【解析】因为圆心在直线上，设圆心坐标为，
因为圆经过原点和点，则，解得，
故圆心坐标为，圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故答案为：.
13. 若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为方程表示双曲线，
所以，即或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 如图，边长为4正方形中,、分别为、中点,将,沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为______．

【答案】
【解析】取中点，连接，且延长线过点，
因为，，所以平面，
根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点，
以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
因为，所以，
所以为等腰直角三角形，所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，所以，
设，因为，
所以，所以，
又因为，，
所以，
不妨设，
所以，
所以，取等号时，
所以直线PM与BF夹角余弦值的最大值为，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在抛物线上，且.
（1）求焦点的坐标；
（2）若过点的直线与只有一个交点，求的方程.
解：（1）因为抛物线，，
所以，所以，可得
所以焦点的坐标.
（2）因为点在抛物线上，所以，
又位于第一象限，所以，
所以，
过点的直线与只有一个交点，直线斜率不存在不合题意；
设直线与有且只有一个交点，
由，得，
当时，，即，即，
当时，，只有一个根符合题意；
所以的方程为或，即或.
16. 已知△中，顶点，边上的高线所在直线与直线平行，的平分线所在直线的方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求边所在直线的一般式方程．
解：（1）由题意可设边所在的直线方程为，
则将代入，解得，
则边所在直线的方程为，
，则顶点的坐标为．
（2）设点关于直线的对称点为，则
，所以．直线的方程即为直线的方程.
因为，所以，
即为，
则直线的一般式方程为．
17. 设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．
（1）求点轨迹的方程；
（2）过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．
解：（1）设Mx,y，到定直线的距离为则，
故，平方后化简可得，
故点的轨迹的方程为：
（2）由题意，,
设直线的方程为，,，,，
由，可得，
所以，．
则，，
所以
；
当直线的斜率不存在时，，
此时，
综上，为定值．

18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在一点,使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）在中，因为，，，
所以，
所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）由（1）可得，，又，
所以，，两两垂直，
以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量，则，即，
令，则，，所以，
所以点到平面的距离.
（3）假设存在，设，则，
所以，
设平面DHP的一个法向量，因为，
所以，即，
令，则，，
所以，
设平面的一个法向量，因为，，
所以，即，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或（舍），
所以存在点，使得满足要求，此时，
即.
19. 已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①证明：直线过定点；
②设的面积为，求的最大值.
解：（1）由题可知，， 解得，
，
椭圆的方程为.
（2）①设直线的方程为，，
由得，
，
即，
，
在椭圆上 ，
，即，
，
，即，
在直线上，
，
，
，即，
此时，
直线的方程为，即直线过定点.
②记直线过定点，
,，
，
，
，
令，则，
在上单调递增，
当时，有最大值.